kombinační matematika , a q -exponenciálníq -analogovýexponenciální funkce , jmenovitě vlastní funkce a q -derivát. Je jich mnoho q - deriváty, například klasické q -derivátq -exponenciály nejsou jedinečné. Například, E q ( z ) {displaystyle e_ {q} (z)} q -exponenciální odpovídající klasice q -derivát E q ( z ) {displaystyle {mathcal {E}} _ {q} (z)}
Definice The q -exponenciální E q ( z ) {displaystyle e_ {q} (z)}
E q ( z ) = ∑ n = 0 ∞ z n [ n ] q ! = ∑ n = 0 ∞ z n ( 1 − q ) n ( q ; q ) n = ∑ n = 0 ∞ z n ( 1 − q ) n ( 1 − q n ) ( 1 − q n − 1 ) ⋯ ( 1 − q ) {displaystyle e_ {q} (z) = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {n}} {[n] _ {q}!}} = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {n} (1-q) ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = součet _ {n = 0} ^ {infty} z ^ {n} {frac {(1-q) ^ {n}} {(1-q ^ {n}) (1-q ^ {n-1}) cdots (1-q)}}} kde [ n ] q ! {displaystyle [n] _ {q}!} q -faktoriální
( q ; q ) n = ( 1 − q n ) ( 1 − q n − 1 ) ⋯ ( 1 − q ) {displaystyle (q; q) _ {n} = (1-q ^ {n}) (1-q ^ {n-1}) cdots (1-q)} je q -Pochhammer symbolq -analog exponenciálu vyplývá z vlastnosti
( d d z ) q E q ( z ) = E q ( z ) {displaystyle left ({frac {d} {dz}} ight) _ {q} e_ {q} (z) = e_ {q} (z)} kde derivace vlevo je q -derivátq - derivát monomiální
( d d z ) q z n = z n − 1 1 − q n 1 − q = [ n ] q z n − 1 . {displaystyle left ({frac {d} {dz}} ight) _ {q} z ^ {n} = z ^ {n-1} {frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = [n] _ {q} z ^ {n-1}.} Tady, [ n ] q {displaystyle [n] _ {q}} q -Závorkaq -exponenciální funkce, viz Exton (1983) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFExton1983 (Pomoc) , Ismail & Zhang (1994) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFIsmailZhang1994 (Pomoc) , Suslov (2003) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFSuslov2003 (Pomoc) a Cieslinski (2011) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFCieslinski2011 (Pomoc) .
Vlastnosti Opravdu q > 1 {displaystyle q> 1} E q ( z ) {displaystyle e_ {q} (z)} celá funkce z z {displaystyle z} q < 1 {displaystyle q <1} E q ( z ) {displaystyle e_ {q} (z)} | z | < 1 / ( 1 − q ) {displaystyle | z | <1 / (1-q)}
Všimněte si inverzní, E q ( z ) E 1 / q ( − z ) = 1 {displaystyle ~ e_ {q} (z) ~ e_ {1 / q} (- z) = 1}
Sčítací vzorec Li X y = q y X {displaystyle xy = qyx} E q ( X ) E q ( y ) = E q ( X + y ) {displaystyle e_ {q} (x) e_ {q} (y) = e_ {q} (x + y)}
Vztahy Pro − 1 < q < 1 {displaystyle -1 E q ( z ) . {displaystyle E_ {q} (z).} základní hypergeometrická řada ,
E q ( z ) = 1 ϕ 1 ( 0 0 ; z ) = ∑ n = 0 ∞ q ( n 2 ) ( − z ) n ( q ; q ) n = ∏ n = 0 ∞ ( 1 − q n z ) = ( z ; q ) ∞ . {displaystyle E_ {q} (z) =; _ {1} phi _ {1} vlevo ({scriptstyle {0 na vrcholu 0}},;, zight) = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac { q ^ {jin {n} {2}} (- z) ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = prod _ {n = 0} ^ {infty} (1-q ^ { n} z) = (z; q) _ {infty}.} Jasně,
lim q → 1 E q ( z ( 1 − q ) ) = lim q → 1 ∑ n = 0 ∞ q ( n 2 ) ( 1 − q ) n ( q ; q ) n ( − z ) n = E − z . {displaystyle lim _ {q o 1} E_ {q} vlevo (z (1-q) ight) = lim _ {q o 1} součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {jiný { n} {2}} (1-q) ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} (- z) ^ {n} = e ^ {- z}. ~} Vztah s dilogaritmem E q ( X ) {displaystyle e_ {q} (x)}
E q ( X ) = ( ∏ k = 0 ∞ ( 1 − q k ( 1 − q ) X ) ) − 1 . {displaystyle e_ {q} (x) = left (prod _ {k = 0} ^ {infty} (1-q ^ {k} (1-q) x) ight) ^ {- 1}.} Na druhou stranu, log ( 1 − X ) = − ∑ n = 1 ∞ X n n {displaystyle log (1-x) = - součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {x ^ {n}} {n}}} | q | < 1 {displaystyle | q | <1}
log E q ( X ) = − ∑ k = 0 ∞ log ( 1 − q k ( 1 − q ) X ) = ∑ k = 0 ∞ ∑ n = 1 ∞ ( q k ( 1 − q ) X ) n n = ∑ n = 1 ∞ ( ( 1 − q ) X ) n ( 1 − q n ) n = 1 1 − q ∑ n = 1 ∞ ( ( 1 − q ) X ) n [ n ] q n . {displaystyle log e_ {q} (x) = - součet _ {k = 0} ^ {infty} log (1-q ^ {k} (1-q) x) = součet _ {k = 0} ^ {infty } součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {(q ^ {k} (1-q) x) ^ {n}} {n}} = součet _ {n = 1} ^ {infty} { frac {((1-q) x) ^ {n}} {(1-q ^ {n}) n}} = {frac {1} {1-q}} součet _ {n = 1} ^ {infty } {frac {((1-q) x) ^ {n}} {[n] _ {q} n}}.} Tím, že vezmeme limit q → 1 {displaystyle q o 1}
lim q → 1 ( 1 − q ) log E q ( X / ( 1 − q ) ) = L i 2 ( X ) , {displaystyle lim _ {q o 1} (1-q) log e_ {q} (x / (1-q)) = mathrm {Li} _ {2} (x),} kde L i 2 ( X ) {displaystyle mathrm {Li} _ {2} (x)} dilogaritmus .
Reference Exton , H. (1983), q-Hypergeometrické funkce a aplikace , New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538Gasper , G. & Rahman , M. (2004), Základní hypergeometrická řada , Cambridge University Press, ISBN 0521833574Ismail , M. E. H. (2005), Klasické a kvantové ortogonální polynomy v jedné proměnné , Cambridge University Press.Ismail , M. E. H. & Zhang , R. (1994), „Diagonalizace určitých integrálních operátorů,“ Advances in Math. 108, 1–33.Ismail M.E.H. Rahman , M. & Zhang , R. (1996), Diagonalizace určitých integrálních operátorů II, J. Comp. Appl. Matematika. 68, 163-196.Jackson, F. H. (1908), „O q-funkcích a určitém operátoru rozdílu“, Transakce Royal Society of Edinburgh , 46 , 253-281. 
![e_ {q} (z) = součet _ {{n = 0}} ^ {infty} {frac {z ^ {n}} {[n] _ {q}!}} = součet _ {{n = 0} } ^ {infty} {frac {z ^ {n} (1-q) ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = součet _ {{n = 0}} ^ {infty} z ^ {n} {frac {(1-q) ^ {n}} {(1-q ^ {n}) (1-q ^ {{n-1}}) cdots (1-q)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f224e5c169bd7d785bc27d1cb5c515c5416330d1)
![[n] _ {q}!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265dcf73f45dc7d6cff172fe6b6d0f457f1c107f)
![left ({frac {d} {dz}} ight) _ {q} z ^ {n} = z ^ {{n-1}} {frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = [n] _ {q} z ^ {{n-1}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5454c7904c36ab46a23fd93c086675aa4f7f618)
![[n] _q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfd22063139d4a06ae9dfcaf79a85a2b2f751fc)
![{displaystyle log e_ {q} (x) = - součet _ {k = 0} ^ {infty} log (1-q ^ {k} (1-q) x) = součet _ {k = 0} ^ {infty } součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {(q ^ {k} (1-q) x) ^ {n}} {n}} = součet _ {n = 1} ^ {infty} { frac {((1-q) x) ^ {n}} {(1-q ^ {n}) n}} = {frac {1} {1-q}} součet _ {n = 1} ^ {infty } {frac {((1-q) x) ^ {n}} {[n] _ {q} n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d1c45c044490123c81aab2a12e18ea8c32c329)
