Lévy – Prochorovova metrika - Lévy–Prokhorov metric
v matematika, Lévy – Prochorovova metrika (někdy známý jako Prochorovova metrika) je metrický (tj. definice vzdálenosti) na sbírce pravděpodobnostní opatření na dané metrický prostor. Je pojmenována po francouzském matematikovi Paul Lévy a sovětský matematik Jurij Vasiljevič Prochorov; Prochorov to představil v roce 1956 jako zevšeobecnění dřívějšího Lévyho metrika.
Definice
Nechat být metrický prostor s jeho Borel sigma algebra . Nechat označují sbírku všech pravděpodobnostní opatření na měřitelný prostor .
Pro podmnožina , definovat ε-sousedství z podle
kde je otevřený míč poloměru se středem na .
The Lévy – Prochorovova metrika je definována nastavením vzdálenosti mezi dvěma pravděpodobnostními měřítky a být
Pro opatření pravděpodobnosti jasně .
Někteří autoři vynechají jednu ze dvou nerovností nebo si vyberou pouze otevřeno nebo Zavřeno ; buď nerovnost implikuje druhou, a , ale omezení na otevřené množiny může změnit takto definovanou metriku (pokud není polština ).
Vlastnosti
- Li je oddělitelný, konvergence opatření v metrice Lévy – Prokhorov je ekvivalentní s slabá konvergence opatření. Tím pádem, je metrizace topologie slabé konvergence na .
- Metrický prostor je oddělitelný kdyby a jen kdyby je oddělitelný.
- Li je kompletní pak je kompletní. Pokud jsou všechna opatření v mít oddělitelné Podpěra, podpora, pak platí i obrácená implikace: pokud je tedy kompletní je kompletní. To platí zejména v případě, že je oddělitelný.
- Li je oddělitelná a úplná, podmnožina je relativně kompaktní jen a jen pokud -kryt je -kompaktní.
Viz také
- Lévyho metrika
- Prochorovova věta
- Přísnost opatření
- slabá konvergence opatření
- Wassersteinova metrika
- Radonová vzdálenost
Reference
- Billingsley, Patrick (1999). Konvergence pravděpodobnostních opatření. John Wiley & Sons, Inc., New York. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534.
- Zolotarev, V.M. (2001) [1994], „Metrika Lévy – Prokhorov“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS