Filtrace (teorie pravděpodobnosti) - Filtration (probability theory)
V teorie stochastických procesů, subdisciplína teorie pravděpodobnosti, filtrace jsou úplně objednané sbírky podmnožin, které se používají k modelování informací, které jsou v daném bodě k dispozici, a proto hrají důležitou roli při formalizaci náhodných procesů.
Definice
Nechat být pravděpodobnostní prostor a nechte být sada indexů s celková objednávka (často , nebo podmnožina ).
Pro každého nechat být Sub σ-algebra z . Pak
se nazývá filtrace, pokud pro všechny . Filtrace jsou tedy rodiny σ-algebry, které jsou řazeny neklesajícím způsobem.[1] Li je tedy filtrace se nazývá a filtrovaný pravděpodobnostní prostor.
Příklad
Nechat být stochastický proces na pravděpodobnostní prostor . Pak
je σ-algebra a je filtrace. Tady označuje σ-algebra generovaná náhodnými proměnnými .
opravdu je filtrace, protože podle definice vše jsou σ-algebry a
Druhy filtrací
Pravá kontinuální filtrace
Li je filtrace, pak odpovídající pravá kontinuální filtrace je definován jako[2]
s
Filtrace sám se nazývá pravý spojitý, pokud .[3]
Kompletní filtrace
Nechat
být množina všech sad, které jsou obsaženy v a -nulová sada.
Filtrace se nazývá a kompletní filtrace, pokud každý obsahuje . To odpovídá být kompletní měřicí prostor pro každého
Rozšířená filtrace
Filtrace se nazývá rozšířená filtrace pokud je úplná a správná nepřetržitá. Pro každou filtraci existuje nejmenší rozšířená filtrace z .
Pokud je filtrace rozšířenou filtrací, říká se, že vyhovuje obvyklé hypotézy nebo obvyklé podmínky.[3]
Viz také
Reference
- ^ Klenke, Achim (2008). Teorie pravděpodobnosti. Berlín: Springer. p.191. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. p. 350-351. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
- ^ A b Klenke, Achim (2008). Teorie pravděpodobnosti. Berlín: Springer. p.462. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.