Vzorec týkající se stochastických procesů s parciálními diferenciálními rovnicemi
The Feynman – Kacův vzorec pojmenoval podle Richard Feynman a Mark Kac , navazuje spojení mezi parabolické parciální diferenciální rovnice (PDE) a stochastické procesy . V roce 1947, kdy Kac a Feynman byli oba na Cornellově fakultě, se Kac zúčastnil Feynmanovy prezentace a poznamenal, že oni dva pracovali na stejné věci z různých směrů.[1] Výsledkem byl Feynman-Kacův vzorec, který důsledně dokazuje skutečný případ Feynmanových cestových integrálů. Složitý případ, ke kterému dochází, když je zahrnut spin částice, stále není prokázán.[Citace je zapotřebí ]
Nabízí metodu řešení určitých parciálních diferenciálních rovnic simulací náhodných cest stochastického procesu. Naopak důležitou třídu očekávání náhodných procesů lze vypočítat deterministickými metodami.
Teorém Uvažujme parciální diferenciální rovnici
∂ u ∂ t ( X , t ) + μ ( X , t ) ∂ u ∂ X ( X , t ) + 1 2 σ 2 ( X , t ) ∂ 2 u ∂ X 2 ( X , t ) − PROTI ( X , t ) u ( X , t ) + F ( X , t ) = 0 , { displaystyle { frac { částečné u} { částečné t}} (x, t) + mu (x, t) { frac { částečné u} { částečné x}} (x, t) + { tfrac {1} {2}} sigma ^ {2} (x, t) { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} (x, t) -V (x, t) u (x, t) + f (x, t) = 0,} definováno pro všechny X ∈ R { displaystyle x in mathbb {R}} a t ∈ [ 0 , T ] { displaystyle t v [0, T]} , s výhradou koncového stavu
u ( X , T ) = ψ ( X ) , { displaystyle u (x, T) = psi (x),} kde μ, σ, ψ, PROTI , F jsou známé funkce, T je parametr a u : R × [ 0 , T ] → R { displaystyle u: mathbb {R} krát [0, T] do mathbb {R}} je neznámý. Potom nám Feynman – Kacův vzorec říká, že řešení lze zapsat jako podmíněné očekávání
u ( X , t ) = E Q [ ∫ t T E − ∫ t r PROTI ( X τ , τ ) d τ F ( X r , r ) d r + E − ∫ t T PROTI ( X τ , τ ) d τ ψ ( X T ) | X t = X ] { displaystyle u (x, t) = E ^ {Q} vlevo [ int _ {t} ^ {T} e ^ {- int _ {t} ^ {r} V (X _ { tau}, tau) , d tau} f (X_ {r}, r) dr + e ^ {- int _ {t} ^ {T} V (X _ { tau}, tau) , d tau } psi (X_ {T}) { Bigg |} X_ {t} = x vpravo]} pod míra pravděpodobnosti Q takové, že X je Proces poháněn rovnicí
d X = μ ( X , t ) d t + σ ( X , t ) d Ž Q , { displaystyle dX = mu (X, t) , dt + sigma (X, t) , dW ^ {Q},} s ŽQ (t ) je Wienerův proces (také zvaný Brownův pohyb ) pod Q a počáteční podmínka pro X (t ) je X (t) = X .
Důkaz Důkaz, že výše uvedený vzorec je řešením diferenciální rovnice, je dlouhý, obtížný a není zde uveden. Je však rozumně jednoduché ukázat, že pokud existuje řešení , musí mít výše uvedenou formu. Důkaz tohoto menšího výsledku je následující.
Nechat u (X , t ) bude řešením výše uvedené parciální diferenciální rovnice. Uplatnění produktové pravidlo pro procesy Itô do procesu
Y ( s ) = E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ u ( X s , s ) + ∫ t s E − ∫ t r PROTI ( X τ , τ ) d τ F ( X r , r ) d r { displaystyle Y (s) = e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau}, tau) , d tau} u (X_ {s}, s) + int _ {t} ^ {s} e ^ {- int _ {t} ^ {r} V (X _ { tau}, tau) , d tau} f (X_ {r}, r) , dr} jeden dostane
d Y = d ( E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ ) u ( X s , s ) + E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ d u ( X s , s ) + d ( E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ ) d u ( X s , s ) + d ( ∫ t s E − ∫ t r PROTI ( X τ , τ ) d τ F ( X r , r ) d r ) { displaystyle { begin {aligned} dY = {} & d left (e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau}, tau) , d tau} right ) u (X_ {s}, s) + e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau}, tau) , d tau} , du (X_ {s} , s) [6pt] & {} + d left (e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau}, tau) , d tau} right) du (X_ {s}, s) + d left ( int _ {t} ^ {s} e ^ {- int _ {t} ^ {r} V (X _ { tau}, tau) , d tau} f (X_ {r}, r) , dr right) end {zarovnáno}}} Od té doby
d ( E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ ) = − PROTI ( X s , s ) E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ d s , { displaystyle d left (e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau}, tau) , d tau} right) = - V (X_ {s}, s) e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau}, tau) , d tau} , ds,} třetí termín je Ó ( d t d u ) { displaystyle O (dt , du)} a může být upuštěno. Také to máme
d ( ∫ t s E − ∫ t r PROTI ( X τ , τ ) d τ F ( X r , r ) d r ) = E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ F ( X s , s ) d s . { displaystyle d left ( int _ {t} ^ {s} e ^ {- int _ {t} ^ {r} V (X _ { tau}, tau) , d tau} f ( X_ {r}, r) dr right) = e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau}, tau) , d tau} f (X_ {s}, s) ds.} Aplikování Itôova lemma na d u ( X s , s ) { displaystyle du (X_ {s}, s)} , z toho vyplývá, že
d Y = E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ ( − PROTI ( X s , s ) u ( X s , s ) + F ( X s , s ) + μ ( X s , s ) ∂ u ∂ X + ∂ u ∂ s + 1 2 σ 2 ( X s , s ) ∂ 2 u ∂ X 2 ) d s + E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ σ ( X , s ) ∂ u ∂ X d Ž . { displaystyle { begin {aligned} dY = {} & e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau}, tau) , d tau} , vlevo (- V (X_ {s}, s) u (X_ {s}, s) + f (X_ {s}, s) + mu (X_ {s}, s) { frac { částečné u} { částečné X}} + { frac { částečné u} { částečné s}} + { tfrac {1} {2}} sigma ^ {2} (X_ {s}, s) { frac { částečné ^ {2} u} { částečné X ^ {2}}} vpravo) , ds [6pt] & {} + e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau }, tau) , d tau} sigma (X, s) { frac { částečné u} { částečné X}} , dW. end {zarovnáno}}} První člen obsahuje v závorkách výše uvedenou parciální diferenciální rovnici, a proto je nulový. Zůstává
d Y = E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ σ ( X , s ) ∂ u ∂ X d Ž . { displaystyle dY = e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau}, tau) , d tau} sigma (X, s) { frac { částečný u } { částečné X}} , dW.} Integrace této rovnice z t na T , jeden dospěl k závěru, že
Y ( T ) − Y ( t ) = ∫ t T E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ σ ( X , s ) ∂ u ∂ X d Ž . { displaystyle Y (T) -Y (t) = int _ {t} ^ {T} e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau}, tau) , d tau} sigma (X, s) { frac { částečné u} { částečné X}} , dW.} Na základě očekávání, podmíněno Xt = X a pozorujeme, že pravá strana je Je to integrální , který má očekávání nula,[2] z toho vyplývá, že
E [ Y ( T ) ∣ X t = X ] = E [ Y ( t ) ∣ X t = X ] = u ( X , t ) . { displaystyle E [Y (T) mid X_ {t} = x] = E [Y (t) mid X_ {t} = x] = u (x, t).} Požadovaného výsledku je dosaženo pozorováním toho
E [ Y ( T ) ∣ X t = X ] = E [ E − ∫ t T PROTI ( X τ , τ ) d τ u ( X T , T ) + ∫ t T E − ∫ t r PROTI ( X τ , τ ) d τ F ( X r , r ) d r | X t = X ] { displaystyle E [Y (T) mid X_ {t} = x] = E left [e ^ {- int _ {t} ^ {T} V (X _ { tau}, tau) , d tau} u (X_ {T}, T) + int _ {t} ^ {T} e ^ {- int _ {t} ^ {r} V (X _ { tau}, tau) , d tau} f (X_ {r}, r) , dr , { Bigg |} , X_ {t} = x vpravo]} a nakonec
u ( X , t ) = E [ E − ∫ t T PROTI ( X τ , τ ) d τ ψ ( X T ) + ∫ t T E − ∫ t s PROTI ( X τ , τ ) d τ F ( X s , s ) d s | X t = X ] { displaystyle u (x, t) = E left [e ^ {- int _ {t} ^ {T} V (X _ { tau}, tau) , d tau} psi (X_ { T}) + int _ {t} ^ {T} e ^ {- int _ {t} ^ {s} V (X _ { tau}, tau) , d tau} f (X_ {s }, s) , ds , { Bigg |} , X_ {t} = x vpravo]} Důkaz výše, že řešení musí mít danou formu, je v zásadě [3] s úpravami, které je třeba zohlednit F ( X , t ) { displaystyle f (x, t)} . Výše uvedený vzorec očekávání platí také pro N -dimenzionální difúze Itô. Odpovídající parciální diferenciální rovnice pro u : R N × [ 0 , T ] → R { displaystyle u: mathbb {R} ^ {N} krát [0, T] do mathbb {R}} se stává:[4] ∂ u ∂ t + ∑ i = 1 N μ i ( X , t ) ∂ u ∂ X i + 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N y i j ( X , t ) ∂ 2 u ∂ X i ∂ X j − r ( X , t ) u = F ( X , t ) , { displaystyle { frac { částečné u} { částečné t}} + součet _ {i = 1} ^ {N} mu _ {i} (x, t) { frac { částečné u} { částečné x_ {i}}} + { frac {1} {2}} sum _ {i = 1} ^ {N} sum _ {j = 1} ^ {N} gamma _ {ij} ( x, t) { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x_ {i} částečné x_ {j}}} - r (x, t) , u = f (x, t),} kde, y i j ( X , t ) = ∑ k = 1 N σ i k ( X , t ) σ j k ( X , t ) , { displaystyle gamma _ {ij} (x, t) = součet _ {k = 1} ^ {N} sigma _ {ik} (x, t) sigma _ {jk} (x, t), } tj. y = σ σ T { displaystyle gamma = sigma sigma ^ { mathrm {T}}} , kde σ T { displaystyle sigma ^ { mathrm {T}}} označuje přemístit z σ { displaystyle sigma} . Toto očekávání lze poté aproximovat pomocí Monte Carlo nebo metody kvazi-Monte Carla . Když byl původně publikován Kacem v roce 1949,[5] Feynman – Kacův vzorec byl představen jako vzorec pro určení distribuce určitých Wienerových funkcionálů. Předpokládejme, že chceme najít očekávanou hodnotu funkce E − ∫ 0 t PROTI ( X ( τ ) ) d τ { displaystyle e ^ {- int _ {0} ^ {t} V (x ( tau)) , d tau}} v případě, že X (τ) je určitá realizace procesu difúze začínajícího na X (0) = 0. Feynman – Kacův vzorec říká, že toto očekávání je ekvivalentní integrálu řešení difuzní rovnice. Konkrétně za podmínek, které u PROTI ( X ) ≥ 0 { displaystyle uV (x) geq 0} , E [ E − u ∫ 0 t PROTI ( X ( τ ) ) d τ ] = ∫ − ∞ ∞ w ( X , t ) d X { displaystyle E left [e ^ {- u int _ {0} ^ {t} V (x ( tau)) , d tau} right] = int _ {- infty} ^ { infty} w (x, t) , dx} kde w (X , 0) = δ (X ) a ∂ w ∂ t = 1 2 ∂ 2 w ∂ X 2 − u PROTI ( X ) w . { displaystyle { frac { částečné w} { částečné t}} = { frac {1} {2}} { frac { částečné ^ {2} w} { částečné x ^ {2}}} -uV (x) w.} Feynman – Kacův vzorec lze také interpretovat jako metodu hodnocení funkční integrály určité formy. Li Já = ∫ F ( X ( 0 ) ) E − u ∫ 0 t PROTI ( X ( t ) ) d t G ( X ( t ) ) D X { displaystyle I = int f (x (0)) e ^ {- u int _ {0} ^ {t} V (x (t)) , dt} g (x (t)) , Dx } kde je integrál převzat vše náhodné procházky , pak Já = ∫ w ( X , t ) G ( X ) d X { displaystyle I = int w (x, t) g (x) , dx} kde w (X , t ) je řešením parabolická parciální diferenciální rovnice ∂ w ∂ t = 1 2 ∂ 2 w ∂ X 2 − u PROTI ( X ) w { displaystyle { frac { částečné w} { částečné t}} = { frac {1} {2}} { frac { částečné ^ {2} w} { částečné x ^ {2}}} -uV (x) w} s počátečním stavem w (X , 0) = F (X ). Aplikace v kvantitativní financování , Feynman-Kacův vzorec se používá k efektivnímu výpočtu řešení Black – Scholesova rovnice na cenové možnosti na akcie.[6]
Viz také Reference ^ Kac, Mark (1987). Enigmas of Chance: An Autobiography . University of California Press. str. 115–16. ISBN 0-520-05986-7 . ^ Øksendal, Bernd (2003). „Věta 3.2.1. (Iii)“. Stochastické diferenciální rovnice. Úvod do aplikací (6. vydání). Springer-Verlag. p. 30. ISBN 3540047581 . ^ http://www.math.nyu.edu/faculty/kohn/pde_finance.html ^ Vidět Pham, Huyên (2009). Stochastická kontrola a optimalizace s finančními aplikacemi v nepřetržitém čase . Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-10044-4 . ^ Kac, Marku (1949). „O distribucích určitých funkcí Wiener“ . Transakce Americké matematické společnosti . 65 (1): 1–13. doi :10.2307/1990512 . JSTOR 1990512 . Tento papír je znovu vytištěn Baclawski, K .; Donsker, M. D., eds. (1979). Mark Kac: Pravděpodobnost, teorie čísel a statistická fyzika, vybrané práce . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. 268–280. ISBN 0-262-11067-9 . ^ Paolo Brandimarte (6. června 2013). „Kapitola 1. Motivace“. Numerické metody v oblasti financí a ekonomiky: Úvod na základě MATLABu . John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-62557-6 . Další čtení Simon, Barry (1979). Funkční integrace a kvantová fyzika . Akademický tisk.Hall, B. C. (2013). Kvantová teorie pro matematiky . Springer. Kariéra Funguje Rodina Příbuzný