Regenerativní proces - Regenerative process - Wikipedia

K modelování problémů v řízení zásob byly použity regenerační procesy. Inventář ve skladu, jako je tento, klesá stochastickým procesem kvůli prodejům, dokud nebude doplněn novou objednávkou.^[1]

v použitá pravděpodobnost, a regenerační proces je třída stochastický proces s vlastností, že určité části procesu lze považovat za statisticky nezávislé navzájem.^[2] Tuto vlastnost lze použít k odvození teoretických vlastností těchto procesů.

Dějiny

Regenerativní procesy byly poprvé definovány pomocí Walter L. Smith v Sborník královské společnosti A v roce 1955.^[3][4]

Definice

A regenerační proces je stochastický proces s časovými body, ve kterých se z pravděpodobnostního hlediska proces sám restartuje.^[5] Tyto časové body mohou být samy určeny vývojem procesu. To znamená, že proces {X(t), t ≥ 0} je regenerační proces, pokud existují časové body 0 ≤T₀ < T₁ < T₂ <... takové, žeT_k proces {X(T_k + t) : t ≥ 0}

• má stejnou distribuci jako post-T₀ proces {X(T₀ + t) : t ≥ 0}
• je nezávislý na pre-T_k proces {X(t) : 0 ≤ t < T_k}

pro k ≥ 1.^[6] Intuitivně to znamená, že lze rozdělit regenerační proces i.i.d. cykly.^[7]

Když T₀ = 0, X(t) se nazývá a neopožděný regenerační proces. Jinak se tento proces nazývá a zpožděný regenerační proces.^[6]

Příklady

• Procesy obnovy jsou regenerační procesy, s T₁ být první obnovou.^[5]
• Střídavě procesy obnovy, kde systém střídá stav „zapnuto“ a „vypnuto“.^[5]
• Opakující se Markovův řetězec je regenerační proces, s T₁ je čas prvního opakování.^[5] To zahrnuje Harrisovy řetězy.
• Odražený Brownův pohyb je regenerační proces (kde se měří čas potřebný k tomu, aby částice opustily a vrátily se).^[7]

Vlastnosti

• Podle věta o odměně za obnovení, s pravděpodobností 1,^[8]

${ displaystyle lim _ {t to infty} { frac {1} {t}} int _ {0} ^ {t} X (s) ds = { frac { mathbb {E} [R ]} { mathbb {E} [ tau]}}.}$

kde ${ displaystyle tau}$ je délka prvního cyklu a ${ displaystyle R = int _ {0} ^ { tau} X (s) ds}$ je hodnota za první cyklus.

• A měřitelná funkce regeneračního procesu je regenerační proces se stejnou dobou regenerace^[8]

Reference