Statistická mechanika - Statistical mechanics - Wikipedia

Bylo navrženo, že Statistická fyzika být sloučeny do tohoto článku. (Diskutujte) Navrhováno od září 2020.

Statistická mechanika
Termodynamika Kinetická teorie
Statistika částic Věta o statistice spinů Identické částice Maxwell – Boltzmann Bose – Einstein Fermi – Dirac Parastatistics Anyonic statistiky Statistiky opletení
Termodynamické soubory NVE Mikrokanonické NVT Kanonický µVT Velký kanonický NPH Isoenthalpic – isobaric NPT Izotermický - izobarický
Modely Debye Einstein Zpívám Potts
Potenciál Vnitřní energie Entalpie Helmholtzova volná energie Gibbsova volná energie Velký potenciál / Landauova volná energie
Vědci Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman Debye Fermi Bose

Statistická mechanika, jeden z pilířů moderní fyzika, popisuje, jak makroskopická pozorování (např teplota a tlak ) souvisí s mikroskopickými parametry, které kolísají kolem průměru. Spojuje termodynamické veličiny (např tepelná kapacita ) na mikroskopické chování, zatímco v klasická termodynamika, jedinou dostupnou možností by bylo měřit a tabelovat taková množství pro různé materiály.^[1]

Statistická mechanika je nezbytná pro základní studium každého fyzického systému, který má mnoho stupně svobody. Tento přístup je založen na statistický metody, teorie pravděpodobnosti a mikroskopický fyzikální zákony.^{[1][2][3][poznámka 1]}

Může být použit k vysvětlení termodynamické chování velkých systémů. Tato větev statistické mechaniky, která zpracovává a rozšiřuje klasickou termodynamiku, je známá jako statistická termodynamika nebo rovnovážná statistická mechanika.

Statistickou mechaniku lze také použít ke studiu systémů, které jsou mimo rovnováha. Důležitá dílčí větev známá jako nerovnovážná statistická mechanika (někdy nazývané statistická dynamika) se zabývá problematikou mikroskopického modelování rychlosti nevratné procesy které jsou poháněny nerovnováhou. Mezi příklady takových procesů patří chemické reakce nebo toky částic a tepla. The fluktuace – věta o rozptylu jsou základní znalosti získané při aplikaci nerovnovážná statistická mechanika studovat nejjednodušší nerovnovážnou situaci toku proudu v ustáleném stavu v systému mnoha částic.

Zásady: mechanika a soubory

Ve fyzice se obvykle zkoumají dva typy mechaniky: klasická mechanika a kvantová mechanika. U obou typů mechaniky je standardním matematickým přístupem zvážení dvou konceptů:

1. Úplný stav mechanického systému v daném čase, matematicky zakódovaný jako a fázový bod (klasická mechanika) nebo čistý vektor kvantového stavu (kvantová mechanika).
2. Pohybová rovnice, která přenáší stav vpřed v čase: Hamiltonovy rovnice (klasická mechanika) nebo Schrödingerova rovnice (kvantová mechanika)

Pomocí těchto dvou konceptů lze v zásadě vypočítat stav v jakémkoli jiném čase, minulém i budoucím. Mezi těmito zákony a zkušenostmi z každodenního života však existuje nesoulad, protože nepovažujeme za nutné (ani teoreticky možné) vědět přesně na mikroskopické úrovni současné polohy a rychlosti každé molekuly při provádění procesů v lidském měřítku (například při provádění chemické reakce). Statistická mechanika vyplňuje toto oddělení mezi zákony mechaniky a praktickými zkušenostmi s neúplnými znalostmi tím, že přidává určitou nejistotu o tom, ve kterém stavu se systém nachází.

Zatímco běžná mechanika bere v úvahu chování jediného státu, statistická mechanika zavádí statistický soubor, což je velká sbírka virtuálních, nezávislých kopií systému v různých státech. Statistickým souborem je a rozdělení pravděpodobnosti ve všech možných stavech systému. V klasické statistické mechanice je souborem rozdělení pravděpodobnosti na fázové body (na rozdíl od jednoho fázového bodu v běžné mechanice), obvykle reprezentované jako rozdělení v fázový prostor s kanonické souřadnice. V kvantové statistické mechanice je soubor rozdělení pravděpodobnosti na čisté stavy,^{[poznámka 2]} a lze je stručně shrnout jako a matice hustoty.

Jak je obvyklé u pravděpodobností, soubor lze interpretovat různými způsoby:^[1]

• soubor lze považovat za reprezentující různé možné stavy, které a jednotný systém může být v (epistemická pravděpodobnost, forma znalostí), nebo
• členy souboru lze chápat jako stavy systémů v experimentech opakovaných na nezávislých systémech, které byly připraveny podobným, ale nedokonale kontrolovaným způsobem (empirická pravděpodobnost ), v limitu nekonečného počtu pokusů.

Tyto dva významy jsou pro mnoho účelů ekvivalentní a v tomto článku budou použity zaměnitelně.

Pravděpodobnost je však interpretována, každý stav v souboru se v průběhu času vyvíjí podle pohybové rovnice. Proto se vyvíjí také samotný soubor (rozdělení pravděpodobnosti mezi státy), protože virtuální systémy v souboru neustále opouštějí jeden stav a vstupují do druhého. Vývoj souboru je dán Liouvilleova rovnice (klasická mechanika) nebo von Neumannova rovnice (kvantová mechanika). Tyto rovnice jsou jednoduše odvozeny aplikací mechanické pohybové rovnice samostatně na každý virtuální systém obsažený v souboru, přičemž je pravděpodobné, že se virtuální systém v průběhu času zachová, jak se bude vyvíjet ze státu do stavu.

Jednou speciální třídou souboru jsou soubory, které se časem nevyvíjejí. Tyto soubory jsou známé jako rovnovážné soubory a jejich stav je znám jako statistická rovnováha. Statistická rovnováha nastane, pokud soubor pro každý stav v souboru obsahuje také všechny jeho budoucí a minulé stavy s pravděpodobností rovnou pravděpodobnosti, že bude v tomto stavu.^{[Poznámka 3]} Studium rovnovážných souborů izolovaných systémů je předmětem statistické termodynamiky. Nerovnovážná statistická mechanika řeší obecnější případ souborů, které se časem mění, a / nebo souborů neizolovaných systémů.

Statistická termodynamika

Primárním cílem statistické termodynamiky (také známé jako rovnovážná statistická mechanika) je odvodit klasická termodynamika materiálů, pokud jde o vlastnosti jejich základních částic a interakce mezi nimi. Jinými slovy, statistická termodynamika poskytuje spojení mezi makroskopickými vlastnostmi materiálů v termodynamická rovnováha a mikroskopické chování a pohyby vyskytující se uvnitř materiálu.

Zatímco správná statistická mechanika zahrnuje dynamiku, zde je pozornost zaměřena na statistická rovnováha (ustálený stav). Statistická rovnováha neznamená, že se částice přestaly pohybovat (mechanická rovnováha ), spíše pouze to, že soubor se nevyvíjí.

Základní postulát

A dostatečný (ale není to nutné) podmínkou statistické rovnováhy s izolovaným systémem je to, že rozdělení pravděpodobnosti je funkcí pouze konzervovaných vlastností (celková energie, celkový počet částic atd.).^[1]Existuje mnoho různých rovnovážných souborů, které lze vzít v úvahu, a jen některé z nich odpovídají termodynamice.^[1] Jsou nezbytné další postuláty, aby se motivovalo, proč by soubor pro daný systém měl mít jednu či druhou podobu.

V mnoha učebnicích se běžně používá přístup rovná se apriorní pravděpodobnostní postulát.^[2] Tento postulát to uvádí

U izolovaného systému s přesně známou energií a přesně známým složením lze systém najít pomocí stejná pravděpodobnost v každém microstate v souladu s těmito znalostmi.

Rovnost a priori pravděpodobnostní postulát proto poskytuje motivaci pro mikrokanonický soubor popsané níže. Existují různé argumenty ve prospěch postulátu stejné apriorní pravděpodobnosti:

• Ergodická hypotéza: Ergodický systém je systém, který se v průběhu času vyvíjí, aby prozkoumal „všechny dostupné“ stavy: všechny se stejnou energií a složením. V ergodickém systému je mikrokanonický soubor jediným možným rovnovážným souborem s fixní energií. Tento přístup má omezenou použitelnost, protože většina systémů není ergodická.
• Princip lhostejnosti: Při absenci dalších informací můžeme každé kompatibilní situaci přiřadit pouze stejnou pravděpodobnost.
• Maximální entropie informací: Propracovanější verze principu lhostejnosti uvádí, že správným souborem je soubor, který je kompatibilní se známými informacemi a má největší Gibbsova entropie (informační entropie ).^[4]

Byly také navrženy další základní postuláty pro statistickou mechaniku.^[5]

Tři termodynamické soubory

Existují tři rovnovážné soubory s jednoduchou formou, které lze definovat pro všechny izolovaný systém ohraničený uvnitř konečného objemu.^[1] Toto jsou nejčastěji diskutované soubory ve statistické termodynamice. V makroskopickém limitu (definovaném níže) všechny odpovídají klasické termodynamice.

Mikrokanonický soubor

popisuje systém s přesně danou energií a pevným složením (přesný počet částic). Mikrokanonický soubor obsahuje se stejnou pravděpodobností každý možný stav, který je konzistentní s touto energií a složením.

Kanonický soubor

popisuje systém pevné kompozice, který je v tepelná rovnováha^{[poznámka 4]} s tepelná lázeň přesné teplota. Kanonický soubor obsahuje stavy různé energie, ale identické složení; různým stavům v souboru se přiznávají různé pravděpodobnosti v závislosti na jejich celkové energii.

Velký kanonický soubor

popisuje systém s nestálým složením (nejistý počet částic), který je v tepelné a chemické rovnováze s termodynamickým zásobníkem. Nádrž má přesnou teplotu a přesnou chemické potenciály pro různé typy částic. Velký kanonický soubor obsahuje stavy různé energie a různého počtu částic; různým stavům v souboru se přiznávají různé pravděpodobnosti v závislosti na jejich celkové energii a celkovém počtu částic.

Pro systémy obsahující mnoho částic ( termodynamický limit ), všechny tři výše uvedené soubory mají tendenci se chovat shodně. Potom už jde pouze o matematickou pohodlnost, který soubor se použije.^[6] Gibbsova věta o rovnocennosti souborů^[7] byl vyvinut do teorie koncentrace opatření jev,^[8] který má aplikace v mnoha oblastech vědy, od funkční analýzy po metody umělá inteligence a velká data technologie.^[9]

Důležité případy, kdy jsou termodynamické soubory ne dát shodné výsledky zahrnují:

• Mikroskopické systémy.
• Velké systémy s fázovým přechodem.
• Velké systémy s interakcemi na velké vzdálenosti.

V těchto případech musí být zvolen správný termodynamický soubor, protože mezi těmito soubory existují pozorovatelné rozdíly nejen ve velikosti fluktuací, ale také v průměrných množstvích, jako je distribuce částic. Správný soubor je ten, který odpovídá způsobu, jakým byl systém připraven a charakterizován - jinými slovy soubor, který odráží znalosti o tomto systému.^[2]

	Termodynamické soubory[1]
	Mikrokanonické	Kanonický	Velký kanonický
Opravené proměnné	${ displaystyle E, N, V}$	${ displaystyle T, N, V}$	${ displaystyle T, mu, V}$
Mikroskopické vlastnosti	Počet microstates ${ displaystyle W}$	Kanonická funkce oddílu ${ displaystyle Z = sum _ {k} e ^ {- E_ {k} / k_ {B} T}}$	Funkce velkého oddílu ${ displaystyle { mathcal {Z}} = součet _ {k} e ^ {- (E_ {k} - mu N_ {k}) / k_ {B} T}}$
Makroskopická funkce	Boltzmannova entropie ${ displaystyle S = k_ {B} log W}$	Helmholtzova volná energie ${ displaystyle F = -k_ {B} T log Z}$	Velký potenciál ${ displaystyle Omega = -k_ {B} T log { mathcal {Z}}}$

Výpočtové metody

Jakmile je funkce charakteristického stavu pro soubor vypočítána pro daný systém, je tento systém „vyřešen“ (z funkce charakteristického stavu lze extrahovat makroskopické pozorovatelné údaje). Výpočet funkce charakteristického stavu termodynamického souboru však nemusí být nutně jednoduchý úkol, protože zahrnuje zvážení všech možných stavů systému. Zatímco některé hypotetické systémy byly přesně vyřešeny, nejobecnější (a realistický) případ je příliš přesný pro přesné řešení. K přiblížení skutečného souboru a umožnění výpočtu průměrných veličin existují různé přístupy.

Přesný

Existují případy, které umožňují přesná řešení.

• U velmi malých mikroskopických systémů lze soubory přímo vypočítat jednoduchým výčtem všech možných stavů systému (pomocí přesné diagonalizace v kvantové mechanice nebo integrálem ve všech fázových prostorech v klasické mechanice).
• Některé velké systémy se skládají z mnoha oddělitelných mikroskopických systémů a každý ze subsystémů lze analyzovat samostatně. Zejména idealizované plyny neinteragujících částic mají tuto vlastnost, což umožňuje přesné derivace Statistiky Maxwell – Boltzmann, Statistiky Fermi – Dirac, a Statistiky Bose – Einstein.^[2]
• Bylo vyřešeno několik velkých systémů s interakcí. Pomocí jemných matematických technik byla u několika nalezena přesná řešení modely hraček.^[10] Některé příklady zahrnují Bethe ansatz, Isingův model se čtvercovou mřížkou v nulovém poli, model s tvrdým šestihranem.

Monte Carlo

Jeden přibližný přístup, který je zvláště vhodný pro počítače, je Metoda Monte Carlo, který zkoumá jen několik možných stavů systému, přičemž stavy jsou vybrány náhodně (se spravedlivou váhou). Pokud tyto stavy tvoří reprezentativní vzorek celé sady stavů systému, získá se přibližná charakteristická funkce. Protože je zahrnuto stále více náhodných vzorků, chyby se snižují na libovolně nízkou úroveň.

• The Algoritmus Metropolis – Hastings je klasická metoda Monte Carlo, která byla původně použita k výběru kanonického souboru.
• Cesta integrální Monte Carlo, také se používá k vzorkování kanonického souboru.

jiný

• Pro zředěné neideální plyny se používají přístupy, jako je rozšiřování klastrů použití teorie poruch zahrnout účinek slabých interakcí vedoucích k a viriální expanze.^[3]
• U hustých tekutin je další přibližný přístup založen na redukovaných distribučních funkcích, zejména na radiální distribuční funkce.^[3]
• Molekulární dynamika k výpočtu lze použít počítačové simulace mikrokanonický soubor průměry v ergodických systémech. Se zahrnutím připojení k stochastické tepelné lázni mohou také modelovat kanonické a velkokanonické podmínky.
• Mohou být užitečné smíšené metody zahrnující nerovnovážné statistické mechanické výsledky (viz níže).

Nerovnovážná statistická mechanika

Existuje mnoho zajímavých fyzikálních jevů, které zahrnují kvazi-termodynamické procesy mimo rovnováhu, například:

• transport tepla vnitřními pohyby v materiálu poháněn teplotní nerovnováhou,
• elektrické proudy přenášené pohybem nábojů ve vodiči poháněn nerovnováhou napětí,
• spontánní chemické reakce poháněn poklesem volné energie,
• tření, rozptýlení, kvantová dekoherence,
• systémy čerpané vnějšími silami (optické čerpání, atd.),
• a nevratné procesy obecně.

Všechny tyto procesy probíhají v průběhu času s charakteristickými rychlostmi a tyto rychlosti jsou důležité pro inženýrství. Oblast nerovnovážné statistické mechaniky se zabývá porozuměním těchto nerovnovážných procesů na mikroskopické úrovni. (Statistickou termodynamiku lze použít k výpočtu konečného výsledku až po odstranění vnější nerovnováhy a ustálení souboru zpět do rovnováhy.)

V zásadě může být nerovnovážná statistická mechanika matematicky přesná: soubory pro izolovaný systém se v průběhu času vyvíjejí podle deterministických rovnic, jako je Liouvilleova rovnice nebo jeho kvantový ekvivalent, von Neumannova rovnice. Tyto rovnice jsou výsledkem samostatného použití mechanických pohybových rovnic na každý stav v souboru. Bohužel tyto rovnice evoluce souborů zdědily velkou část složitosti základního mechanického pohybu, a proto je velmi obtížné získat přesná řešení. Rovnice vývoje evoluce souboru jsou navíc plně reverzibilní a neničí informace (soubor Gibbsova entropie je zachována). Aby bylo možné pokročit v modelování nevratných procesů, je nutné vzít v úvahu kromě pravděpodobnosti a reverzibilní mechaniky i další faktory.

Nerovnovážná mechanika je proto aktivní oblastí teoretického výzkumu, protože rozsah platnosti těchto dalších předpokladů je nadále zkoumán. Několik přístupů je popsáno v následujících pododdílech.

Stochastické metody

Jedním z přístupů k nerovnovážné statistické mechanice je začlenění stochastický (náhodné) chování do systému. Stochastické chování ničí informace obsažené v souboru. I když je to technicky nepřesné (kromě hypotetické situace zahrnující černé díry „Systém sám o sobě nemůže způsobit ztrátu informací), náhodnost se přidává, aby odrážela, že informace, které nás zajímají, se v průběhu času převedou na jemné korelace v systému nebo na korelace mezi systémem a prostředím. Tyto korelace se zobrazují jako chaotický nebo pseudonáhodné vlivy na sledované proměnné. Nahrazením těchto korelací vlastní správností lze výpočty mnohem usnadnit.

Metody téměř rovnovážné

Další důležitá třída nerovnovážných statistických mechanických modelů se zabývá systémy, které jsou z rovnováhy narušeny jen velmi málo. S velmi malými poruchami lze odpověď analyzovat v teorie lineární odezvy. Pozoruhodný výsledek, jak jej formalizoval fluktuace – věta o rozptylu, je to, že odezva systému, když je téměř rovnovážný, přesně souvisí s fluktuace které nastávají, když je systém v úplné rovnováze. V zásadě se systém, který je mírně vzdálený od rovnováhy - ať už je tam dán vnějšími silami nebo fluktuacemi - uvolňuje směrem k rovnováze stejným způsobem, protože systém nedokáže rozeznat rozdíl nebo „vědět“, jak se dostal pryč od rovnováhy.^[3]:664

To poskytuje nepřímou cestu k získání čísel, jako je ohmická vodivost a tepelná vodivost extrakcí výsledků z rovnovážné statistické mechaniky. Jelikož je rovnovážná statistická mechanika matematicky dobře definovaná a (v některých případech) vhodnější pro výpočty, může být pro výpočty v téměř rovnovážné statistické mechanice vhodnou zkratkou spojení fluktuace – rozptyl.

Několik teoretických nástrojů použitých k vytvoření tohoto připojení zahrnuje:

• Věta o fluktuaci - rozptylu
• Vzájemné vztahy Onsager
• Vztahy mezi zelenými a Kubo
• Landauer – Büttikerův formalismus
• Mori – Zwanzig formalismus

Hybridní metody

Pokročilý přístup využívá kombinaci stochastických metod a teorie lineární odezvy. Jako příklad lze uvést jeden přístup k výpočtu účinků kvantové koherence (slabá lokalizace, fluktuace vodivosti ) ve vedení elektronického systému je použití vztahů zeleno-kubo se zahrnutím stochastických dephasing interakcemi mezi různými elektrony pomocí Keldyshovy metody.^[11][12]

Aplikace mimo termodynamiku

Formalizmus souboru lze také použít k analýze obecných mechanických systémů s nejistotou ve znalostech o stavu systému. Soubory se také používají v:

• šíření nejistoty přesčas,^[1]
• regresní analýza gravitační oběžné dráhy,
• předpovídání souboru počasí,
• dynamika neuronové sítě,
• omezeně-racionální potenciální hry v teorii her a ekonomii.

Dějiny

V roce 1738 švýcarský fyzik a matematik Daniel Bernoulli zveřejněno Hydrodynamica který položil základ pro kinetická teorie plynů. V této práci Bernoulli přednesl argument, který se dodnes používá, že plyny se skládají z velkého počtu molekul pohybujících se všemi směry, že jejich dopad na povrch způsobuje tlak plynu, který cítíme, a že to, co zažíváme jako teplo je jednoduše kinetická energie jejich pohybu.^[5]

V roce 1859, po přečtení článku o difúzi molekul do Rudolf Clausius, Skotský fyzik James Clerk Maxwell formuloval Maxwellova distribuce molekulárních rychlostí, které dávají podíl molekul majících určitou rychlost ve specifickém rozsahu.^[13] Jednalo se o vůbec první statistický zákon ve fyzice.^[14] Maxwell také uvedl první mechanický argument, že molekulární srážky mají za následek vyrovnání teplot a tudíž tendenci k rovnováze.^[15] O pět let později, v roce 1864, Ludwig Boltzmann, mladý student ve Vídni, narazil na Maxwellovu práci a strávil většinu svého života dalším rozvíjením předmětu.

Vlastní statistická mechanika byla zahájena v 70. letech 19. století prací Boltzmanna, z nichž většina byla společně publikována v jeho 1896 Přednášky o teorii plynu.^[16] Boltzmannovy původní práce o statistické interpretaci termodynamiky, H-věta, dopravní teorie, tepelná rovnováha, stavová rovnice plyny a podobné subjekty zabírají v sbornících Vídeňské akademie a dalších společností asi 2 000 stran. Boltzmann představil koncept rovnovážného statistického souboru a také poprvé zkoumal nerovnovážnou statistickou mechaniku H-teorém.

Pojem „statistická mechanika“ vytvořil americký matematický fyzik J. Willard Gibbs v roce 1884.^{[17][poznámka 5]} „Pravděpodobnostní mechanika“ se dnes může jevit jako vhodnější termín, ale „statistická mechanika“ je pevně zakořeněna.^[18] Krátce před svou smrtí publikoval Gibbs v roce 1902 Základní principy statistické mechaniky, kniha, která formalizovala statistickou mechaniku jako zcela obecný přístup k řešení všech mechanických systémů - makroskopických nebo mikroskopických, plynných i jiných než plynných.^[1] Gibbsovy metody byly původně odvozeny v rámci klasická mechanika, nicméně byli takové obecnosti, že se zjistilo, že se snadno přizpůsobili pozdějšímu kvantová mechanika, a dodnes tvoří základ statistické mechaniky.^[2]

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Filozofie statistické mechaniky článek Lawrence Sklara pro Stanfordská encyklopedie filozofie.
• Sklogwiki - Termodynamika, statistická mechanika a počítačová simulace materiálů. SklogWiki je zvláště zaměřen na kapaliny a měkké kondenzované látky.
• Statistická termodynamika - Historická časová osa
• Termodynamika a statistická mechanika Richard Fitzpatrick
• Přednášky ze statistické mechaniky a mezoskopie Doron Cohen
• Videa z řady přednášek ve statistické mechanice na Youtube učil Leonard Susskind.
• Vu-Quoc, L., Konfigurační integrál (statistická mechanika), 2008. tato wiki stránka nefunguje; vidět tento článek ve webovém archivu dne 28. dubna 2012.