Dirichletova negativní multinomiální distribuce - Dirichlet negative multinomial distribution

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Dirichletova negativní multinomiální distribuce“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Duben 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Zápis	${ displaystyle { textrm {DNM}} (x_ {0}, , alpha _ {0}, , { boldsymbol { alpha}})}$
Parametry	${ displaystyle x_ {0} v R, alpha _ {0} v R, { boldsymbol { alpha}} v R ^ {m}}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle x_ {i} v {0,1,2, ldots }, 1 leq i leq m}$
PDF	${ displaystyle { frac { mathrm {B} ( sum _ {i = 0} ^ {m} x_ {i}, sum _ {i = 0} ^ {m} alpha _ {i})} { mathrm {B} (x_ {0}, alpha _ {0})}} prod _ {i = 1} ^ {m} { frac { Gamma (x_ {i} + alpha _ {i })} {x_ {i}! Gamma ( alpha _ {i})}}}$ kde Γ (X) je Funkce gama a B je funkce beta.
Znamenat	${ displaystyle { tfrac {x_ {0}} { alpha _ {0} -1}} { boldsymbol { alpha}}}$ pro ${ displaystyle alpha _ {0}> 1}$
Rozptyl	${ displaystyle , { frac {x_ {0} (x_ {0} + alpha _ {0} -1)} {( alpha _ {0} -1) ^ {2} ( alpha _ {0 } -2)}} left [{ boldsymbol { alpha}} { boldsymbol { alpha}} '+ ( alpha _ {0} -1) operatorname {diag} ({ boldsymbol { alpha} })že jo]}$ pro ${ displaystyle alpha _ {0}> 2}$
MGF	nedefinováno

v teorie pravděpodobnosti a statistika, Dirichletova negativní multinomiální distribuce je vícerozměrná distribuce na nezáporných celých číslech. Jedná se o vícerozměrné rozšíření beta negativní binomická distribuce. Jedná se také o zobecnění negativní multinomiální distribuce (NM (k, p)) umožňující heterogenitu nebo nadměrný rozptyl na vektor pravděpodobnosti. Používá se v kvantitativní marketingový výzkum flexibilně modelovat počet transakcí v domácnosti napříč několika značkami.

Pokud parametry Dirichletova distribuce jsou ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$, a pokud

${ displaystyle X mid p sim operatorname {NM} (x_ {0}, mathbf {p}),}$

kde

${ displaystyle mathbf {p} sim operatorname {Dir} ( alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}),}$

pak okrajové rozdělení X je Dirichletova negativní multinomiální distribuce:

${ displaystyle X sim operatorname {DNM} (x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}).}$

Ve výše uvedeném ${ displaystyle operatorname {NM} (x_ {0}, mathbf {p})}$ je negativní multinomiální distribuce a ${ displaystyle operatorname {adresář} ( alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}})}$ je Dirichletova distribuce.

Motivace

Dirichlet negativní multinomiální jako distribuce sloučeniny

Dirichletova distribuce je a distribuce konjugátu k negativní multinomiální distribuci. Tato skutečnost vede k analyticky přijatelnému výsledku složená distribuce Pro náhodný vektor se počítá kategorie ${ displaystyle mathbf {x} = (x_ {1}, tečky, x_ {m})}$, distribuované podle a negativní multinomiální distribuce, distribuce sloučeniny se získá integrací na distribuci pro p které lze považovat za náhodný vektor po Dirichletově distribuci:

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = int _ { mathbf {p}} Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, mathbf {p}) Pr ( mathbf {p} mid alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) { textrm {d}} mathbf {p}}$

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = { frac { Gamma left ( sum _ {i = 0} ^ {m} {x_ {i}} right)} { Gamma (x_ {0}) prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i}!}} { Frac {1} { mathrm {B} ({ boldsymbol { alpha}})}} int _ { mathbf {p}} prod _ {i = 0} ^ {m} p_ {i} ^ {x_ {i} + alpha _ {i} -1} { textrm {d}} mathbf {p}}$

což má za následek následující vzorec:

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = { frac { Gamma left ( sum _ {i = 0} ^ {m} {x_ {i}} right)} { Gamma (x_ {0}) prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i}!}} { Frac {{ mathrm {B}} ( mathbf {x _ {+}} + { boldsymbol { alpha}} _ {+})} { mathrm {B} ({ boldsymbol { alpha}} _ {+})} }}$

kde ${ displaystyle mathbf {x _ {+}}}$ a ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} _ {+}}$ jsou ${ displaystyle m + 1}$ dimenzionální vektory vytvořené připojením skalárů ${ displaystyle x_ {0}}$ a ${ displaystyle alpha _ {0}}$ do ${ displaystyle m}$ rozměrové vektory ${ displaystyle mathbf {x}}$ a ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$ respektive a ${ displaystyle mathrm {B}}$ je vícerozměrná verze funkce beta. Tuto rovnici můžeme explicitně napsat jako

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = x_ {0} { frac { Gamma ( sum _ { i = 0} ^ {m} x_ {i}) Gamma ( sum _ {i = 0} ^ {m} alpha _ {i})} { Gamma ( sum _ {i = 0} ^ { m} (x_ {i} + alpha _ {i}))}} prod _ {i = 0} ^ {m} { frac { Gamma (x_ {i} + alpha _ {i})} { Gamma (x_ {i} +1) Gamma ( alpha _ {i})}}.}$

Existují alternativní formulace. Jedno pohodlné znázornění^[1] je

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = { frac { Gamma (x _ { bullet})} { Gamma (x_ {0}) prod _ {i = 1} ^ {m} Gamma (x_ {i} +1)}} times { frac { Gamma ( alpha _ { bullet})} { prod _ {i = 0} ^ {m} Gamma ( alpha _ {i})}} times { frac { prod _ {i = 0} ^ {m} Gamma (x_ {i} + alpha _ {i})} { Gamma (x _ { bullet} + alpha _ { bullet})}}}$

kde ${ displaystyle x _ { bullet} = x_ {0} + x_ {1} + cdots + x_ {m}}$ a ${ displaystyle alpha _ { bullet} = alpha _ {0} + alpha _ {1} + cdots + alpha _ {m}}$.

To lze také napsat

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha}}) = { frac { mathrm {B} (x _ { bullet} , alpha _ { bullet})} { mathrm {B} (x_ {0}, alpha _ {0})}} prod _ {i = 1} ^ {m} { frac { Gamma ( x_ {i} + alpha _ {i})} {x_ {i}! Gamma ( alpha _ {i})}}.}$

Vlastnosti

Okrajové rozdělení

Chcete-li získat mezní rozdělení u podmnožiny Dirichletových negativních multinomálních náhodných proměnných stačí pouze zrušit irelevantní ${ displaystyle alpha _ {i}}$(proměnné, které chce člověk vyloučit) z ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$ vektor. Společné rozdělení zbývajících náhodných variací je ${ displaystyle mathrm {DNM} (x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha _ {-}}})}$ kde ${ displaystyle { boldsymbol { alpha _ {-}}}}$ je vektor s odstraněným ${ displaystyle alpha _ {i}}$je

Podmíněné distribuce

Li m-dimenzionální X je rozdělen takto

${ displaystyle mathbf {x} = { begin {bmatrix} mathbf {x} ^ {(1)} mathbf {x} ^ {(2)} end {bmatrix}} { text {s velikosti}} { začátek {bmatrix} q krát 1 (mq) krát 1 konec {bmatrix}}}$

a podle toho ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$

${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} = { begin {bmatrix} { boldsymbol { alpha}} ^ {(1)} { boldsymbol { alpha}} ^ {(2)} end {bmatrix}} { text {s velikostmi}} { začátek {bmatrix} q krát 1 (mq) krát 1 konec {bmatrix}}}$

pak podmíněné rozdělení z ${ displaystyle mathbf {x} ^ {(1)}}$ na ${ displaystyle mathbf {x} ^ {(2)}}$ je ${ displaystyle mathrm {DNM} (x_ {0} ^ { prime}, alpha _ {0} ^ { prime}, { boldsymbol { alpha}} ^ {(1)})}$ kde

${ displaystyle x_ {0} ^ { prime} = x_ {0} + sum _ {i = 1} ^ {m-q} x_ {i} ^ {(2)}}$

a

${ displaystyle alpha _ {0} ^ { prime} = alpha _ {0} + sum _ {i = 1} ^ {m-q} alpha _ {i} ^ {(2)}}$.

To znamená

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} ^ {(1)} mid mathbf {x} ^ {(2)}, x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha} }) = { frac { mathrm {B} (x _ { bullet}, alpha _ { bullet})} { mathrm {B} (x_ {0} ^ { prime}, alpha _ {0 } ^ { prime})}} prod _ {i = 1} ^ {q} { frac { Gamma (x_ {i} ^ {(1)} + alpha _ {i} ^ {(1) })} {(x_ {i} ^ {(1)}!) Gamma ( alpha _ {i} ^ {(1)})}}}$

Podmíněno součtem

Podmíněné rozdělení Dirichletova negativního multinomálního rozdělení na ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} = n}$ je Dirichletovo-multinomické rozdělení s parametry ${ displaystyle n}$ a ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$. To je

${ displaystyle Pr ( mathbf {x} mid sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} = n, x_ {0}, alpha _ {0}, { boldsymbol { alpha }}) = { frac {n! Gamma left ( sum _ {i = 1} ^ {m} alpha _ {i} right)} { Gamma left (n + sum _ {i = 1} ^ {m} alpha _ {i} right)}} prod _ {i = 1} ^ {m} { frac { Gamma (x_ {i} + alpha _ {i})} { x_ {i}! Gamma ( alpha _ {i})}}}$.

Všimněte si, že rovnice nezávisí ${ displaystyle x_ {0}}$ nebo ${ displaystyle alpha _ {0}}$.

Korelační matice

Pro ${ displaystyle alpha _ {0}> 2}$ záznamy korelační matice jsou

${ displaystyle rho (X_ {i}, X_ {i}) = 1.}$

${ displaystyle rho (X_ {i}, X_ {j}) = { frac { operatorname {cov} (X_ {i}, X_ {j})} { sqrt { operatorname {var} (X_ { i}) operatorname {var} (X_ {j})}}} = { sqrt { frac { alpha _ {i} alpha _ {j}} {( alpha _ {0} + alpha _ {i} -1) ( alpha _ {0} + alpha _ {j} -1)}}}.}$

Těžký ocas

Dirichletův negativní multinomiální je a těžká ocasní distribuce. Nemá konečný znamenat pro ${ displaystyle alpha _ {0} leq 1}$ a má nekonečno kovarianční matice pro ${ displaystyle alpha _ {0} leq 2}$. Má tedy nedefinováno funkce generování momentů.

Agregace

Li

${ displaystyle X = (X_ {1}, ldots, X_ {m}) sim operatorname {DNM} (x_ {0}, alpha _ {0}, alpha _ {1}, ldots, alfa _ {m})}$

pak, pokud náhodné proměnné s kladnými indexy i a j jsou vynechány z vektoru a nahrazeny jejich součtem,

${ displaystyle X '= (X_ {1}, ldots, X_ {i} + X_ {j}, ldots, X_ {m}) sim operatorname {DNM} left (x_ {0}, alpha _ {0}, alpha _ {1}, ldots, alpha _ {i} + alpha _ {j}, ldots, alpha _ {m} right).}$

Aplikace

Dirichletův negativní multinomial jako urnový model

Dirichletův negativní multinomial může být také motivován urnový model v případě, kdy ${ displaystyle x_ {0}}$ je kladné celé číslo. Zvažte posloupnost nezávislých a identicky distribuovaných multinomálních studií, z nichž každá má ${ displaystyle 1 + m}$ výsledky. Nazvěme jeden z výsledků „úspěchem“ a předpokládejme, že má pravděpodobnost ${ displaystyle p_ {0}}$. Jiný ${ displaystyle m}$ výsledky - nazývané „selhání“ - mají pravděpodobnosti ${ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {m}}$. Pokud vektor ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, cdots x_ {m})}$ počítá m typů poruch před ${ displaystyle x_ {0}}$ je pozorován úspěch, pak ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m})}$ mít negativní distribuci více parametrů s parametry ${ displaystyle (x_ {0}, p_ {1}, ldots, p_ {m})}$.

Pokud parametry ${ displaystyle (p_ {0}, p_ {1}, ldots, p_ {m})}$ samy jsou vzorkovány z Dirichletovy distribuce s parametry ${ displaystyle ( alpha _ {0}, alpha _ {1}, ldots, alpha _ {m})}$, pak výsledná distribuce ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m})}$ je Dirichlet negativní multinomiální. Výsledná distribuce má ${ displaystyle 2 + m}$ parametry.

Viz také

• Beta negativní binomická distribuce
• Negativní multinomiální distribuce
• Dirichletovo-multinomické rozdělení

Reference