Trojúhelníková funkce - Triangular function

Příkladný trojúhelníková funkce

A trojúhelníková funkce (také známý jako funkce trojúhelníku, funkce kloboukunebo funkce stanu) je funkce, jejíž graf má tvar trojúhelníku. Často se jedná o rovnoramenný trojúhelník výšky 1 a základny 2, v takovém případě se označuje jako the trojúhelníková funkce. Trojúhelníkové funkce jsou užitečné v zpracování signálu a inženýrství komunikačních systémů jako reprezentace idealizovaných signálů a trojúhelníková funkce konkrétně jako integrální transformace funkce jádra, ze které lze odvodit realističtější signály, například v odhad hustoty jádra. Má také aplikace v pulzní kódová modulace jako tvar pulzu pro přenos digitální signály a jako odpovídající filtr pro příjem signálů. Používá se také k definování trojúhelníkové okno někdy nazývaný Bartlettovo okno.

Definice

Nejběžnější definice je jako funkce po částech:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {tri} (x) = Lambda (x) & {overset {underset {ext {def}} {}} {=}} max {ig (} 1- | x |, 0 { ig)} & = {egin {cases} 1- | x |, & | x | <1; 0 & {ext {jinak}}. end {cases}} end {aligned}}}$

Rovněž jej lze definovat jako konvoluce dvou identických jednotek obdélníkové funkce:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {tri} (x) & = operatorname {rect} (x) * operatorname {rect} (x) & = int _ {- infty} ^ {infty} operatorname {rect} (x - au) cdot operatorname {rect} (au), d au. end {zarovnáno}}}$

Trojúhelníkovou funkci lze také reprezentovat jako součin obdélníkového a absolutní hodnota funkce:

${displaystyle operatorname {tri} (x) = operatorname {rect} (x / 2) {ig (} 1- | x | {ig)}.}$

Alternativní funkce trojúhelníku

Všimněte si, že někteří autoři místo toho definují funkci trojúhelníku, aby měli základ šířky 1 místo šířky 2:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {tri} (2x) = Lambda (2x) & {overset {underset {ext {def}} {}} {=}} max {ig (} 1-2 | x |, 0 {ig)} & = {egin {cases} 1-2 | x |, & | x | <{frac {1} {2}}; 0 & {ext {jinak}}. end {cases}} konec {zarovnaný}}}$

Ve své nejobecnější formě je trojúhelníková funkce libovolná lineární B-spline:^[1]

${displaystyle operatorname {tri} _ {j} (x) = {egin {cases} (x-x_ {j-1}) / (x_ {j} -x_ {j-1}), & x_ {j-1} leq x$

Zatímco definice v horní části je zvláštní případ

${displaystyle Lambda (x) = operatorname {tri} _ {j} (x),}$

kde ${displaystyle x_ {j-1} = - 1}$, ${displaystyle x_ {j} = 0}$, a ${displaystyle x_ {j + 1} = 1}$.

Lineární B-spline je stejný jako spojitý po částech lineární funkce ${displaystyle f (x)}$a tuto obecnou funkci trojúhelníku je užitečné formálně definovat ${displaystyle f (x)}$ tak jako

${displaystyle f (x) = součet _ {j} y_ {j} cdot operatorname {tri} _ {j} (x),}$

kde ${displaystyle x_ {j}$ pro celé číslo ${displaystyle j}$.Kusová lineární funkce prochází každým bodem vyjádřeným jako souřadnice s objednaný pár ${displaystyle (x_ {j}, y_ {j})}$, to znamená,

${displaystyle f (x_ {j}) = y_ {j}}$.

Škálování

Pro libovolný parametr ${displaystyle aeq 0}$:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {tri} left ({frac {t} {a}} ight) & = int _ {- infty} ^ {infty} {frac {1} {| a |}} operatorname {rect } left ({frac {au} {a}} ight) cdot operatorname {rect} left ({frac {t- au} {a}} ight), d au & = {egin {cases} 1- | t / a |, & | t | <| a |; 0 & {ext {jinak}}. end {cases}} end {aligned}}}$

Fourierova transformace

Transformaci lze snadno určit pomocí konvoluční vlastnost Fourierových transformací a Fourierova transformace obdélníkové funkce:

${displaystyle {egin {aligned} {mathcal {F}} {operatorname {tri} (t)} & = {mathcal {F}} {operatorname {rect} (t) * operatorname {rect} (t)} & = {mathcal {F}} {operatorname {rect} (t)} cdot {mathcal {F}} {operatorname {rect} (t)} & = {mathcal {F}} {operatorname {rect} (t)} ^ {2} & = mathrm {sinc} ^ {2} (f), konec {zarovnáno}}}$

kde ${displaystyle operatorname {sinc} (x) = sin (pi x) / (pi x)}$ je normalizovaná funkce sinc.

Viz také

• Funkce Källén, známá také jako funkce trojúhelníku
• Stanová mapa
• Trojúhelníkové rozdělení
• Vlna trojúhelníku, po částech lineární periodická funkce
• Trigonometrické funkce

Reference