Periodické shrnutí - Periodic summation

v zpracování signálu, jakýkoli periodická funkce, ${ displaystyle s_ {P} (t)}$ s tečkou P, lze reprezentovat součtem nekonečného počtu instancí neperiodické funkce, ${ displaystyle s (t)}$, které jsou kompenzovány celočíselnými násobky P. Tato reprezentace se nazývá periodický součet:

${ displaystyle s_ {P} (t) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} s (t + nP) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} s ( t-nP).}$

Fourierova transformace a 3 variace způsobené periodickým vzorkováním (v intervalu T) a / nebo periodickým součtem (v intervalu P) podkladové funkce časové domény.

Když${ displaystyle s_ {P} (t)}$ je alternativně reprezentován jako komplex Fourierova řada, Fourierovy koeficienty jsou úměrné hodnotám (nebo "vzorkům") z spojitá Fourierova transformace, ${ displaystyle S (f) triangleq { mathcal {F}} {s (t) },}$ v intervalech 1 / s.^[1][2] Tato identita je formou Poissonův součtový vzorec. Podobně Fourierova řada, jejíž koeficienty jsou vzorky${ displaystyle s (t)}$ v konstantních intervalech (T) je ekvivalentní a periodický součet z${ displaystyle S (f),}$ který je známý jako diskrétní Fourierova transformace.

Periodický součet a Diracova delta funkce je Dirac hřeben. Stejně tak je pravidelný součet integrovatelné funkce konvoluce s hřebenem Dirac.

Kvocientový prostor jako doména

Pokud je periodická funkce reprezentována pomocí kvocientový prostor doména${ displaystyle mathbb {R} / (P mathbb {Z})}$ pak lze psát

${ displaystyle varphi _ {P}: mathbb {R} / (P mathbb {Z}) do mathbb {R}}$

${ displaystyle varphi _ {P} (x) = součet _ { tau v x} s ( tau)}$

namísto. Argumenty ${ displaystyle varphi _ {P}}$ jsou tříd ekvivalence z reálná čísla sdílejí to samé zlomková část po dělení ${ displaystyle P}$.

Citace

Viz také

• Dirac hřeben
• Kruhová konvoluce
• Diskrétní Fourierova transformace