Faddeevova funkce - Faddeeva function

The Faddeevova funkce nebo Funkce Kramp je zmenšený komplex komplementární chybová funkce,

${displaystyle w (z): = e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfc} (-iz) = operatorname {erfcx} (-iz) = e ^ {- z ^ {2}} vlevo (1+ {frac {2i} {sqrt {pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {t ^ {2}} {ext {d}} těsný).}$

Souvisí to s Fresnelovy integrály, do Dawsonův integrál, a do Voigtova funkce.

Funkce vzniká při různých fyzikálních problémech při popisu elektromagnetické odezvy ve složitých médiích.

• problémy spojené s vlnami malé amplitudy, které se šíří skrz Maxwellian plazmy, a zejména se objevuje v plazmě permitivita z nichž disperzní vztahy jsou odvozeny, proto se někdy označuje jako funkce plazmové disperze^[1][2] (i když se tento název někdy místo toho používá pro funkci se změněnou stupnicí ${displaystyle Z (z) = i {sqrt {pi}} w (z)}$ definován Fried and Conté, 1961^[1][3]).
• infračervené permitivita funkce amorfních oxidů mají rezonance (kvůli fonony ), které jsou někdy příliš komplikované na to, aby se vešly pomocí jednoduchých harmonických oscilátorů. Forma oscilátoru Brendel-Bormann používá nekonečnou superpozici oscilátorů majících mírně odlišné frekvence s Gaussovým rozdělením.^[4] Integrovanou odezvu lze zapsat pomocí funkce Faddeeva.
• funkce Faddeeva se také používá při analýze elektromagnetických vln typu používaného v AM rádiu.^{[Citace je zapotřebí ]} Pozemní vlny jsou vertikálně polarizované vlny šířící se po ztrátové půdě s konečným měrným odporem a permitivitou.

Vlastnosti

Skutečné a imaginární části

Rozklad na skutečnou a imaginární část je obvykle psán

${displaystyle w (x + iy) = V (x, y) + iL (x, y)}$,

kde PROTI a L se nazývají skutečné a imaginární Voigtovy funkce, od té doby V (x, y) je Voigtův profil (až prefaktory).

Podepište inverzi

Pro sign-invertované argumenty platí následující:

${displaystyle w (-z) = 2e ^ {- z ^ {2}} - w (z)}$

a

${displaystyle w (-z) = w (z ^ {*}) ^ {*}}$

kde * označuje komplexní konjugát.

Vztah k doplňkové chybové funkci

Faddeevova funkce vyhodnocená na imaginárních argumentech se rovná škálované doplňkové chybové funkci (erfcx):

${displaystyle w (iz) = mathrm {erfcx} (z) = e ^ {z ^ {2}} mathrm {erfc} (z)}$,

kde erfc je doplňková chybová funkce. Pro velké skutečné X:

${displaystyle mathrm {erfcx} (x) přibližně {frac {1} {x}}}$

Integrální zastoupení

Funkce Faddeeva se vyskytuje jako

${displaystyle w (z) = {frac {i} {pi}} int _ {- infty} ^ {infty} {frac {e ^ {- t ^ {2}}} {zt}} dt = {frac {2iz } {pi}} int _ {0} ^ {infty} {frac {e ^ {- t ^ {2}}} {z ^ {2} -t ^ {2}}} dt, qquad operatorname {Im} z > 0}$

což znamená, že se jedná o konvoluci Gaussiana s jednoduchým pólem.

Dějiny

Funkce byla uvedena v tabulce Věra Faddeeva a N. N. Terent'ev v roce 1954.^[5] Vypadá to jako bezejmenná funkce w (z) v Abramowitz a Stegun (1964), vzorec 7.1.3. Název Faddeevova funkce byl zjevně představen G. P. M. Poppe a C. M. J. Wijersem v roce 1990;^{[6][je zapotřebí lepší zdroj ]} dříve byla známá jako Krampova funkce (pravděpodobně po Christian Kramp ).^[7]

Rané implementace používané metodami Walter Gautschi (1969/70; Algoritmus ACM 363)^[8] nebo J. Humlicek (1982).^[9] Efektivnější algoritmus navrhli Poppe a Wijers (1990; ACM Algorithm 680).^[10] J.A.C. Weideman (1994) navrhl obzvláště krátký algoritmus, který nezabírá více než osm řádků MATLAB kód.^[11] Zaghloul a Ali poukázali na nedostatky předchozích algoritmů a navrhli nový (2011; ACM Algorithm 916).^[2] Další algoritmus navrhli M. Abrarov a B.M. Quine (2011/2012).^[12]

Implementace

Dvě softwarové implementace, které jsou zdarma pouze pro nekomerční použití,^[13] byly publikovány v Transakce ACM na matematickém softwaru (TOMS) jako Algoritmus 680 (v Fortran,^[14] později přeložen do C^[15]) a Algoritmus 916 od Zaghloula a Ali (v MATLAB ).^[16]

A bezplatný a otevřený zdroj Implementace C nebo C ++ odvozená z kombinace algoritmu 680 a algoritmu 916 (použití různých algoritmů pro různé z) je také k dispozici pod Licence MIT,^[17] a je udržován jako balíček knihovny libcerf.^[18]Tato implementace je k dispozici také jako zapojit pro Matlab,^[17] GNU oktáva,^[17] a v Krajta přes Scipy tak jako scipy.special.wofz (který byl původně kódem TOMS 680, ale byl nahrazen kvůli obavám o autorská práva^[19]).

Reference