Distribuce PERT - PERT distribution

PERT

Funkce hustoty pravděpodobnosti Ukázkové křivky hustoty pro rozdělení pravděpodobnosti PERT
Funkce kumulativní distribuce Příklad kumulativních distribučních křivek pro rozdělení pravděpodobnosti PERT
Parametry	${ displaystyle b> a ,}$ (nemovitý) ${ displaystyle c> b ,}$ (nemovitý)
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [a, c] ,}$
PDF	${ displaystyle { frac {(xa) ^ { alpha -1} (cx) ^ { beta -1}} { mathrm {B} ( alpha, beta) (ca) ^ { alpha + beta -1}}}}$kde ${ displaystyle alpha = { frac {4b + c-5a} {c-a}} = 1 + 4 { frac {b-a} {c-a}}}$ ${ displaystyle beta = { frac {5c-a-4b} {c-a}} = 1 + 4 { frac {c-b} {c-a}}}$
CDF	${ displaystyle I_ {z} ( alfa, beta)}$ (legalizováno neúplná funkce beta ) s ${ displaystyle z = (x-a) / (c-a)}$
Znamenat	${ displaystyle operatorname {E} [X] = { frac {a + 4b + c} {6}} = mu}$
Medián	${ displaystyle I _ { frac {1} {2}} ^ {[- 1]} ( alpha, beta) (c-a) + a}$ ${ displaystyle cca a + (c-a) { frac { alpha -1/3} { alpha + beta -2/3}} = { frac {a + 6b + c} {8}}}$
Režim	${ displaystyle b}$
Rozptyl	${ displaystyle operatorname {var} [X] = { frac {( mu -a) (c- mu)} {7}}}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {2 , ( beta - alpha) { sqrt { alpha + beta +1}}} {( alpha + beta +2) { sqrt { alfa beta} }}}}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {6 [( alpha - beta) ^ {2} ( alpha + beta +1) - alpha beta ( alpha + beta +2)]} { alpha beta ( alpha + beta +2) ( alpha + beta +3)}}}$

v pravděpodobnost a statistika, Distribuce PERT je rodina spojitá rozdělení pravděpodobnosti definované minimálními (a), nejpravděpodobnějšími (b) a maximálními (c) hodnotami, které proměnná může nabrat. Jde o transformaci čtyřparametru Distribuce beta s dalším předpokladem, že jeho očekávaná hodnota je

${ displaystyle mu = { frac {a + 4b + c} {6}}.}$

Průměr distribuce je proto definován jako vážený průměr minimálních, nejpravděpodobnějších a maximálních hodnot, které může proměnná nabývat, se čtyřnásobkem váhy aplikované na nejpravděpodobnější hodnotu. 1962^[1] pro odhad vlivu nejistoty trvání úkolů na výsledek harmonogramu projektu, který je hodnocen pomocí technika hodnocení a kontroly programu, proto jeho jméno. Matematika distribuce vyplynula z touhy autorů, aby se směrodatná odchylka rovnala asi 1/6 rozsahu.^[2][3] Distribuce PERT je široce používána v analýze rizik^[4] reprezentovat nejistotu hodnoty nějaké veličiny, kde se člověk spoléhá na subjektivní odhady, protože tři parametry definující rozdělení jsou pro odhadce intuitivní. Distribuce PERT je součástí většiny simulačních softwarových nástrojů.

Porovnání s trojúhelníkovým rozdělením

Porovnání křivek hustoty pro PERT a trojúhelníkové rozdělení pravděpodobnosti

Distribuce PERT nabízí alternativu^[5] k používání trojúhelníkové rozdělení který má stejné tři parametry. Distribuce PERT má hladší tvar než trojúhelníková distribuce. Trojúhelníkové rozdělení má průměr rovnající se průměru tří parametrů:

${ displaystyle mu = { frac {a + b + c} {3}}}$

Vzorec klade stejný důraz na extrémní hodnoty, které jsou obvykle méně známé než nejpravděpodobnější hodnota, a mohou proto být nepřiměřeně ovlivněny špatným odhadem extrému. Trojúhelníkové rozdělení má také úhlový tvar, který neodpovídá hladšímu tvaru, který typizuje subjektivní znalosti:

Upravená distribuce PERT

Porovnání křivek hustoty pro upravené distribuce PERT s různými váhami

Distribuce PERT přiřadí velmi malou pravděpodobnost extrémním hodnotám, zejména extrémně nejdále od nejpravděpodobnější hodnoty, pokud je distribuce silně vychýlená.^[6][7] Upravená distribuce PERT ^[8] bylo navrženo poskytnout větší kontrolu nad tím, kolik pravděpodobnosti je přiřazeno koncovým hodnotám distribuce. Modifikovaný PERT zavádí čtvrtý parametr ${ displaystyle gamma,}$ který řídí váhu nejpravděpodobnější hodnoty při stanovení průměru:

${ displaystyle mu = { frac {a + gamma b + c} { gamma +2}}}$

Typicky se pro hodnoty používají hodnoty mezi 2 a 3,5 ${ displaystyle gamma,}$ a mají za následek zploštění křivky hustoty. To je užitečné pro vysoce zkosené distribuce, kde jsou vzdálenosti ${ displaystyle (b-a),}$ a ${ displaystyle (c-b),}$ jsou velmi různých velikostí.

Upravená distribuce PERT byla implementována v několika simulačních balíčcích:

• ModelRisk^[9] - doplněk analýzy rizik pro Excel.
• Primavera analýza rizik - nástroj pro simulaci analýzy rizik projektu.
• R (programovací jazyk)^[10] - open-source open source programovací jazyk pro statistické výpočty.
• Tamara ^[11] - nástroj pro simulaci analýzy rizik projektu.
• Wolfram Mathematica^[12] - matematický symbolický výpočetní program.

Reference