Infinitezimální generátor (stochastické procesy) - Infinitesimal generator (stochastic processes)

v matematika - konkrétně v stochastická analýza - nekonečně malý generátor a Fellerův proces (tj. Markovův proces spojitého času splňující určité podmínky pravidelnosti) je a operátor částečného diferenciálu který kóduje velké množství informací o procesu. Generátor se používá v evolučních rovnicích, jako je Kolmogorovova zpětná rovnice (který popisuje vývoj statistik procesu); své L² Hermitian adjoint se používá v evolučních rovnicích, jako je Fokker-Planckova rovnice (který popisuje vývoj funkce hustoty pravděpodobnosti procesu).^{[Citace je zapotřebí ]}

Definice

Obecný případ

Pro d-dimenzionální Fellerův proces ${displaystyle (X_ {t}) _ {tgeq 0}}$ definujeme generátor ${displaystyle A}$ podle

${displaystyle Af (x): = lim _ {tdownarrow 0} {frac {mathbb {E} ^ {x} (f (X_ {t})) - f (x)} {t}}}$

kdykoli tento limit existuje v ${displaystyle {overline {C_ {c} ^ {0} (mathbb {R} ^ {d})}} podmnožina (C ^ {0} (mathbb {R} ^ {d}), | cdot | _ {infty} )}$, tj. v prostoru spojitých funkcí ${displaystyle mathbb {R} ^ {d} o mathbb {R}}$ mizející v nekonečnu.

Tato definice je obdobou definice nekonečně malý generátor ${displaystyle C ^ {0}}$-skupinová skupina.^{[je zapotřebí objasnění ]}

tento článek chybí informace o obecném případu, který je neúplný, ačkoli případ Brownian SDE je nepřiměřeně dlouhý a zní to jako méně specializovaný než je. Rozbalte článek, aby obsahoval tyto informace. Další podrobnosti mohou existovat na internetu diskusní stránka. (Leden 2020)

Stochastické diferenciální rovnice poháněné Brownovým pohybem

Nechat ${extstyle X: [0, infty) imes Omega ightarrow mathbb {R} ^ {n}}$ definované na a pravděpodobnostní prostor ${extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ být Je to difúze uspokojující a stochastická diferenciální rovnice formuláře:

${displaystyle mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}), mathrm {d} t + sigma (X_ {t}), mathrm {d} B_ {t}}$

kde ${displaystyle B}$ je m-dimenzionální Brownův pohyb a ${displaystyle b: mathbb {R} ^ {n} ightarrow mathbb {R} ^ {n}}$ a ${displaystyle sigma: mathbb {R} ^ {n} ightarrow mathbb {R} ^ {n imes m}}$ jsou pole driftu a difúze. Pro bod ${displaystyle xin mathbb {R} ^ {n}}$, nechť ${displaystyle mathbb {P} ^ {x}}$ označují zákon z ${displaystyle X}$ daný počáteční údaj ${displaystyle X_ {0} = x}$a nechte ${displaystyle mathbb {E} ^ {x}}$ označit očekávání s ohledem na ${displaystyle mathbb {P} ^ {x}}$.

The nekonečně malý generátor z ${displaystyle X}$ je provozovatel ${displaystyle {mathcal {A}}}$, který je definován tak, aby působil na vhodné funkce ${displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} ightarrow mathbb {R}}$ podle:

${displaystyle {mathcal {A}} f (x) = lim _ {tdownarrow 0} {frac {mathbb {E} ^ {x} [f (X_ {t})] - f (x)} {t}}}$

Sada všech funkcí ${displaystyle f}$ pro které tento limit v daném okamžiku existuje ${displaystyle x}$ je označen ${displaystyle D_ {mathcal {A}} (x)}$, zatímco ${displaystyle D_ {mathcal {A}}}$ označuje množinu všech ${displaystyle f}$ pro které existuje limit pro všechny ${displaystyle xin mathbb {R} ^ {n}}$. Jeden může ukázat, že každý kompaktně podporováno ${displaystyle C ^ {2}}$ (dvakrát rozlišitelný s kontinuální druhá derivace) funkce ${displaystyle f}$ leží v ${displaystyle D_ {mathcal {A}}}$ a to:

${displaystyle {mathcal {A}} f (x) = součet _ {i} b_ {i} (x) {frac {částečné f} {částečné x_ {i}}} (x) + {frac {1} {2 }} součet _ {i, j} {ig (} sigma (x) sigma (x) ^ {op} {ig)} _ {i, j} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x_ {i }, částečné x_ {j}}} (x)}$

Nebo, pokud jde o spád a skalární a Vnitřní výrobky Frobenius:

${displaystyle {mathcal {A}} f (x) = b (x) cdot abla _ {x} f (x) + {frac {1} {2}} {ig (} sigma (x) sigma (x) ^ {op} {ig)}: abla _ {x} abla _ {x} f (x)}$

Generátory některých běžných procesů

• Pro konečný stav Markovových řetězců v kontinuálním čase může být generátor vyjádřen jako a matice přechodové rychlosti
• Standardní Brownův pohyb zapnutý ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, který splňuje stochastickou diferenciální rovnici ${displaystyle dX_ {t} = dB_ {t}}$, má generátor ${extstyle {1 nad {2}} Delta}$, kde ${displaystyle Delta}$ označuje Operátor Laplace.
• Dvojrozměrný proces ${displaystyle Y}$ uspokojující:

${displaystyle mathrm {d} Y_ {t} = {mathrm {d} t zvolit mathrm {d} B_ {t}}}$

kde ${displaystyle B}$ je jednorozměrný Brownův pohyb, lze jej považovat za graf tohoto Brownova pohybu a má generátor:

${displaystyle {mathcal {A}} f (t, x) = {frac {částečné f} {částečné t}} (t, x) + {frac {1} {2}} {frac {částečné ^ {2} f } {částečné x ^ {2}}} (t, x)}$

• The Proces Ornstein – Uhlenbeck na ${displaystyle mathbb {R}}$, který splňuje stochastickou diferenciální rovnici ${extstyle dX_ {t} = heta (mu -X_ {t}) dt + sigma dB_ {t}}$, má generátor:

${displaystyle {mathcal {A}} f (x) = heta (mu -x) f '(x) + {frac {sigma ^ {2}} {2}} f' '(x)}$

• Podobně má graf procesu Ornstein – Uhlenbeck generátor:

${displaystyle {mathcal {A}} f (t, x) = {frac {částečné f} {částečné t}} (t, x) + heta (mu -x) {frac {částečné f} {částečné x}} ( t, x) + {frac {sigma ^ {2}} {2}} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {2}}} (t, x)}$

• A geometrický Brownův pohyb na ${displaystyle mathbb {R}}$, který splňuje stochastickou diferenciální rovnici ${extstyle dX_ {t} = rX_ {t} dt + alfa X_ {t} dB_ {t}}$, má generátor:

${displaystyle {mathcal {A}} f (x) = rxf '(x) + {frac {1} {2}} alpha ^ {2} x ^ {2} f' '(x)}$

Viz také

• Dynkinův vzorec

Reference

• Calin, Ovidiu (2015). Neformální úvod do stochastického počtu s aplikacemi. Singapur: World Scientific Publishing. str. 315. ISBN  978-981-4678-93-3. (Viz kapitola 9)
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací (Šesté vydání). Berlín: Springer. doi:10.1007/978-3-642-14394-6. ISBN  3-540-04758-1. (Viz část 7.3)