Neparametrický zkosení - Nonparametric skew - Wikipedia

v statistika a teorie pravděpodobnosti, neparametrický zkosení je statistický příležitostně používán s náhodné proměnné to zabere nemovitý hodnoty.^[1][2] Je to míra šikmost náhodných proměnných rozdělení - to znamená, že tendence distribuce „přiklánět se“ k jedné nebo druhé straně znamenat. Jeho výpočet nevyžaduje žádnou znalost formy základní distribuce - odtud název neparametrické. Má některé žádoucí vlastnosti: pro všechny je nulová symetrické rozdělení; není ovlivněn a měřítko posun; a stejně dobře odhaluje šikmost vlevo i vpravo. V některých statistické vzorky ukázalo se, že je méně silný^[3] než obvyklá opatření šikmosti při zjišťování odletů počet obyvatel z normálnost.^[4]

Vlastnosti

Definice

Neparametrický zkosení je definován jako

${ displaystyle S = { frac { mu - nu} { sigma}}}$

Kde znamenat (µ), medián (ν) a standardní odchylka (σ) populace mají své obvyklé významy.

Vlastnosti

Neparametrický zkosení je třetina z Pearsonův koeficient 2 šikmosti a leží mezi −1 a +1 pro jakoukoli distribuci.^[5][6] Tento rozsah je implikován skutečností, že průměr leží v jedné standardní odchylce jakéhokoli mediánu.^[7]

Pod afinní transformace proměnné (X), hodnota S se nemění, kromě případné změny znaménka. V symbolech

${ displaystyle S (aX + b) = operatorname {znamení} (a) , S (X)}$

kde A ≠ 0 a b jsou konstanty a S( X ) je neparametrický zkosení proměnné X.

Ostřejší hranice

Hranice této statistiky (± 1) zaostřil Majindar^[8] kdo ukázal, že je to absolutní hodnota je ohraničen

${ displaystyle { frac {2 (pq) ^ {1/2}} {(p + q) ^ {1/2}}}}$

s

${ displaystyle p = Pr (X> operatorname {E} (X))}$

a

${ displaystyle q = Pr (X < operatorname {E} (X)),}$

kde X je náhodná proměnná s konečnou hodnotou rozptyl, E() je operátor očekávání a Pr() je pravděpodobnost výskytu události.

Když p = q = 0,5 je absolutní hodnota této statistiky omezena 1. S p = 0,1 a p = 0,01, absolutní hodnota statistiky je omezena 0,6, respektive 0,199.

Rozšíření

Je také známo, že^[9]

${ displaystyle | mu - nu _ {0} | leq operatorname {E} (| X- nu _ {0} |) leq operatorname {E} (| X- mu |) leq sigma,}$

kde ν₀ je jakýkoli medián a E(.) je operátor očekávání.

Bylo prokázáno, že

${ displaystyle { frac {| mu -x_ {q} |} { sigma}} leq max left ({ sqrt { frac {(1-q)} {q}}}, { sqrt { frac {q} {(1-q)}}} vpravo)}$

kde X_q je q^th kvantil.^[7] Kvantily leží mezi 0 a 1: medián (0,5 kvantilu) má q = 0,5. Tato nerovnost byla také použita k definování míry šikmosti.^[10]

Tato nerovnost byla dále zostřena.^[11]

${ displaystyle mu - sigma { sqrt { frac {1-q} {q}}} leq x_ {q} leq mu + sigma { sqrt { frac {q} {1-q }}}}$

Bylo publikováno další rozšíření pro distribuci s konečnou střední hodnotou:^[12]

${ displaystyle mu - { frac {1} {2q}} operatorname {E} | X- mu | leq x_ {q} leq mu + { frac {1} {(2-2q) }} operatorname {E} | X- mu |}$

Hranice v této poslední dvojici nerovností jsou dosaženy, když ${ displaystyle Pr (X = a) = q}$ a ${ displaystyle Pr (X = b) = 1-q}$ pro pevná čísla A < b.

Konečné vzorky

Pro konečný vzorek s velikostí vzorku n ≥ 2 s X_r je r^th statistika objednávky, m průměr vzorku a s the standardní směrodatná odchylka korigováno na stupně volnosti,^[13]

${ displaystyle { frac {| m-x_ {r} |} {s}} leq { text {max}} left [{ sqrt { frac {(n-1) (r-1)} {n (n-r + 1)}}}, { sqrt { frac {(n-1) (nr)} {nr}}} doprava]}$

Výměna r s n / 2 udává výsledek vhodný pro medián vzorku:^[14]

${ displaystyle { frac {| ma |} {s}} leq { sqrt { frac {n ^ {2} -n} {n ^ {2}}}}} = { sqrt { frac {n -1} {n}}}}$

kde A je medián vzorku.

Statistické testy

Hotelling a Solomons uvažovali o rozdělení testovací statistiky^[5]

${ displaystyle D = { frac {n (m-a)} {s}}}$

kde n je velikost vzorku, m je průměr vzorku, A je medián vzorku a s je standardní odchylka vzorku.

Statistické testy D předpokládali, že testovanou nulovou hypotézou je, že distribuce je symetrická.

Gastwirth odhadl asymptotiku rozptyl z n^−1/2D.^[15] Pokud je distribuce unimodální a symetrická kolem 0, asymptotická odchylka leží mezi 1/4 a 1. Předpoklad konzervativního odhadu (uvedení rozptylu rovného 1) může vést ke skutečné hladině významnosti hluboko pod nominální úrovní.

Za předpokladu, že podkladová distribuce je symetrická, Cabilio a Masaro ukázali, že distribuce S je asymptoticky normální.^[16] Asymptotická varianta závisí na základní distribuci: pro normální distribuci asymptotická varianta S√n je 0,5708 ...

Za předpokladu, že podkladová distribuce je symetrická, uvažujeme o distribuci hodnot nad a pod mediánem Zheng a Gastwirth tvrdí, že^[17]

${ displaystyle { sqrt {2n}} vlevo ({ frac {m-a} {s}} vpravo)}$

kde n je velikost vzorku, je distribuována jako a t distribuce.

Související statistiky

Mira studovala rozdělení rozdílu mezi průměrem a mediánem.^[18]

${ displaystyle gamma _ {1} = 2 (m-a),}$

kde m je průměr vzorku a A je medián. Pokud je podkladové rozdělení symetrické y₁ sama o sobě je asymptoticky normální. Tuto statistiku dříve navrhl Bonferroni.^[19]

Za předpokladu symetrické základní distribuce, modifikace S studoval Miao, Gel a Gastwirth, kteří upravili směrodatnou odchylku, aby vytvořili svou statistiku.^[20]

${ displaystyle J = { frac {1} {n}} { sqrt { frac { pi} {2}}} sum {| X_ {i} -a |}}$

kde X_i jsou hodnoty vzorku, || je absolutní hodnota a součet je převzat vše n hodnoty vzorku.

Statistika testu byla

${ displaystyle T = { frac {m-a} {J}}.}$

Škálovaná statistika T√n je asymptoticky normální s průměrem nula pro symetrické rozdělení. Jeho asymptotická odchylka závisí na základním rozdělení: mezní hodnoty jsou pro normální rozdělení var (T√n) = 0,5708 ... a pro t distribuce se třemi stupně svobody, var (T√n) = 0.9689...^[20]

Hodnoty pro jednotlivé distribuce

Symetrické rozdělení

Pro symetrické rozdělení pravděpodobnosti hodnota neparametrického zkosení je 0.

Asymetrické rozdělení

Je pozitivní pro pravoúhlé distribuce a záporné pro pravoúhlé distribuce. Absolutní hodnoty ≥ 0,2 označují výraznou šikmost.

Může být obtížné to určit S pro některé distribuce. Je to obvykle proto, že uzavřená forma pro medián není známa: příklady takových distribucí zahrnují gama distribuce, inverzní-chi-kvadrát distribuce, inverzní gama distribuce a škálované inverzní rozdělení chí-kvadrát.

Následující hodnoty pro S jsou známy:

• Distribuce beta: 1 < α < β kde α a β jsou parametry distribuce, pak na dobrou aproximaci^[21]

${ displaystyle S = { frac {1} {3}} { frac {( alpha -2 beta) ( alpha + beta +1) ^ {1/2}} {( alpha + beta -2/3) ( alpha beta) ^ {1/2}}}}$

Pokud 1 < β < α pak pozice α a β jsou ve vzorci obráceny. S je vždy <0.

• Binomická distribuce: liší se. Pokud je průměrná hodnota celé číslo pak S = 0. Pokud průměr není celé číslo S může mít buď znaménko, nebo být nula.^[22] Je ohraničen ± min {max {p, 1 − p }, přihlásit_E2 } / σ kde σ je směrodatná odchylka binomického rozdělení.^[23]
• Distribuce otřepů:
• Distribuce Birnbaum – Saunders:

${ displaystyle S = { frac {2} { beta ^ {2} (4 + 5 alpha ^ {2})}}}$

kde α je parametr tvaru a β je parametr umístění.

• Distribuce Cantor:

${ displaystyle { frac {-4} {3}} leq S leq { frac {4} {3}}}$

• Chi čtvercová distribuce: Ačkoli S ≥ 0 jeho hodnota závisí na počtu stupně svobody (k).

${ displaystyle S cca { frac {1- (1 - { frac {2} {k}}) ^ {3}} {2}}}$

• Distribuce dagum:
• Exponenciální rozdělení:

${ displaystyle S = 1- log _ {e} (2) přibližně 0,31}$

• Exponenciální rozdělení se dvěma parametry:^[24]

${ displaystyle S = 1- log _ {e} (2) přibližně 0,31}$

• Exponenciálně logaritmická distribuce

${ displaystyle S = - { frac {polylog (2,1-p) + ln (1 + { sqrt {p}}) ln p} { sqrt {- [2polylog (3,1-p) + polylog ^ {2} (2,1-p)]}}}}$

Tady S je vždy> 0.

• Exponenciálně upravené Gaussovo rozdělení:

${ displaystyle 0 leq S leq 1- log _ {e} (2)}$

• F distribuce s n a n stupně svobody ( n > 4 ):^[25]

${ displaystyle S = n ^ {- 3/2} { sqrt { frac {n-4} {n-2}}} + O (n ^ {- 5/2})}$

• Fréchetová distribuce: Rozptyl této distribuce je definován pouze pro α > 2.

${ displaystyle S = { frac { Gamma vlevo (1 - { frac {1} { alpha}} vpravo) - { frac {1} {{ sqrt { alpha}} log _ { e} (2)}}} { sqrt { Gamma vlevo (1 - { frac {2} { alpha}} vpravo) - vlevo ( Gamma vlevo (1 - { frac {1} { alpha}} right) right) ^ {2}}}}}$

• Distribuce gama: Medián lze určit pouze přibližně pro toto rozdělení.^[26] Pokud je tvarový parametr α je pak ≥ 1

${ displaystyle S přibližně { frac { beta} {3 alpha +0.2}}}$

kde β > 0 je parametr rychlosti. Tady S je vždy> 0.

• Zobecněné normální rozdělení verze 2

${ displaystyle S = - { frac { exp ({ frac {-k ^ {2}} {2}}) - 1} { sqrt { exp ({ frac {k ^ {2}} { 2}}) - 1}}}}$

S je vždy <0.

• Zobecněná Paretova distribuce: S je definováno pouze tehdy, když je parametr tvaru ( k ) je <1/2. S je <0 pro tuto distribuci.

${ displaystyle S = left ({ frac {2 ^ {k} -1} {k}} - 2 ^ {k} right) (1-2k) ^ {0,5}}$

• Gumbelova distribuce:

${ displaystyle { frac {{ sqrt {6}} [ gamma + log _ {e} ( log _ {e} (2))]} { pi}} přibližně 0,1663}$

kde y je Eulerova konstanta.^[27]

• Napůl normální rozdělení:^[24]

${ displaystyle S přibližně { frac {{ sqrt {2}} - 0,6745 { sqrt { pi}}} { sqrt { pi -2}}} přibližně 0,36279}$

• Distribuce kumaraswamy
• Log-logistická distribuce (Fiskova distribuce): Let β být tvarovým parametrem. Rozptyl a průměr tohoto rozdělení jsou definovány pouze tehdy, když β > 2. Pro zjednodušení zápisu nechte b = β / π.

${ displaystyle S = { frac {b- sin (b)} { sqrt {b tan (b) -b ^ {2}}}}}$

Směrodatná odchylka neexistuje pro hodnoty b > 4,932 (přibližně). U hodnot, pro které je definována směrodatná odchylka, S je> 0.

• Normální distribuce protokolu: S průměrem ( μ ) a rozptyl ( σ² )

${ displaystyle S = { frac {1} {(e ^ { frac { sigma ^ {2}} {2}} + 1) (e ^ { mu + sigma ^ {2}})}} }$

• Log-Weibullova distribuce:^[24]

${ displaystyle S cca { frac {[ log _ {e} ( log _ {e} (2)) - 0,5772] { sqrt {6}}} { pi}} cca -0,1643}$

• Distribuce Lomax: S je definováno pouze pro α > 2

${ displaystyle S = { frac {( alpha -1) ( alpha -2) (1 - ( alpha -1) (2 ^ {1 / alpha} -1))} { alpha ^ {1 / 2}}}}$

• Distribuce Maxwell – Boltzmann:^[24]

${ displaystyle S cca { frac {{ sqrt {2}} - 1,5382 Gamma ({ frac {3} {2}})}} { sqrt {2 ( Gamma ({ frac {5} { 2}}) - Gamma ({ frac {3} {2}}))}}} přibližně 0,0854}$

• Distribuce nakagami

${ displaystyle S = -1}$

• Paretova distribuce: pro α > 2 kde α je tvarový parametr distribuce,

${ displaystyle S = ( alpha -2 ^ {1 / alpha} [ alpha -1]) ({ frac { alpha -2} { alpha}}) ^ {1/2},}$

a S je vždy> 0.

• Poissonovo rozdělení:

${ displaystyle { frac {- log _ {e} (2)} { lambda ^ { frac {1} {2}}}} leq S leq { frac {1} {3 lambda ^ { frac {1} {2}}}}}$

kde λ je parametr distribuce.^[28]

• Rayleighova distribuce:

${ displaystyle S = { sqrt { frac {2} {4- pi}}} [({ frac { pi} {2}}) ^ {0,5} - log _ {e} (4) ] přibližně 0,1251}$

• Weibullova distribuce:

${ displaystyle S = { frac { Gamma (1 + 1 / k) - log _ {e} (2) ^ {1 / k}} {( Gamma (1 + 2 / k) - Gamma ( 1 + 1 / k)) ^ {1/2}}},}$

kde k je tvarový parametr distribuce. Tady S je vždy> 0.

Dějiny

V roce 1895 Pearson nejprve navrhl měření šikmosti standardizováním rozdílu mezi průměrem a režimu,^[29] dávat

${ displaystyle { frac { mu - theta} { sigma}},}$

kde μ, θ a σ je průměr, režim a směrodatná odchylka distribuce. Odhady režimu populace ze vzorků mohou být obtížné, ale rozdíl mezi průměrem a režimem pro mnoho distribucí je přibližně trojnásobek rozdílu mezi průměrem a mediánem^[30] který navrhl Pearsonovi druhý koeficient šikmosti:

${ displaystyle { frac {3 ( mu - nu)} { sigma}},}$

kde ν je medián distribuce. Bowley klesl faktor 3 z tohoto vzorce v roce 1901, což vedlo k neparametrické statistice zkosení.

Vztah mezi mediánem, průměrem a módem si poprvé všiml Pearson, když zkoumal své distribuce typu III.

Vztahy mezi průměrem, mediánem a módem

Pro libovolné rozdělení se režim, medián a průměr mohou objevit v libovolném pořadí.^[31][32][33]

Byly provedeny analýzy některých vztahů mezi průměrem, mediánem, režimem a standardní odchylkou.^[34] a tyto vztahy kladou určitá omezení na znaménko a velikost neparametrického zkosení.

Jednoduchým příkladem ilustrujícím tyto vztahy je binomická distribuce s n = 10 a p = 0.09.^[35] Toto rozdělení, když je vyneseno, má dlouhý pravý ocas. Průměr (0,9) je nalevo od mediánu (1), ale zkosení (0,906) definované třetím standardizovaným momentem je kladné. Naproti tomu neparametrický zkosení je -0,110.

Pearsonovo pravidlo

Pravidlo, že u některých distribucí je rozdíl mezi průměrem a režimem třikrát větší než mezi průměrem a mediánem, je způsobeno Pearsonem, který jej objevil při vyšetřování svých distribucí typu 3. Často se používá u mírně asymetrických distribucí, které se podobají normálnímu distribuci, ale není to vždy pravda.

V roce 1895 Pearson poznamenal, že pro to, co je nyní známé jako gama distribuce že vztah^[29]

${ displaystyle nu - theta = 2 ( mu - nu)}$

kde θ, ν a µ jsou režim, medián a průměr distribuce respektive přibližně platné pro distribuce s velkým tvarovým parametrem.

Doodson v roce 1917 dokázal, že medián leží mezi režimem a průměrem pro mírně zkosené distribuce s konečnými čtvrtými momenty.^[36] Tento vztah platí pro všechny Pearsonovy distribuce a všechny tyto distribuce mají pozitivní neparametrický sklon.

Doodson také poznamenal, že pro tuto rodinu distribucí na dobrou aproximaci

${ displaystyle theta = 3 nu -2 mu,}$

kde θ, ν a µ jsou režim, medián a průměr distribuce. Doodsonova aproximace byla dále zkoumána a potvrzena Haldane.^[37] Haldane poznamenal, že vzorky se stejnými a nezávislými se liší s třetinou kumulant měl vzorek znamená, že se řídil Pearsonovým vztahem pro velké velikosti vzorků. Haldane požadoval, aby tento vztah platil několik podmínek, včetně existence Edgeworth expanze a jedinečnost mediánu i režimu. Za těchto podmínek zjistil, že režim a medián konvergovaly k 1/2 respektive 1/6 třetího okamžiku. Tento výsledek potvrdil Hall za slabších podmínek s použitím charakteristické funkce.^[38]

Doodsonův vztah studovali Kendall a Stuart v normální distribuce protokolu pro které našli blízký přesný vztah.^[39]

Hall také ukázal, že pro distribuci s pravidelně se měnícími ocasy a exponenty α že^{[je zapotřebí objasnění ][38]}

${ displaystyle mu - theta = alfa ( mu - nu)}$

Unimodální distribuce

Gauss ukázal v roce 1823, že pro a unimodální distribuce^[40]

${ Displaystyle sigma leq omega leq 2 sigma}$

a

${ displaystyle | nu - mu | leq { sqrt { frac {3} {4}}} omega,}$

kde ω je střední kvadratická odchylka od režimu.

U velké třídy unimodálních distribucí, které pozitivně zkreslují režim, medián a průměr spadají v tomto pořadí.^[41] Naopak pro velkou třídu unimodálních distribucí, které jsou negativně zkosené, je průměr menší než medián, který je zase menší než režim. V symbolech pro tyto pozitivně zkosené unimodální distribuce

${ Displaystyle theta leq nu leq mu}$

a pro tyto negativně vychýlené unimodální distribuce

${ displaystyle mu leq nu leq theta}$

Tato třída zahrnuje důležité distribuce F, beta a gama.

Toto pravidlo neplatí pro unimodální Weibullovu distribuci.^[42]

Pro unimodální distribuci jsou známy následující hranice, které jsou ostré:^[43]

${ displaystyle { frac {| theta - mu |} { sigma}} leq { sqrt {3}},}$

${ displaystyle { frac {| nu - mu |} { sigma}} leq { sqrt {0,6}},}$

${ displaystyle { frac {| theta - nu |} { sigma}} leq { sqrt {3}},}$

kde μ,ν a θ jsou průměr, medián a režim.

Střední hranice omezuje neparametrické zkosení unimodálního rozdělení na přibližně ± 0,775.

stav van Zwet

Následující nerovnost,

${ displaystyle theta leq nu leq mu,}$

kde θ, ν a µ je režim, medián a průměr distribuce, platí, pokud

${ displaystyle F ( nu -x) + F ( nu + x) geq 1 { text {pro všechny}} x,}$

kde F je kumulativní distribuční funkce distribuce.^[44] Tyto podmínky byly od té doby zobecněny^[33] a rozšířena na diskrétní distribuce.^[45] Jakákoli distribuce, pro kterou to platí, má nulový nebo pozitivní neparametrický zkosení.

Poznámky

Objednávka šikmosti

V roce 1964 van Zwet navrhl řadu axiomů pro objednání opatření šikmosti.^[46] Neparametrický zkosení tyto axiomy nesplňuje.

Benfordův zákon

Benfordův zákon je empirický zákon týkající se distribuce číslic v seznamu čísel. Bylo navrženo, že náhodné odchylky od distribucí s pozitivním neparametrickým zkosením se budou řídit tímto zákonem.^[47]

Vztah k Bowleyho koeficientu

Tuto statistiku lze odvodit z Bowleyho koeficientu šikmosti^[48]

${ displaystyle SK_ {2} = { frac {Q_ {3} + Q_ {1} -2Q_ {2}} {Q_ {3} -Q_ {1}}}}$

kde Q_i je i-tý kvartil distribuce.

Hinkley to zobecnil^[49]

${ displaystyle SK = { frac {F ^ {- 1} (1- alpha) + F ^ {- 1} ( alpha) -2Q_ {2}} {Q_ {3} -Q_ {1}}} }$

kde ${ displaystyle alpha}$ leží mezi 0 a 0,5. Bowleyův koeficient je zvláštní případ ${ displaystyle alpha}$ rovnající se 0,25.

Groeneveld a Meeden^[50] odstranil závislost na integraci přes to.

${ displaystyle SK_ {3} = { frac { mu -Q_ {2}} {E | y-Q_ {2} |}}}$

Jmenovatel je měřítkem rozptylu. Nahrazením jmenovatele směrodatnou odchylkou získáme neparametrický zkosení.

Reference