Funkce Cantor - Cantor function

v matematika, Funkce Cantor je příkladem a funkce to je kontinuální, ale ne absolutně kontinuální. Je to notoricky známý protipříklad v analýze, protože zpochybňuje naivní intuice o kontinuitě, derivaci a míře. Ačkoli je všude spojitá a téměř všude má nulovou derivaci, její hodnota se stále pohybuje od 0 do 1, protože její argument dosahuje od 0 do 1. Funkce se tedy v jednom smyslu jeví jako konstantní, která nemůže růst, a v jiném , stavbou skutečně monotónně roste.
To je také označováno jako Cantor ternární funkce, Lebesgueova funkce,[1] Lebesgueova singulární funkce, Funkce Cantor – Vitali, Ďáblovo schodiště,[2] the Funkce schodiště Cantor,[3] a Funkce Cantor – Lebesgue.[4] Georg Cantor (1884 ) představil funkci Cantor a zmínil, že Scheeffer poukázal na to, že se jednalo o protiklad k rozšíření základní věta o počtu nárokováno Harnack. Funkce Cantor byla diskutována a popularizována Scheeffer (1884), Lebesgue (1904) a Vitali (1905).
Definice

Viz obrázek. Formálně definovat funkci Cantor C : [0,1] → [0,1], let X být v [0,1] a získat C(X) následujícími kroky:
- Vyjádřit X v základně 3.
- Li X obsahuje 1, nahraďte každou číslici striktně po první 1 0.
- Nahraďte zbývající 2 s 1 s.
- Výsledek interpretujte jako binární číslo. Výsledek je C(X).
Například:
- 1/4 je 0,02020202 ... v základně 3. Neexistují žádné 1 s, takže další fáze je stále 0,02020202 ... To se přepíše na 0,01010101 ... Při čtení v základu 2 to odpovídá 1/3, takže C(1/4) = 1/3.
- 1/5 je 0,01210121 ... v základu 3. Číslice za první 1 jsou nahrazeny 0s, aby vyprodukovaly 0,01000000 ... To se nepřepisuje, protože nejsou žádné 2s. Při čtení v základně 2 to odpovídá 1/4, takže C(1/5) = 1/4.
- 200/243 je 0,21102 (nebo 0,211012222 ...) v základně 3. Číslice za první 1 jsou nahrazeny 0s, čímž se získá 0,21. Toto je přepsáno jako 0,11. Při čtení v základně 2 to odpovídá 3/4, takže C(200/243) = 3/4.
Ekvivalentně, pokud je Cantor set na [0,1], pak funkce Cantor C : [0,1] → [0,1] lze definovat jako
Tento vzorec je dobře definovaný, protože každý člen sady Cantor má a unikátní reprezentace základny 3, která obsahuje pouze číslice 0 nebo 2. (Pro některé členy , ternární expanze se opakuje s koncovými 2 a existuje alternativní neopakující se expanze končící na 1. Například 1/3 = 0,13 = 0.02222...3 je členem sady Cantor). Od té doby C(0) = 0 a C(1) = 1 a C je monotónní , je jasné, že 0 ≤ C(X) ≤ 1 platí také pro všechny .
Vlastnosti
Funkce Cantor zpochybňuje naivní intuice kontinuita a opatření; i když je spojitý všude a má nulovou derivaci téměř všude, jde z 0 na 1 jako jde od 0 do 1 a přebírá každou hodnotu mezi nimi. Funkce Cantor je nejčastěji uváděným příkladem skutečné funkce, která je rovnoměrně spojité (přesně to je Hölder kontinuální exponentu α = log 2 / log 3), ale ne absolutně kontinuální. Je konstantní v intervalech formuláře (0.X1X2X3...Xn022222..., 0.X1X2X3...Xn200000 ...) a každý bod, který není v sadě Cantor, je v jednom z těchto intervalů, takže její derivace je mimo sadu Cantor 0. Na druhou stranu nemá derivát kdykoli v an nespočet podmnožina Cantor set obsahující výše popsané koncové body intervalu.
Na funkci Cantor lze také pohlížet jako na funkce distribuce kumulativní pravděpodobnosti z 1 / 2-1 / 2 Bernoulliho opatření μ podporováno v sadě Cantor: . Toto rozdělení pravděpodobnosti, nazývané Distribuce Cantor, nemá žádnou samostatnou část. To znamená, že odpovídající opatření je bez atomů. Proto ve funkci nejsou žádné diskontinuity skoků; jakýkoli takový skok by odpovídal atomu v míře.
Žádnou nekonstantní část Cantorovy funkce však nelze reprezentovat jako integrál a funkce hustoty pravděpodobnosti; integrace jakéhokoli domnělého funkce hustoty pravděpodobnosti to není téměř všude nula v libovolném intervalu dá kladnou pravděpodobnost nějakému intervalu, kterému toto rozdělení přiřadí pravděpodobnost nula. Zejména jako Vitali (1905) poukázal na to, že funkce není integrálem její derivace, i když derivace existuje téměř všude.
Funkce Cantor je standardním příkladem a singulární funkce.
Funkce Cantor neklesá, a tak zejména její graf definuje a usměrnitelná křivka. Scheeffer (1884) ukázal, že délka oblouku jeho grafu je 2.
Nedostatek absolutní kontinuity
Protože Lebesgueovo opatření z nespočetně nekonečný Cantor set je 0, pro jakékoli kladné ε <1 a δ, existuje konečná posloupnost párově disjunktní dílčí intervaly s celkovou délkou <δ nad kterou funkce Cantor kumulativně stoupá více nežε.
Ve skutečnosti pro každého δ > 0 existuje konečně mnoho párových disjunktních intervalů (Xk,yk) (1 ≤ k ≤ M) s a .
Alternativní definice
Iterativní konstrukce

Níže definujeme sekvenci {Fn} funkcí na jednotkovém intervalu, který konverguje k Cantorově funkci.
Nechat F0(X) = X.
Pak pro každé celé číslo n ≥ 0, další funkce Fn+1(X) budou definovány ve smyslu Fn(X) jak následuje:
Nechat Fn+1(X) = 1/2 × Fn(3X), když 0 ≤ X ≤ 1/3 ;
Nechat Fn+1(X) = 1/2, když 1/3 ≤ X ≤ 2/3 ;
Nechat Fn+1(X) = 1/2 + 1/2 × Fn(3 X − 2), když 2/3 ≤ X ≤ 1.
Tyto tři definice jsou kompatibilní v koncových bodech 1/3 a 2/3, protože Fn(0) = 0 a Fn(1) = 1 pro každéhonindukcí. Jeden to může zkontrolovat Fn konverguje bodově na výše definovanou funkci Cantor. Konvergence je navíc jednotná. Rozdělení do tří případů podle definice Fn+1, jeden to vidí
Li F označuje limitní funkci, z toho vyplývá, že pro každou n ≥ 0,
Rovněž nezáleží na výběru spouštěcí funkce F0(0) = 0, F0(1) = 1 a F0 je ohraničený[Citace je zapotřebí ].
Fraktální objem
Funkce Cantor úzce souvisí s Cantor set. Sada Cantor C lze definovat jako množinu těch čísel v intervalu [0, 1], která neobsahují číslici 1 v jejich base-3 (triadic) expanze, s výjimkou případů, kdy za 1 následují pouze nuly (v tom případě ocas 1000 lze nahradit 0222 zbavit se 1). Ukázalo se, že sada Cantor je fraktální s (nespočetně) nekonečně mnoha body (nulový rozměr), ale nulovou délkou (jednorozměrný objem). Pouze D-dimenzionální objem (ve smyslu a Hausdorffovo opatření ) má konečnou hodnotu, kde je fraktální dimenze C. Funkci Cantor můžeme definovat alternativně jako D-rozměrný objem sekcí sady Cantor
Self-podobnost
Funkce Cantor má několik symetrie. Pro , existuje reflexní symetrie
a pár zvětšení, jedno vlevo a druhé vpravo:
a
Zvětšení lze kaskádovat; generují dyadický monoid. To se projevuje definováním několika pomocných funkcí. Definujte odraz jako
První autosymetrii lze vyjádřit jako
kde symbol označuje složení funkce. To znamená a obdobně pro ostatní případy. Pro zvětšení vlevo a vpravo napište mapování vlevo
- a
Funkce Cantor se poté řídí
Podobně definujte správná mapování jako
- a
Pak také
Obě strany se přitom mohou zrcadlit jedna na druhou
a podobně,
Tyto operace lze libovolně skládat. Zvažte například posloupnost tahů zleva doprava Přidání dolních indexů C a D a pro přehlednost zrušení operátoru složení na všech místech kromě několika má jeden:
Libovolné řetězce konečné délky v písmenech L a R odpovídají dyadické racionály v tom, že každý dyadický racionál lze psát jako obojí pro celé číslo n a m a jako konečná délka bitů s Každý dyadický racionál je tedy v korespondenci jedna k jedné s určitou symetrií Cantorovy funkce.
Některé notové přeskupení mohou výše uvedené výrazy mírně usnadnit. Nechat a zkratka pro L a R. Funkční složení to rozšiřuje na a monoidní, v tom lze psát a obecně, pro některé binární řetězce číslic A, B, kde AB je obyčejný zřetězení takových řetězců. Dyadický monoid M je pak monoidem všech takových pohybů zleva doprava s konečnou délkou. Psaní jako obecný prvek monoidu existuje odpovídající autosymetrie Cantorovy funkce:
Samotný dyadický monoid má několik zajímavých vlastností. Lze jej zobrazit jako konečný počet pohybů zleva doprava po nekonečnu binární strom; nekonečně vzdálené „listy“ na stromě odpovídají bodům na Cantorově množině, a tak monoid také představuje samo-symetrie Cantorovy množiny. Ve skutečnosti je velká skupina běžně se vyskytujících fraktálů popsána dyadickým monoidem; další příklady najdete v článku na de Rhamovy křivky. Jiné fraktály, které mají sebepodobnost, jsou popsány u jiných druhů monoidů. Dyadický monoid je sám submonoidem modulární skupina
Všimněte si, že funkce Cantor má více než jen podobnou podobu Funkce Minkowského otazníku. Zejména se řídí přesně stejnými vztahy symetrie, i když v pozměněné podobě.
Zobecnění
Nechat
být dyadický (binární) expanze reálného čísla 0 ≤ y ≤ 1, pokud jde o binární číslice bk 0,1 {0,1}. Tato expanze je podrobněji popsána v článku na webu dyadická transformace. Pak zvažte funkci
Pro z = 1/3, inverzní funkce X = 2 C1/3(y) je funkce Cantor. To znamená y = y(X) je funkce Cantor. Obecně platí, že pro všechny z < 1/2, Cz(y) vypadá, že funkce Cantor je otočená na bok, šířka schodů se rozšiřuje z blíží se nule.
Jak již bylo zmíněno výše, funkce Cantor je také funkcí kumulativního rozdělení míry na sadě Cantor. Různé Cantorovy funkce, neboli Ďáblova schodiště, lze získat zvážením různých opatření bez atomů podporovaných na Cantorově soupravě nebo jiných fraktálech. Zatímco Cantorova funkce má derivaci 0 téměř všude, současný výzkum se zaměřuje na otázku velikosti množiny bodů, kde je derivace vpravo nahoře odlišná od derivace vpravo dole, což způsobuje, že derivace neexistuje. Tato analýza rozlišitelnosti je obvykle uvedena ve smyslu fraktální dimenze, s dimenzí Hausdorff nejoblíbenější volbou. Tuto linii výzkumu zahájil v 90. letech 20. století Darst,[5] který ukázal, že Hausdorffova dimenze množiny nerozlišitelnosti Cantorovy funkce je druhou mocninou dimenze Cantorovy množiny, . Následně Sokolník[6] ukázal, že tento kvadratický vztah platí pro všechny Ahlforovy pravidelné, singulární míry, tj.
Hermann Minkowski je funkce otazníku vizuálně volně připomíná Cantorovu funkci a jeví se jako jeho „vyhlazená“ forma; lze ji zkonstruovat přechodem z pokračující expanze frakce na binární expanzi, stejně jako lze Cantorovu funkci zkonstruovat přechodem z ternární expanze na binární expanzi. Funkce otazníku má zajímavou vlastnost mít mizející derivace na všech racionálních číslech.
Viz také
Poznámky
- ^ Vestrup 2003, Oddíl 4.6.
- ^ Thomson, Bruckner & Bruckner 2008, str. 252.
- ^ http://mathworld.wolfram.com/CantorStaircaseFunction.html
- ^ Bass 2013, str. 28.
- ^ Darst, Richard (01.09.1993). „Hausdorffova dimenze sady nediferencovatelnosti Cantorovy funkce je [ln (2) / ln (3)] 2“. Proceedings of the American Mathematical Society. 119 (1): 105–108. doi:10.2307/2159830. JSTOR 2159830.
- ^ Falconer, Kenneth J. (01.01.2004). „Jednostranná multifraktální analýza a body nerozlišitelnosti ďáblových schodišť“. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 136 (1): 167–174. Bibcode:2004MPCPS.136..167F. doi:10.1017 / S0305004103006960. ISSN 1469-8064.
- ^ Troscheit, Sascha (01.03.2014). „Hölderova diferencovatelnost sebekonformních ďáblových schodišť“. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 156 (2): 295–311. arXiv:1301.1286. Bibcode:2014MPCPS.156..295T. doi:10.1017 / S0305004113000698. ISSN 1469-8064. S2CID 56402751.
Reference
- Bass, Richard Franklin (2013) [2011]. Skutečná analýza pro postgraduální studenty (Druhé vydání.). Createspace Independent Publishing. ISBN 978-1-4818-6914-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Cantor, G. (1884). „De la puissance des ensembles parfaits de points: Extrait d'une lettre adressée à l'éditeur“ [Síla dokonalých sad bodů: Výňatek z dopisu adresovaného redaktorovi]. Acta Mathematica. International Press of Boston. 4: 381–392. doi:10.1007 / bf02418423. ISSN 0001-5962. Přetištěno v: E. Zermelo (ed.), Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philosophischen Inhalts, Springer, New York, 1980.
- Darst, Richard B .; Palagallo, Judith A .; Cena, Thomas E. (2010), Zvědavé křivkyHackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., ISBN 978-981-4291-28-6, PAN 2681574
- Dovgoshey, O .; Martio, O .; Ryazanov, V .; Vuorinen, M. (2006). "Funkce Cantor" (PDF). Expositiones Mathematicae. Elsevier BV. 24 (1): 1–37. doi:10.1016 / j.exmath.2005.05.002. ISSN 0723-0869. PAN 2195181.
- Fleron, Julian F. (04.04.1994). "Poznámka k historii sady kantorů a funkci kantorů". Matematický časopis. Informa UK Limited. 67 (2): 136–140. doi:10.2307/2690689. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690689.
- Lebesgue, H. (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitive [Lekce o integraci a hledání primitivních funkcí], Paříž: Gauthier-Villars
- Leoni, Giovanni (2017). První kurz v Sobolevových prostorech. 181 (2. vyd.). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. str. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8. OCLC 976406106.
- Scheeffer, Ludwig (1884). „Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven“ [Obecná vyšetřování korekce křivek]. Acta Mathematica. International Press of Boston. 5: 49–82. doi:10.1007 / bf02421552. ISSN 0001-5962.
- Thomson, Brian S .; Bruckner, Judith B .; Bruckner, Andrew M. (2008) [2001]. Elementární reálná analýza (Druhé vydání.). ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Vestrup, E.M. (2003). Teorie opatření a integrace. Wileyova řada v pravděpodobnosti a statistice. John Wiley a synové. ISBN 978-0471249771.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Vitali, A. (1905), „Sulle funzioni integrali“ [O integrálních funkcích], Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Rohož. Natur., 40: 1021–1034