Zbytky (komplexní analýza) - Residue (complex analysis) - Wikipedia

v matematika, konkrétněji komplexní analýza, zbytek je komplexní číslo úměrný konturový integrál a meromorfní funkce podél cesty obklopující jednu z nich singularity. (Obecněji lze zbytky vypočítat pro jakoukoli funkci ${ displaystyle f colon mathbb {C} setminus {a_ {k} } _ {k} rightarrow mathbb {C}}$ to je holomorfní kromě diskrétních bodů {A_k}_k, i když některé z nich jsou základní singularity.) Zbytky lze vypočítat poměrně snadno a jakmile je známo, umožňují určení obecných konturových integrálů pomocí věta o zbytku.

Definice

Zbytek a meromorfní funkce ${ displaystyle f}$ opálení izolovaná singularita ${ displaystyle a}$ , často označován ${ displaystyle operatorname {Res} (f, a)}$ nebo ${ displaystyle operatorname {Res} _ {a} (f)}$ , je jedinečná hodnota ${ displaystyle R}$ takhle ${ displaystyle f (z) -R / (z-a)}$ má analytický primitivní v propíchnutý disk ${ displaystyle 0 < vert z-a vert < delta}$ .

Alternativně lze zbytky vypočítat vyhledáním Laurentova řada expanze a lze definovat zbytek jako koeficient A₋₁ série Laurent.

Definici zbytku lze zobecnit na libovolnou Riemannovy povrchy. Předpokládat ${ displaystyle omega}$ je 1-forma na Riemannově ploše. Nechat ${ displaystyle omega}$ být v určitém okamžiku meromorfní ${ displaystyle x}$ , abychom mohli psát ${ displaystyle omega}$ v místních souřadnicích jako ${ displaystyle f (z) ; dz}$ . Pak zbytek ${ displaystyle omega}$ na ${ displaystyle x}$ je definován jako zbytek ${ displaystyle f (z)}$ v bodě odpovídajícím ${ displaystyle x}$ .

Příklady

Zbytek monomia

Výpočet zbytku a monomiální

{ displaystyle mast _ {C} z ^ {k} , dz}

usnadňuje většinu výpočtů reziduí. Vzhledem k tomu, že integrální výpočty cesty jsou homotopy invariant, necháme ${ displaystyle C}$ být kruh s poloměrem ${ displaystyle 1}$ . Poté pomocí změny souřadnic ${ displaystyle z to e ^ {i theta}}$ najdeme to

{ Displaystyle dz až d (e ^ {i theta}) = tj. ^ {i theta} , d theta}

proto náš integrál nyní zní jako

{ displaystyle mast _ {C} z ^ {k} dz = int _ {0} ^ {2 pi} tj. ^ {i (k + 1) theta} , d theta = { begin { cases} 2 pi i & { text {if}} k = -1, 0 & { text {jinak}}. end {cases}}}

Aplikace monomického zbytku

Jako příklad zvažte konturový integrál

{ displaystyle mast _ {C} {e ^ {z} nad z ^ {5}} , dz}

kde C je nějaký jednoduchá uzavřená křivka asi 0.

Vyhodnoťme tento integrál pomocí standardního výsledku konvergence o integraci pomocí řady. Můžeme nahradit Taylor série pro ${ displaystyle e ^ {z}}$ do integrandu. Integrál se pak stává

{ displaystyle mast _ {C} {1 nad z ^ {5}} vlevo (1 + z + {z ^ {2} nad 2!} + {z ^ {3} nad 3!} + { z ^ {4} přes 4!} + {z ^ {5} přes 5!} + {z ^ {6} přes 6!} + cdots right) , dz.}

Přiveďme 1 /z⁵ faktor do série. Obrysový integrál řady pak zapíše

{ displaystyle { begin {aligned} & mast _ {C} left ({1 over z ^ {5}} + {z over z ^ {5}} + {z ^ {2} over 2 ! ; z ^ {5}} + {z ^ {3} nad 3! ; z ^ {5}} + {z ^ {4} nad 4! ; z ^ {5}} + {z ^ {5} přes 5! ; Z ^ {5}} + {z ^ {6} přes 6! ; Z ^ {5}} + cdots right) , dz [4pt] = {} & mast _ {C} left ({1 over ; z ^ {5}} + {1 over ; z ^ {4}} + {1 nad 2! ; z ^ {3 }} + {1 nad 3! ; Z ^ {2}} + {1 nad 4! ; Z} + {1 nad ; 5!} + {Z nad 6!} + Cdots vpravo) , dz. end {zarovnáno}}}

Vzhledem k tomu, že řada jednotně konverguje na podporu integrační cesty, je nám dovoleno vyměňovat integraci a součet. Série integrálů cesty se poté zhroutí do mnohem jednodušší formy kvůli předchozímu výpočtu. Takže teď integrál kolem C každého druhého termínu, který není ve formě cz⁻¹ je nula a integrál je redukován na

{ displaystyle mast _ {C} {1 nad 4! ; z} , dz = {1 nad 4!} mast _ {C} {1 nad z} , dz = {1 nad 4!} (2 pi i) = { pi i nad 12}.}

Hodnota 1/4! je zbytek z E^z/z⁵ na z = 0 a je označen

{ displaystyle operatorname {Res} _ {0} {e ^ {z} over z ^ {5}}, { text {or}} operatorname {Res} _ {z = 0} {e ^ {z } over z ^ {5}}, { text {or}} operatorname {Res} (f, 0) { text {for}} f = {e ^ {z} over z ^ {5}} .}

Výpočet zbytků

Předpokládejme, že propíchnutý disk D = {z : 0 < |z − C| < R} v komplexní rovině je uveden a F je holomorfní funkce definováno (alespoň) dne D. Zbytek Res (F, C) z F na C je koeficient A₋₁ z (z − C)⁻¹ v Laurentova řada expanze F kolem C. Pro výpočet této hodnoty existují různé metody a výběr metody, která se má použít, závisí na dané funkci a na povaze singularity.

Podle věta o zbytku, my máme:

{ displaystyle operatorname {Res} (f, c) = {1 nad 2 pi i} mast _ { gamma} f (z) , dz}

kde y sleduje kruh kolem C proti směru hodinových ručiček. Můžeme si vybrat cestu y být kruh o poloměru ε kolem C, kde ε je tak malý, jak si přejeme. To lze použít pro výpočet v případech, kdy lze integrál vypočítat přímo, ale obvykle se používají zbytky ke zjednodušení výpočtu integrálů, a nikoli naopak.

Odnímatelné singularity

Pokud je funkce F může být pokračoval do a holomorfní funkce na celý disk ${ displaystyle | y-c |$ , pak Res (F, C) = 0. Konverzace není obecně pravdivá.

Jednoduché tyče

V a jednoduchá tyč C, zbytek F darováno:

{ displaystyle operatorname {Res} (f, c) = lim _ {z to c} (z-c) f (z).}

Může se stát, že funkce F lze vyjádřit jako podíl dvou funkcí, ${ displaystyle f (z) = { frac {g (z)} {h (z)}}}$ , kde G a h jsou holomorfní funkce v sousedství z C, s h(C) = 0 ah '(C) ≠ 0. V takovém případě Pravidlo L'Hôpital lze použít ke zjednodušení výše uvedeného vzorce na:

{ displaystyle { begin {zarovnaný} operatorname {Res} (f, c) & = lim _ {z to c} (zc) f (z) = lim _ {z to c} { frac {zg (z) -cg (z)} {h (z)}} [4pt] & = lim _ {z to c} { frac {g (z) + zg '(z) -cg '(z)} {h' (z)}} = { frac {g (c)} {h '(c)}}. end {zarovnáno}}}

Limitní vzorec pro póly vyššího řádu

Obecněji, pokud C je pól řádu n, pak zbytek F kolem z = C najdete podle vzorce:

{ displaystyle operatorname {Res} (f, c) = { frac {1} {(n-1)!}} lim _ {z to c} { frac {d ^ {n-1}} {dz ^ {n-1}}} left ((zc) ^ {n} f (z) right).}

Tento vzorec může být velmi užitečný při určování zbytků pro póly nižšího řádu. U pólů vyššího řádu se výpočty mohou stát neovladatelnými a rozšiřování sérií je obvykle snazší. Pro základní singularity, žádný takový jednoduchý vzorec neexistuje a zbytky musí být obvykle odebírány přímo ze sériových expanzí.

Zbytek v nekonečnu

Obecně platí, že zbytek v nekonečnu darováno:

{ displaystyle operatorname {Res} (f (z), infty) = - operatorname {Res} left ({ frac {1} {z ^ {2}}} f left ({ frac {1 } {z}} vpravo), 0 vpravo).}

Pokud je splněna následující podmínka:

{ displaystyle lim _ {| z | až infty} f (z) = 0,}

pak zbytek v nekonečnu lze vypočítat pomocí následujícího vzorce:

{ displaystyle operatorname {Res} (f, infty) = - lim _ {| z | to infty} z cdot f (z).}

Pokud místo

{ displaystyle lim _ {| z | až infty} f (z) = c neq 0,}

pak zbytek v nekonečnu je

{ displaystyle operatorname {Res} (f, infty) = lim _ {| z | to infty} z ^ {2} cdot f '(z).}

Sériové metody

Pokud lze část nebo celou funkci rozšířit na a Taylor série nebo Laurentova řada, což je možné, pokud má část nebo celá funkce standardní rozšíření řady, je výpočet zbytku výrazně jednodušší než u jiných metod.

Jako první příklad zvažte výpočet zbytků na singularitách funkce
${ displaystyle f (z) = { sin z nad z ^ {2} -z}}$
které lze použít k výpočtu určitých obrysových integrálů. Zdá se, že tato funkce má singularitu v z = 0, ale pokud jeden faktorizuje jmenovatele a zapíše tak funkci jako
${ displaystyle f (z) = { sin z nad z (z-1)}}$
je zřejmé, že singularita v z = 0 je a odnímatelná singularita a potom zbytek v z = 0 je tedy 0.
Jedinou další singularitou je z = 1. Připomeňme si výraz pro Taylorovu řadu pro funkci G(z) o z = A:
${ displaystyle g (z) = g (a) + g '(a) (za) + {g' '(a) (za) ^ {2} nad 2!} + {g' '' (a) (za) ^ {3} přes 3!} + cdots}$
Tak pro G(z) = hříchz a A = 1 máme
${ displaystyle sin z = sin 1 + ( cos 1) (z-1) + {- ( sin 1) (z-1) ^ {2} nad 2!} + {- ( cos 1 ) (z-1) ^ {3} přes 3!} + cdots.}$
a pro G(z) = 1/z a A = 1 máme
${ displaystyle { frac {1} {z}} = { frac {1} {(z-1) +1}} = 1- (z-1) + (z-1) ^ {2} - ( z-1) ^ {3} + cdots.}$
Násobení těchto dvou sérií a zavedení 1 / (z - 1) nám dává
${ displaystyle { frac { sin z} {z (z-1)}} = { sin 1 nad z-1} + ( cos 1- sin 1) + (z-1) vlevo ( - { frac { sin 1} {2!}} - cos 1+ sin 1 right) + cdots.}$
Takže zbytek F(z) na z = 1 je hřích 1.
Následující příklad ukazuje, že při výpočtu zbytku řadovým rozšířením hraje hlavní roli Lagrangeova věta o inverzi. Nechat
${ displaystyle u (z): = součet _ {k geq 1} u_ {k} z ^ {k}}$
být celá funkce a nechte
${ displaystyle v (z): = součet _ {k geq 1} v_ {k} z ^ {k}}$
s kladným poloměrem konvergence a s ${ displaystyle textstyle v_ {1} neq 0}$ . Tak ${ displaystyle textstyle v (z)}$ má místní inverzi ${ displaystyle textstyle V (z)}$ na 0 a ${ displaystyle textstyle u (1 / V (z))}$ je meromorfní na 0. Pak máme:
${ displaystyle operatorname {Res} _ {0} { big (} u (1 / V (z)) { big)} = součet _ {k = 0} ^ { infty} ku_ {k} v_ {k}.}$
Vskutku,
${ displaystyle operatorname {Res} _ {0} { big (} u (1 / V (z)) { big)} = operatorname {Res} _ {0} left ( sum _ {k geq 1} u_ {k} V (z) ^ {- k} vpravo) = sum _ {k geq 1} u_ {k} operatorname {Res} _ {0} { big (} V (z ) ^ {- k} { velký)}}$
protože první řada konverguje rovnoměrně na libovolný malý kruh kolem 0. Pomocí Lagrangeovy věty o inverzi
${ displaystyle operatorname {Res} _ {0} { big (} V (z) ^ {- k} { big)} = kv_ {k},}$
a dostaneme výše uvedený výraz. Například pokud ${ displaystyle u (z) = z + z ^ {2}}$ a také ${ displaystyle v (z) = z + z ^ {2}}$ , pak
${ displaystyle V (z) = { frac {2z} {1 + { sqrt {1 + 4z}}}}}$
a
${ displaystyle u (1 / V (z)) = { frac {1 + { sqrt {1 + 4z}}} {2z}} + { frac {1 + 2z + { sqrt {1 + 4z}} } {2z ^ {2}}}.}$
První člen přispívá 1 ke zbytku a druhý člen přispívá 2, protože je asymptotický ${ displaystyle 1 / z ^ {2} + 2 / z}$ Všimněte si, že s odpovídajícími silnějšími symetrickými předpoklady ${ displaystyle textstyle u (z)}$ a ${ displaystyle textstyle v (z)}$ , také z toho vyplývá
${ displaystyle operatorname {Res} _ {0} left (u (1 / V) right) = operatorname {Res} _ {0} left (v (1 / U) right),}$
kde ${ displaystyle textstyle U (z)}$ je místní inverzní k ${ displaystyle textstyle u (z)}$ v 0.

Viz také

The věta o zbytku spojuje obrysový integrál kolem některých pólů funkce se součtem jejich reziduí
Cauchyho integrální vzorec
Cauchyho integrální věta
Mittag-Lefflerova věta
Metody integrace kontury
Morerova věta
Dílčí zlomky v komplexní analýze

Reference

Ahlfors, Larsi (1979). Komplexní analýza. McGraw Hill.
Marsden, Jerrold E .; Hoffman, Michael J. (1998). Základní komplexní analýza (3. vyd.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

externí odkazy

"Zbytek analytické funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „Complex Residue“. MathWorld.