Místní martingale - Local martingale

v matematika, a místní martingale je typ stochastický proces, uspokojující lokalizovaný verze martingale vlastnictví. Každý martingale je místní martingale; každý ohraničený místní martingale je martingale; zejména každý místní martingale, který je ohraničen zdola, je supermartingale a každý místní martingale, který je ohraničen shora, je submartingale; Obecně však místní martingale není martingál, protože jeho očekávání může být zkresleno velkými hodnotami s malou pravděpodobností. Zejména a bezdriftový difúzní proces je místní martingale, ale ne nutně martingale.

Místní martingales jsou v stochastická analýza viz To je kalkul, semimartingale, Girsanovova věta.

Definice

Nechat ${displaystyle (Omega, F, P)}$ být pravděpodobnostní prostor; nechat ${displaystyle F _ {*} = {F_ {t} mid tgeq 0}}$ být filtrace z ${displaystyle F}$; nechat ${displaystyle X: [0, infty) imes Omega ightarrow S}$ být ${displaystyle F _ {*}}$-přizpůsobený stochastický proces na scéně ${displaystyle S}$. Pak ${displaystyle X}$ se nazývá ${displaystyle F _ {*}}$-místní martingale pokud existuje posloupnost ${displaystyle F _ {*}}$-zastavovací časy ${displaystyle au _ {k}: Omega ightarrow [0, infty)}$ takhle

• the ${displaystyle au _ {k}}$ jsou téměř jistě vzrůstající: ${displaystyle P {au _ {k}$;
• the ${displaystyle au _ {k}}$ téměř jistě se rozcházejí: ${displaystyle P {lim _ {kightarrow infty} au _ {k} = infty} = 1}$;
• the zastavil proces

${displaystyle X_ {t} ^ {au _ {k}}: = X_ {min {t, au _ {k}}}}$

je ${displaystyle F _ {*}}$-martingale pro každého ${displaystyle k}$.

Příklady

Příklad 1

Nechat Ž_t být Wienerův proces a T = min {t : Ž_t = −1} čas prvního zásahu z -1. The zastavil proces Ž_{min {t, T }} je martingale; jeho očekávání je vždy 0, nicméně jeho limit (jako t → ∞) se rovná −1 téměř jistě (druh gamblerova zřícenina ). Změna času vede k procesu

${displaystyle displaystyle X_ {t} = {egin {cases} W_ {min left ({frac {t} {1-t}}, Tight)} & {ext {for}} 0leq t <1, - 1 & {ext {for}} 1leq t$

Proces ${displaystyle X_ {t}}$ je spojitá téměř jistě; jeho očekávání je nicméně diskontinuální,

${displaystyle displaystyle operatorname {E} X_ {t} = {egin {cases} 0 & {ext {for}} 0leq t <1, - 1 & {ext {for}} 1leq t$

Tento proces není martingale. Je to však místní martingale. Lokalizační sekvenci lze zvolit jako ${displaystyle au _ {k} = min {t: X_ {t} = k}}$ pokud existuje t, jinak τ_k = k. Tato posloupnost se téměř jistě rozchází, protože τ_k = k pro všechny k dostatečně velký (jmenovitě pro všechny k které přesahují maximální hodnotu procesu X). Proces se zastavil na τ_k je martingale.^{[podrobnosti 1]}

Příklad 2

Nechat Ž_t být Wienerův proces a ƒ měřitelná funkce taková ${displaystyle operatorname {E} | f (W_ {1}) |$ Následující proces je martingale:

${displaystyle X_ {t} = operatorname {E} (f (W_ {1}) střední F_ {t}) = {egin {cases} f_ {1-t} (W_ {t}) a {ext {for}} 0leq t <1, f (W_ {1}) & {ext {for}} 1leq t$

tady

${displaystyle f_ {s} (x) = operatorname {E} f (x + W_ {s}) = int f (x + y) {frac {1} {sqrt {2pi s}}} mathrm {e} ^ { -y ^ {2} / (2s)}, dy.}$

The Diracova delta funkce ${displaystyle delta}$ (přísně vzato, nikoli funkce), je používán místo ${displaystyle f,}$ vede k procesu neformálně definovanému jako ${displaystyle Y_ {t} = operatorname {E} (delta (W_ {1}) mid F_ {t})}$ a formálně jako

${displaystyle Y_ {t} = {egin {cases} delta _ {1-t} (W_ {t}) & {ext {for}} 0leq t <1, 0 & {ext {for}} 1leq t$

kde

${displaystyle delta _ {s} (x) = {frac {1} {sqrt {2pi s}}} mathrm {e} ^ {- x ^ {2} / (2s)}.}$

Proces ${displaystyle Y_ {t}}$ je spojitá téměř jistě (od roku) ${displaystyle W_ {1} ekv. 0}$ téměř jistě), jeho očekávání je však diskontinuální,

${displaystyle operatorname {E} Y_ {t} = {egin {cases} 1 / {sqrt {2pi}} & {ext {for}} 0leq t <1, 0 & {ext {for}} 1leq t$

Tento proces není martingale. Je to však místní martingale. Lokalizační sekvenci lze zvolit jako ${displaystyle au _ {k} = min {t: Y_ {t} = k}.}$

Příklad 3

Nechat ${displaystyle Z_ {t}}$ být komplexní proces Wiener, a

${displaystyle X_ {t} = ln | Z_ {t} -1 | ,.}$

Proces ${displaystyle X_ {t}}$ je spojitá téměř jistě (od roku) ${displaystyle Z_ {t}}$ nezasáhne 1, téměř jistě), a je místní martingale, protože funkce ${displaystyle umapsto ln | u-1 |}$ je harmonický (v komplexní rovině bez bodu 1). Lokalizační sekvenci lze zvolit jako ${displaystyle au _ {k} = min {t: X_ {t} = - k}.}$ Očekávání tohoto procesu je nicméně nekonstantní; navíc,

${displaystyle operatorname {E} X_ {t} o infty}$ tak jako ${displaystyle t o infty,}$

což lze odvodit ze skutečnosti, že střední hodnota ${displaystyle ln | u-1 |}$ přes kruh ${displaystyle | u | = r}$ má sklon k nekonečnu jako ${displaystyle r o infty}$. (Ve skutečnosti se to rovná ${displaystyle ln r}$ pro r ≥ 1, ale na 0 pro r ≤ 1).

Martingales prostřednictvím místních martingales

Nechat ${displaystyle M_ {t}}$ být místním martingálem. K prokázání toho, že se jedná o martingal, to stačí prokázat ${displaystyle M_ {t} ^ {au _ {k}} o M_ {t}}$ v L¹ (tak jako ${displaystyle k o infty}$) pro každého t, to znamená, ${displaystyle operatorname {E} | M_ {t} ^ {au _ {k}} - M_ {t} | o 0;}$ tady ${displaystyle M_ {t} ^ {au _ {k}} = M_ {twedge au _ {k}}}$ je zastavený proces. Daný vztah ${displaystyle au _ {k} o infty}$ to naznačuje ${displaystyle M_ {t} ^ {au _ {k}} o M_ {t}}$ téměř jistě. The dominující věta o konvergenci zajišťuje konvergenci v L¹ pokud

${displaystyle extstyle (*) quad operatorname {E} sup _ {k} | M_ {t} ^ {au _ {k}} |$ pro každého t.

Podmínka (*) je tedy pro místní martingale dostačující ${displaystyle M_ {t}}$ být martingale. Silnější stav

${displaystyle extstyle (**) quad operatorname {E} sup _ {sin [0, t]} | M_ {s} |$ pro každého t

je také dostačující.

Pozor. Slabší stav

${displaystyle extstyle sup _ {sin [0, t]} operatorname {E} | M_ {s} |$ pro každého t

není dostačující. Navíc podmínka

${displaystyle extstyle sup _ {tin [0, infty)} operatorname {E} mathrm {e} ^ {| M_ {t} |}$

stále není dostačující; pro protipříklad viz Příklad 3 výše.

Zvláštní případ:

${displaystyle extstyle M_ {t} = f (t, W_ {t}),}$

kde ${displaystyle W_ {t}}$ je Wienerův proces, a ${displaystyle f: [0, infty) imes mathbb {R} o mathbb {R}}$ je dvakrát spojitě diferencovatelné. Proces ${displaystyle M_ {t}}$ je místní martingale právě tehdy F uspokojuje PDE

${displaystyle {Big (} {frac {částečný} {částečný t}} + {frac {1} {2}} {frac {částečný ^ {2}} {částečný x ^ {2}}} {velký)} f ( t, x) = 0.}$

Samotný tento PDE to však nezajišťuje ${displaystyle M_ {t}}$ je martingale. Aby bylo možné použít (**) následující podmínku dne F je dostačující: pro každého ${displaystyle varepsilon> 0}$ a t tady existuje ${displaystyle C = C (varepsilon, t)}$ takhle

${displaystyle extstyle | f (s, x) | leq Cmathrm {e} ^ {varepsilon x ^ {2}}}$

pro všechny ${displaystyle sin [0, t]}$ a ${displaystyle xin mathbb {R}.}$

Technické údaje

Reference

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací (Šesté vydání). Berlín: Springer. ISBN  3-540-04758-1.