Euklidovská vzdálenost - Euclidean distance

Použití Pythagorovy věty k výpočtu dvojrozměrné euklidovské vzdálenosti

v matematika, Euklidovská vzdálenost mezi dvěma body v Euklidovský prostor je číslo, délka a úsečka mezi dvěma body. To lze vypočítat z Kartézské souřadnice bodů pomocí Pythagorova věta, a občas se mu říká Pytagorova vzdálenost.Tato jména pocházejí od starořeckých matematiků Euklid a Pythagoras, ale Euklid nepředstavoval vzdálenosti jako čísla a spojení od Pythagorovy věty k výpočtu vzdálenosti bylo provedeno až v 17. století.

Vzdálenost mezi dvěma objekty, které nejsou body, je obvykle definována jako nejmenší vzdálenost mezi dvojicemi bodů od těchto dvou objektů. Vzorce jsou známé pro výpočet vzdáleností mezi různými typy objektů, například vzdálenost od bodu k přímce. V pokročilé matematice byl koncept vzdálenosti zobecněn na abstraktní metrické prostory a byly studovány i jiné vzdálenosti než euklidovské. V některých statistických a optimalizačních aplikacích se místo samotné vzdálenosti používá čtverec euklidovské vzdálenosti.

Vzorec vzdálenosti

Jedna dimenze

Vzdálenost mezi dvěma body na skutečná linie je absolutní hodnota číselného rozdílu jejich souřadnic. Tedy pokud a jsou dva body na skutečné přímce, vzdálenost mezi nimi je dána vztahem:[1]

Složitější vzorec, který dává stejnou hodnotu, ale zobecňuje se snadněji do vyšších dimenzí, je:[1]
V tomto vzorci kvadratura a pak se odmocnina ponechá jakékoli kladné číslo beze změny, ale nahradí záporné číslo absolutní hodnotou.[1]

Dva rozměry

V Euklidovské letadlo, dovolte bod mít Kartézské souřadnice a dovolte mi ukázat mít souřadnice . Pak vzdálenost mezi a darováno:[2]

To lze vidět použitím Pythagorova věta do a pravoúhlý trojuhelník s vodorovnými a svislými stranami, s úsečkou od na jako jeho přepona. Dva čtvercové vzorce uvnitř druhé odmocniny dávají oblasti čtverců na vodorovné a svislé straně a vnější druhá odmocnina převádí plochu čtverce na přeponě na délku přepony.[3]

Je také možné vypočítat vzdálenost bodů daných vztahem polární souřadnice. Pokud jsou polární souřadnice jsou a polární souřadnice jsou , pak je jejich vzdálenost[2]

Když a jsou vyjádřeny jako komplexní čísla v složité letadlo, lze použít stejný vzorec pro jednorozměrné body vyjádřené jako reálná čísla:[4]

Vyšší rozměry

Odvození -dimenzionální euklidovský vzorec vzdálenosti opakovaným používáním Pythagorovy věty

Ve třech rozměrech je pro body dané jejich kartézskými souřadnicemi vzdálenost

Obecně platí, že pro body dané kartézskými souřadnicemi v -dimenzionální euklidovský prostor, vzdálenost je[5]

Jiné objekty než body

U dvojic objektů, které nejsou oběma body, lze vzdálenost nejjednodušší definovat jako nejmenší vzdálenost mezi libovolnými dvěma body od dvou objektů, i když složitější generalizace z bodů na množiny, jako Hausdorffova vzdálenost jsou také běžně používány.[6] Mezi vzorce pro výpočet vzdáleností mezi různými typy objektů patří:

Vlastnosti

Euklidovská vzdálenost je prototypovým příkladem vzdálenosti v a metrický prostor,[9] a řídí se všemi určujícími vlastnostmi metrického prostoru:[10]

  • to je symetrický, což znamená, že pro všechny body a , . To je (na rozdíl od silniční vzdálenosti s jednosměrnými ulicemi) vzdálenost mezi dvěma body nezávisí na tom, který z těchto dvou bodů je začátek a který je cíl.[10]
  • to je pozitivní, což znamená, že vzdálenost mezi dvěma odlišnými body je a kladné číslo, zatímco vzdálenost z libovolného bodu k sobě je nulová.[10]
  • Podřizuje se nerovnost trojúhelníku: za každé tři body , , a , . Cestování intuitivně z na přes nemůže být kratší než cestování přímo z na .[10]

Další vlastnost, Ptolemaiova nerovnost, týká se euklidovských vzdáleností mezi čtyřmi body , , , a . Uvádí to

U bodů v rovině to lze přeformulovat tak, že pro všechny čtyřúhelník, součin protilehlých stran čtyřúhelníku je součet alespoň tak velkého počtu jako součin jeho úhlopříček. Ptolemaiova nerovnost však platí obecněji pro body v euklidovských prostorech jakékoli dimenze, bez ohledu na to, jak jsou uspořádány.[11]Euklidovský geometrie vzdálenosti studuje vlastnosti euklidovské vzdálenosti, jako je Ptolemaiova nerovnost, a jejich aplikace při testování, zda dané sady vzdáleností pocházejí z bodů v euklidovském prostoru.[12]

Na druhou euklidovská vzdálenost

A kužel, graf euklidovské vzdálenosti od počátku v rovině
A paraboloid, graf čtvercové euklidovské vzdálenosti od počátku

V mnoha aplikacích, a zejména při porovnávání vzdáleností, může být pohodlnější vynechat při výpočtu euklidovských vzdáleností konečnou druhou odmocninu. Hodnota vyplývající z tohoto opomenutí je náměstí euklidovské vzdálenosti a nazývá se na druhou euklidovská vzdálenost.[13] Jako rovnici ji lze vyjádřit jako a součet čtverců:

Kromě aplikace na srovnání vzdáleností má v Echlidovské vzdálenosti střední význam statistika, kde se používá v metodě nejmenší čtverce, standardní metoda přizpůsobení statistických odhadů údajům minimalizací průměru čtvercových vzdáleností mezi pozorovanými a odhadovanými hodnotami.[14] Sčítání čtvercových vzdáleností k sobě navzájem, jak se to děje v nejmenších čtvercích, odpovídá operaci na (neprozkoumaných) vzdálenostech zvaných Pythagorovo sčítání.[15] v shluková analýza, k posílení účinku delších vzdáleností lze použít druhou mocninu.[13]

Čtvercová euklidovská vzdálenost netvoří metrický prostor, protože nesplňuje nerovnost trojúhelníku.[16] Je to však přísné, plynulé konvexní funkce ze dvou bodů, na rozdíl od vzdálenosti, která není plynulá (poblíž párů stejných bodů) a konvexní, ale ne striktně konvexní. Čtvereční vzdálenost je tedy upřednostňována v teorie optimalizace, protože to umožňuje konvexní analýza být použit. Protože kvadratura je a monotónní funkce nezáporných hodnot je minimalizace druhé mocniny ekvivalentní minimalizaci euklidovské vzdálenosti, takže problém optimalizace je ekvivalentní z hlediska obou, ale je snazší ji vyřešit pomocí druhé mocniny.[17]

Sbírka všech čtverců vzdáleností mezi dvojicemi bodů z konečné množiny může být uložena v a Euklidovská matice vzdálenosti.[18] v racionální trigonometrie se používá čtvercová euklidovská vzdálenost, protože (na rozdíl od samotné euklidovské vzdálenosti) čtvercová vzdálenost mezi body s racionální číslo souřadnice jsou vždy racionální; v této souvislosti se také nazývá „quadrance“.[19]

Zobecnění

V pokročilejších oblastech matematiky při pohledu na euklidovský prostor jako a vektorový prostor, jeho vzdálenost je spojena s a norma volal Euklidovská norma, definovaná jako vzdálenost každého vektoru od původ. Jednou z důležitých vlastností této normy, ve srovnání s jinými normami, je to, že při nezměněných rotacích prostoru kolem počátku zůstává nezměněna.[20] Podle Dvoretzkyho věta, každý konečně-dimenzionální normovaný vektorový prostor má vysoce dimenzionální podprostor, na kterém je norma přibližně euklidovská; euklidovská norma je jedinou normou s touto vlastností.[21] Lze jej rozšířit na nekonečně trojrozměrné vektorové prostory jako L2 norma nebo L2 vzdálenost.[22]

Mezi další běžné vzdálenosti na euklidovských prostorech a nízkodimenzionálních vektorových prostorech patří:[23]

U bodů na plochách ve třech rozměrech by měla být euklidovská vzdálenost odlišena od geodetická vzdálenost, délka nejkratší křivky, která patří k povrchu. Zejména pro měření vzdáleností ve velkém kruhu na Zemi nebo jiných téměř sférických plochách zahrnují použité vzdálenosti: Haversinova vzdálenost dávat vzdálenosti kruhu mezi dvěma body na kouli od jejich zeměpisných šířek a šířek, a Vincentyho vzorce také známý jako „Vincentova vzdálenost“ pro vzdálenost na sféroidu.[24]

Dějiny

Euklidovská vzdálenost je vzdálenost v Euklidovský prostor; oba pojmy jsou pojmenovány po starogréckém matematikovi Euklid, jehož Elementy se stal po mnoho staletí standardní učebnicí geometrie.[25] Koncepty délka a vzdálenost jsou rozšířené napříč kulturami, lze je datovat nejdříve přežívajícími „protoliterátními“ byrokratickými dokumenty z Sumer ve čtvrtém tisíciletí před naším letopočtem (daleko před Euklidem),[26] a předpokládá se, že se u dětí budou vyvíjet dříve než související pojmy rychlost a čas.[27] Ale pojem vzdálenost, jako číslo definované ze dvou bodů, se ve skutečnosti neobjevuje v Euklidově Elementy. Místo toho přistupuje Euclid k tomuto konceptu implicitně prostřednictvím shoda liniových segmentů prostřednictvím srovnání délek liniových segmentů a konceptem proporcionalita.[28]

The Pythagorova věta je také starodávný, ale jeho ústřední roli v měření vzdáleností převzal až vynález vynálezu Kartézské souřadnice podle René Descartes v roce 1637.[29] Kvůli tomuto spojení se euklidovská vzdálenost také někdy nazývá Pythagorova vzdálenost.[30] Ačkoli přesná měření velkých vzdáleností na zemském povrchu, která nejsou euklidovská, byla od starověku znovu studována v mnoha kulturách (viz historie geodézie ), myšlenka, že euklidovská vzdálenost nemusí být jediným způsobem měření vzdáleností mezi body v matematických prostorech, přišla ještě později, s formulací 19. století neeuklidovská geometrie.[31] Definice euklidovské normy a euklidovské vzdálenosti pro geometrie více než tří dimenzí se také poprvé objevila v 19. století, v práci Augustin-Louis Cauchy.[32]

Reference

  1. ^ A b C Smith, Karl (2013), Precalculus: Funkční přístup ke grafům a řešení problémů, Vydavatelé Jones & Bartlett, s. 8, ISBN  9780763751777
  2. ^ A b Cohen, David (2004), Precalculus: Přístup orientovaný na problémy (6. vydání), Cengage Learning, str. 698, ISBN  9780534402129
  3. ^ Aufmann, Richard N .; Barker, Vernon C .; Národ, Richard D. (2007), College trigonometrie (6. vydání), Cengage Learning, str. 17, ISBN  9781111808648
  4. ^ Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), „3.1.1 Vzdálenost mezi dvěma body“, Komplexní čísla od A do ... Z (2. vyd.), Birkhäuser, str. 57–58, ISBN  978-0-8176-8415-0
  5. ^ Tabak, John (2014), Geometry: The Language of Space and Form, Fakta o matematické knihovně souborů, Infobase Publishing, str. 150, ISBN  9780816068760
  6. ^ Ó Searcóid, Mícheál (2006), „2.7 Vzdálenosti od množin k množinám“, Metrické prostory, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, str. 29–30, ISBN  9781846286278
  7. ^ A b Ballantine, J. P .; Jerbert, A. R. (duben 1952), „Vzdálenost od přímky nebo roviny k bodu“, Poznámky k učebně, Americký matematický měsíčník, 59 (4): 242–243, doi:10.2307/2306514, JSTOR  2306514
  8. ^ Bell, Robert J. T. (1914), "49. Nejkratší vzdálenost mezi dvěma řádky", Základní pojednání o souřadnicové geometrii tří dimenzí (2. vyd.), Macmillan, str. 57–61
  9. ^ Ivanov, Oleg A. (2013), Snadné jako π?: Úvod do vyšší matematiky, Springer, str. 140, ISBN  9781461205531
  10. ^ A b C d Strichartz, Robert S. (2000), Způsob analýzy, Jones & Bartlett Learning, s. 357, ISBN  9780763714970
  11. ^ Adam, John A. (2017), Paprsky, vlny a rozptyl: Témata v klasické matematické fyzice, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, s. 26–27, ISBN  9781400885404
  12. ^ Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Euklidovská geometrie vzdálenosti: Úvod Springer, vysokoškolské texty z matematiky a technologie, Springer, s. xi, ISBN  9783319607924
  13. ^ A b Spencer, Neil H. (2013), „5.4.5 čtvercové euklidovské vzdálenosti“, Základy analýzy dat s více proměnnými, CRC Press, str. 95, ISBN  9781466584792
  14. ^ Randolph, Karen A.; Myers, Laura L. (2013), Základní statistiky ve vícerozměrné analýze, Kapesní průvodce metodami výzkumu sociální práce, Oxford University Press, s. 1 116, ISBN  9780199764044
  15. ^ Moler, Cleve a Donald Morrison (1983), „Výměna čtvercových kořenů Pythagorovými částkami“ (PDF), IBM Journal of Research and Development, 27 (6): 577–581, CiteSeerX  10.1.1.90.5651, doi:10.1147 / kolo 276,0577
  16. ^ Mielke, Paul W .; Berry, Kenneth J. (2000), „Euklidovské vzdálenosti založené na permutačních metodách ve vědě o atmosféře“, Brown, Timothy J .; Mielke, Paul W. Jr. (eds.), Statistická těžba a vizualizace dat v atmosférických vědách, Springer, str. 7–27, doi:10.1007/978-1-4757-6581-6_2
  17. ^ Kaplan, Wilfred (2011), Maxima a Minima s aplikacemi: Praktická optimalizace a dualita, Wiley Series v diskrétní matematice a optimalizaci, 51, John Wiley & Sons, str. 61, ISBN  9781118031049
  18. ^ Alfakih, Abdo Y. (2018), Euklidovské distanční matice a jejich aplikace v teorii tuhosti, Springer, str. 51, ISBN  9783319978468
  19. ^ Henle, Michael (prosinec 2007), "Recenze Božské proporce N. J. Wildberger ", Americký matematický měsíčník, 114 (10): 933–937, JSTOR  27642383
  20. ^ Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011), Relativistická nebeská mechanika sluneční soustavy, John Wiley & Sons, str. 106, ISBN  9783527634576
  21. ^ Matoušek, Jiří (2002), Přednášky o diskrétní geometrii, Postgraduální texty z matematiky, Springer, str. 349, ISBN  978-0-387-95373-1
  22. ^ Ciarlet, Philippe G. (2013), Lineární a nelineární funkční analýza s aplikacemi, Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, s. 173, ISBN  9781611972580
  23. ^ Klamroth, Kathrin (2002), „Oddíl 1.1: Normy a metriky“, Problémy s umístěním jednoho zařízení s překážkami„Springer Series in Operations Research, Springer, str. 4–6, doi:10.1007/0-387-22707-5_1
  24. ^ Panigrahi, Narayan (2014), „12.2.4 Haversine Formula a 12.2.5 Vincenty's Formula“, Výpočet v geografických informačních systémech, CRC Press, str. 212–214, ISBN  9781482223149
  25. ^ Zhang, Jin (2007), Vizualizace pro získávání informacíSpringer, ISBN  9783540751489
  26. ^ Høyrup, Jens (2018), „Mezopotámská matematika“ (PDF), Jones, Alexander; Taub, Liba (eds.), Cambridge History of Science, Volume 1: Ancient Science, Cambridge University Press, s. 58–72
  27. ^ Acredolo, Curt; Schmid, Jeannine (1981), „Pochopení relativních rychlostí, vzdáleností a dob pohybu“, Vývojová psychologie, 17 (4): 490–493, doi:10.1037/0012-1649.17.4.490
  28. ^ Henderson, David W. (2002), "Recenze Geometry: Euclid and Beyond Robin Hartshorne ", Bulletin of the American Mathematical Society, 39: 563–571
  29. ^ Maor, Eli (2019), Pytagorova věta: 4000letá historie, Princeton University Press, s. 133, ISBN  9780691196886
  30. ^ Rankin, William C .; Markley, Robert P .; Evans, Selby H. (březen 1970), „Pytagorova vzdálenost a usuzovaná podobnost schematických podnětů“, Postřeh a psychofyzika, 7 (2): 103–107, doi:10.3758 / bf03210143
  31. ^ Milnor, Johne (1982), „Hyperbolická geometrie: prvních 150 let“, Bulletin of the American Mathematical Society, 6 (1): 9–24, doi:10.1090 / S0273-0979-1982-14958-8, PAN  0634431
  32. ^ Ratcliffe, John G. (2019), Základy hyperbolických potrubí, Postgraduální texty z matematiky, 149 (3. vyd.), Springer, str. 32, ISBN  9783030315979