Inverzní Gaussovo rozdělení - Inverse Gaussian distribution
Funkce hustoty pravděpodobnosti ![]() | |||
Funkce kumulativní distribuce ![]() | |||
Zápis | |||
---|---|---|---|
Parametry | | ||
Podpěra, podpora | |||
CDF | kde je standardní normální (standardní Gaussovo) rozdělení c.d.f. | ||
Znamenat | |||
Režim | |||
Rozptyl | |||
Šikmost | |||
Př. špičatost | |||
MGF | |||
CF |
v teorie pravděpodobnosti, inverzní Gaussovo rozdělení (také známý jako Waldova distribuce) je rodina dvou parametrů spojitá rozdělení pravděpodobnosti s Podpěra, podpora zapnuto (0, ∞).
Své funkce hustoty pravděpodobnosti darováno
pro X > 0, kde je průměr a je parametr tvaru.[1]
Protože λ má sklon k nekonečnu, inverzní Gaussovo rozdělení se podobá a normální (Gaussovo) rozdělení. Inverzní Gaussovo rozdělení má několik vlastností analogických s Gaussovým rozdělením. Název může být zavádějící: je to „inverzní“ pouze v tom, zatímco Gaussian popisuje a Brownův pohyb úroveň v pevně stanoveném čase, inverzní Gaussian popisuje rozložení času, který Brownianův pohyb s pozitivním driftem potřebuje k dosažení pevné kladné úrovně.
Jeho funkce generující kumulant (logaritmus charakteristické funkce) je inverzní k funkci generující kumulant gaussovské náhodné proměnné.
Označit, že a náhodná proměnná X je inverzní Gaussovo rozdělení s průměrem μ a tvarovým parametrem λ, který píšeme .
Vlastnosti
Formulář s jedním parametrem
Funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) inverzního Gaussova rozdělení má jediný tvar parametru daný
V této formě jsou průměr a rozptyl distribuce stejné,
Rovněž funkce kumulativního rozdělení (cdf) inverzního Gaussova rozdělení s jedním parametrem souvisí se standardním normálním rozdělením
kde a Kde je soubor standardního normálního rozdělení. Proměnné a jsou navzájem propojeny identitou
Ve formě jediného parametru se MGF zjednodušuje na
Inverzní Gaussovo rozdělení ve formě dvojitých parametrů lze transformovat do formy jednoho parametru vhodným měřítkem kde
Standardní forma inverzního Gaussova rozdělení je
Shrnutí
Li Xi má distribuce pro i = 1, 2, ..., na všechno Xi jsou nezávislý, pak
Všimněte si, že
je konstantní pro všechny i. Tohle je nutná podmínka pro součet. v opačném případě S nebude distribuován inverzní Gaussian.
Škálování
Pro všechny t > 0 to platí
Exponenciální rodina
Inverzní Gaussovo rozdělení je dvouparametrické exponenciální rodina s přirozené parametry −λ/(2μ2) a -λ/ 2 a přírodní statistiky X a 1 /X.
Vztah s Brownovým pohybem
Nech stochastický proces Xt být dán
kde Žt je standard Brownův pohyb. To znamená Xt je Brownův pohyb s driftem .
Pak čas první pasáže pro pevnou úroveň podle Xt je distribuován podle inverzní Gaussian:
(srov. Schrödinger[2] rovnice 19, Smoluchowski[3], rovnice 8 a Folks[4], rovnice 1).
Když je drift nulový
Běžný zvláštní případ výše uvedeného nastává, když Brownův pohyb nemá drift. V takovém případě parametr μ inklinuje k nekonečnu a čas prvního průchodu pro pevnou úroveň α má funkci hustoty pravděpodobnosti
(viz také Bachelier[5]:74[6]:39). Tohle je Lévyho distribuce s parametry a .
Maximální pravděpodobnost
Model kde
se vším wi známý, (μ, λ) neznámé a všechny Xi nezávislý má následující funkci pravděpodobnosti
Řešení rovnice pravděpodobnosti poskytne následující odhady maximální pravděpodobnosti
a jsou nezávislé a
Vzorkování z inverzně Gaussova rozdělení
Lze použít následující algoritmus.[7]
Vytvořte náhodnou odchylku od normálního rozdělení s průměrem 0 a směrodatnou odchylkou rovnou 1
Umocněte hodnotu
a použít vztah
Vytvořte další náhodnou variaci, tentokrát vzorkovanou z rovnoměrného rozdělení mezi 0 a 1
Lipak se vraťtejinak se vrátit
Ukázkový kód v Jáva:
veřejnost dvojnásobek inverzníGaussian(dvojnásobek mu, dvojnásobek lambda) { Náhodný rand = Nový Náhodný(); dvojnásobek proti = rand.dalšíGaussian(); // Vzorek z normálního rozdělení s průměrem standardní odchylky 0 a 1 dvojnásobek y = proti * proti; dvojnásobek X = mu + (mu * mu * y) / (2 * lambda) - (mu / (2 * lambda)) * Matematika.čtv(4 * mu * lambda * y + mu * mu * y * y); dvojnásobek test = rand.dalšíDvojitý(); // Ukázka z rovnoměrného rozdělení mezi 0 a 1 -li (test <= (mu) / (mu + X)) vrátit se X; jiný vrátit se (mu * mu) / X;}

A vykreslit Waldovu distribuci v Krajta použitím matplotlib a NumPy:
import matplotlib.pyplot tak jako pltimport numpy tak jako nph = plt.hist(np.náhodný.Wald(3, 2, 100000), koše=200, hustota=Skutečný)plt.ukázat()
Související distribuce
Konvoluce inverzní Gaussovy distribuce (Waldova distribuce) a exponenciální (ex-Waldova distribuce) se používá jako model pro dobu odezvy v psychologii,[9] s vizuálním vyhledáváním jako jeden příklad.[10]
Dějiny
Zdá se, že tato distribuce byla poprvé odvozena v roce 1900 Louis Bachelier[5][6] jako doba, kdy akcie poprvé dosáhnou určité ceny. V roce 1915 byl používán samostatně Erwin Schrödinger[2] a Marian v. Smoluchowski[3] jako čas do prvního průchodu Brownovým pohybem. V oblasti reprodukčního modelování je známá jako Hadwigerova funkce Hugo Hadwiger který to popsal v roce 1940.[11] Abraham Wald re-odvodil tuto distribuci v roce 1944[12] jako omezující forma vzorku v testu postupného poměru pravděpodobnosti. Název inverzní Gaussian navrhl Maurice Tweedie v roce 1945.[13] Tweedie zkoumala tuto distribuci v roce 1956[14] a 1957[15][16] a stanovil některé ze svých statistických vlastností. Distribuce byla rozsáhle přezkoumána Folks a Chhikara v roce 1978.[4]
Numerické výpočty a software
Navzdory jednoduchému vzorci pro funkci hustoty pravděpodobnosti vyžadují numerické výpočty pravděpodobnosti pro inverzní Gaussovo rozdělení zvláštní pozornost, aby se dosáhlo plné přesnosti stroje v aritmetice s plovoucí desetinnou čárkou pro všechny hodnoty parametrů.[17] Funkce pro inverzní Gaussovo rozdělení jsou k dispozici pro Programovací jazyk R. několika balíčky včetně rmutil,[18][19] SuppDists,[20] HVĚZDA,[21] invGauss,[22] LaplacesDemon,[23] a statmod.[24]
Viz také
- Zobecněné inverzní Gaussovo rozdělení
- Tweedie distribuce —Inverzní Gaussovo rozdělení je členem rodiny Tweedie modely exponenciálního rozptylu
- Čas zastavení
Reference
- ^ A b Chhikara, Raj S .; Folks, J. Leroy (1989), Inverzní Gaussovo rozdělení: teorie, metodologie a aplikace, New York, NY, USA: Marcel Dekker, Inc, ISBN 0-8247-7997-5
- ^ A b Schrödinger, Erwin (1915), „Zur Theorie der Fall- und Steigversuche an Teilchen mit Brownscher Bewegung“ [The Theory of Fall- and Rise Experiments on Particles with Brownian Motion], Physikalische Zeitschrift (v němčině), 16 (16): 289–295
- ^ A b Smoluchowski, Marian (1915), „Notiz über die Berechnung der Brownschen Molekularbewegung bei der Ehrenhaft-Millikanschen Versuchsanordnung“ [Poznámka k výpočtu Brownova molekulárního pohybu v experimentálním uspořádání Ehrenhaft-Millikan], Physikalische Zeitschrift (v němčině), 16 (17/18): 318–321
- ^ A b Folks, J. Leroy; Chhikara, Raj S. (1978), „Inverzní gaussovské rozdělení a její statistické aplikace - přehled“, Journal of the Royal Statistical Society, Řada B (metodická), 40 (3): 263–275, doi:10.1111 / j.2517-6161.1978.tb01039.x, JSTOR 2984691
- ^ A b Bachelier, Louis (1900), „Théorie de la spéculation“ [Teorie spekulace] (PDF), Ann. Sci. Éc. Norma. Supér. (ve francouzštině), Serie 3; 17: 21–89
- ^ A b Bachelier, Louis (1900), „Teorie spekulací“, Ann. Sci. Éc. Norma. Supér., Serie 3; 17: 21–89 (anglický překlad Davida R. května, 2011)
- ^ Michael, John R .; Schucany, William R .; Haas, Roy W. (1976), „Generování náhodných variací pomocí transformací s více kořeny“, Americký statistik, 30 (2): 88–90, doi:10.1080/00031305.1976.10479147, JSTOR 2683801
- ^ Shuster, J. (1968). Msgstr "Na inverzní Gaussovu distribuční funkci". Journal of the American Statistical Association. 63 (4): 1514–1516.
- ^ Schwarz, Wolfgang (2001), „The ex-Wald distribution as a descriptive model of response times“, Metody, přístroje a počítače pro výzkum chování, 33 (4): 457–469, doi:10,3758 / bf03195403, PMID 11816448
- ^ Palmer, E. M .; Horowitz, T. S .; Torralba, A .; Wolfe, J. M. (2011). „Jaké jsou tvary distribucí doby odezvy ve vizuálním vyhledávání?“. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance. 37 (1): 58–71. doi:10.1037 / a0020747. PMC 3062635. PMID 21090905.
- ^ Hadwiger, H. (1940). "Eine analytische Reproduktionsfunktion für biologische Gesamtheiten". Skandinavisk Aktuarietidskrijt. 7 (3–4): 101–113. doi:10.1080/03461238.1940.10404802.
- ^ Wald, Abraham (1944), „Kumulativní součty náhodných proměnných“, Annals of Mathematical Statistics, 15 (3): 283–296, doi:10.1214 / aoms / 1177731235, JSTOR 2236250
- ^ Tweedie, M. C. K. (1945). "Inverzní statistické variace". Příroda. 155 (3937): 453. doi:10.1038 / 155453a0.
- ^ Tweedie, M. C. K. (1956). "Některé statistické vlastnosti inverzního Gaussova rozdělení". Virginia Journal of Science (nová řada). 7 (3): 160–165.
- ^ Tweedie, M. C. K. (1957). "Statistické vlastnosti inverzního Gaussova rozdělení I". Annals of Mathematical Statistics. 28 (2): 362–377. JSTOR 2237158.
- ^ Tweedie, M. C. K. (1957). "Statistické vlastnosti inverzního Gaussova rozdělení II". Annals of Mathematical Statistics. 28 (3): 696–705. JSTOR 2237229.
- ^ Giner, Göknur; Smyth, Gordon (srpen 2016). "statmod: Výpočty pravděpodobnosti pro inverzní Gaussovo rozdělení". Časopis R.. 8 (1): 339–351. doi:10.32614 / RJ-2016-024.
- ^ Lindsey, James (09.09.2013). "rmutil: Nástroje pro nelineární regresi a modely opakovaných měření".
- ^ Swihart, Bruce; Lindsey, James (04.03.2019). "rmutil: Nástroje pro nelineární regresi a modely opakovaných měření".
- ^ Wheeler, Robert (2016-09-23). „SuppDists: Supplementary Distribuce“.
- ^ Pouzat, Christophe (2015-02-19). „STAR: Spike Train Analysis with R“.
- ^ Gjessing, Hakon K. (2014-03-29). „Prahová regrese, která odpovídá (randomizovanému driftu) inverzní Gaussovské distribuci k datům přežití“.
- ^ Hall, Byron; Hall, Martina; Statisticat, LLC; Brown, Eric; Hermanson, Richard; Charpentier, Emmanuel; Sakra, Daniel; Laurent, Stephane; Gronau, Quentin F .; Singmann, Henrik (29.03.2014). „LaplacesDemon: Complete Environment for Bayesian Inference“.
- ^ Giner, Göknur; Smyth, Gordon (18.06.2017). "statmod: Statistické modelování".
Další čtení
- Høyland, Arnljot; Rausand, Marvin (1994). Teorie spolehlivosti systému. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-59397-3.
- Seshadri, V. (1993). Inverzní Gaussovo rozdělení. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852243-0.
externí odkazy
- Inverzní Gaussovo rozdělení na webu Wolfram.