Věta o násobení - Multiplication theorem

v matematika, věta o násobení je určitý typ identity, kterým se mnozí řídí speciální funkce související s funkce gama. Pro explicitní případ funkce gama je identita produktem hodnot; tedy jméno. Všechny různé vztahy vycházejí ze stejného základního principu; to znamená, že vztah pro jednu speciální funkci lze odvodit od vztahu pro ostatní a je to jednoduše projev stejné identity v různých podobách.

Konečná charakteristika

Věta o násobení má dvě běžné formy. V prvním případě se přidá nebo vynásobí konečný počet členů, aby se získal vztah. V druhém případě se přidá nebo vynásobí nekonečný počet výrazů. Konečná forma se obvykle vyskytuje pouze pro gama a související funkce, pro které identita vyplývá z a p-adic vztah nad a konečné pole. Například věta o násobení pro funkci gama vyplývá z Chowla – Selbergův vzorec, který vyplývá z teorie komplexní násobení. Nekonečné částky jsou mnohem běžnější a vycházejí z charakteristická nula vztahy na hypergeometrické řadě.

Následující tabulka uvádí různé podoby věty o násobení pro konečnou charakteristiku; charakteristické nulové vztahy jsou uvedeny dále. Ve všech případech, n a k jsou nezáporná celá čísla. Pro zvláštní případ n = 2, věta se běžně označuje jako duplikační vzorec.

Funkce gama - legendární vzorec

Duplikační vzorec a věta o násobení pro funkce gama jsou prototypovými příklady. Duplikační vzorec pro funkci gama je

${ displaystyle Gamma (z) ; Gamma vlevo (z + { frac {1} {2}} vpravo) = 2 ^ {1-2z} ; { sqrt { pi}} ; Gamma (2z).}$

Také se tomu říká Legendární duplikační vzorec^[1] nebo Legendární vztah, na počest Adrien-Marie Legendre. Věta o násobení je

${ displaystyle Gamma (z) ; Gamma vlevo (z + { frac {1} {k}} vpravo) ; Gamma vlevo (z + { frac {2} {k}} vpravo) cdots Gamma left (z + { frac {k-1} {k}} right) = (2 pi) ^ { frac {k-1} {2}} ; k ^ { frac { 1–2 kz} {2}} ; Gamma (kz)}$

pro celé číslo k ≥ 1, a někdy se nazývá Gaussův multiplikační vzorec, ve cti Carl Friedrich Gauss. Větu o násobení pro funkce gama lze chápat jako speciální případ pro triviální Dirichletova postava, z Chowla – Selbergův vzorec.

Funkce polygammy, harmonická čísla

The funkce polygammy je logaritmická derivace funkce gama, a tím se věta o násobení stává aditivní, místo multiplikativní:

${ displaystyle k ^ {m} psi ^ {(m-1)} (kz) = součet _ {n = 0} ^ {k-1} psi ^ {(m-1)} vlevo (z + { frac {n} {k}} vpravo)}$

pro ${ displaystyle m> 1}$, a pro ${ displaystyle m = 1}$, jeden má funkce digamma:

${ Displaystyle k left [ psi (kz) - log (k) right] = sum _ {n = 0} ^ {k-1} psi left (z + { frac {n} {k }}že jo).}$

Identity polygammy lze použít k získání věty o násobení pro harmonická čísla.

Funkce Hurwitz zeta

Pro Funkce Hurwitz zeta zobecňuje funkci polygammy na neceločíselné řády, a tak se řídí velmi podobnou větou o násobení:

${ displaystyle k ^ {s} zeta (s) = součet _ {n = 1} ^ {k} zeta left (s, { frac {n} {k}} right),}$

kde ${ displaystyle zeta (s)}$ je Funkce Riemann zeta. Toto je zvláštní případ

${ displaystyle k ^ {s} , zeta (s, kz) = součet _ {n = 0} ^ {k-1} zeta left (s, z + { frac {n} {k}} že jo)}$

a

${ displaystyle zeta (s, kz) = součet _ {n = 0} ^ { infty} {s + n-1 zvolit n} (1-k) ^ {n} z ^ {n} zeta (s + n, z).}$

Násobicí vzorce pro jiné než hlavní znaky mohou být uvedeny ve formě Dirichletovy funkce L..

Periodická funkce zeta

The periodická funkce zeta^[2] je někdy definována jako

${ displaystyle F (s; q) = součet _ {m = 1} ^ { infty} { frac {e ^ {2 pi imq}} {m ^ {s}}} = operatorname {Li} _ {s} left (e ^ {2 pi iq} right)}$

kde Li_s(z) je polylogaritmus. Řídí se vzorcem duplikace

${ displaystyle 2 ^ {- s} F (s; q) = F vlevo (s, { frac {q} {2}} vpravo) + F vlevo (s, { frac {q + 1} {2}} vpravo).}$

Jako takový je vlastním vektorem Bernoulliho operátor s vlastním číslem 2^−s. Věta o násobení je

${ displaystyle k ^ {- s} F (s; kq) = součet _ {n = 0} ^ {k-1} F doleva (s, q + { frac {n} {k}} doprava) .}$

Periodická funkce zeta se vyskytuje ve vzorci odrazu pro funkci zeta Hurwitz, proto se vztah, kterému se podřídí, a vztah Hurwitz zeta liší vzájemnou výměnous → −s.

The Bernoulliho polynomy lze získat jako omezující případ periodické funkce zeta, přičemž s být celé číslo, a tudíž věta o násobení může být odvozena z výše uvedeného. Podobně i střídáníq = logz vede k teorému o násobení pro polylogaritmus.

Polylogaritmus

Duplikační vzorec má formu

${ displaystyle 2 ^ {1-s} operatorname {Li} _ {s} (z ^ {2}) = operatorname {Li} _ {s} (z) + operatorname {Li} _ {s} ( -z).}$

Obecný vzorec pro násobení má tvar a Gaussova suma nebo diskrétní Fourierova transformace:

${ displaystyle k ^ {1-s} operatorname {Li} _ {s} (z ^ {k}) = sum _ {n = 0} ^ {k-1} operatorname {Li} _ {s} left (ze ^ {i2 pi n / k} right).}$

Tyto identity vyplývají z periodické funkce zetaz = logq.

Kummerova funkce

Duplikační vzorec pro Kummerova funkce je

${ displaystyle 2 ^ {1-n} Lambda _ {n} (- z ^ {2}) = Lambda _ {n} (z) + Lambda _ {n} (- z)}$

a tak se podobá tomu pro polylogaritmus, ale zkroucený oi.

Bernoulliho polynomy

Pro Bernoulliho polynomy, věty o násobení byly dány Joseph Ludwig Raabe v roce 1851:

${ displaystyle k ^ {1-m} B_ {m} (kx) = součet _ {n = 0} ^ {k-1} B_ {m} vlevo (x + { frac {n} {k}} že jo)}$

a pro Eulerovy polynomy,

${ displaystyle k ^ {- m} E_ {m} (kx) = součet _ {n = 0} ^ {k-1} (- 1) ^ {n} E_ {m} vlevo (x + { frac {n} {k}} right) quad { mbox {for}} k = 1,3, dots}$

a

${ displaystyle k ^ {- m} E_ {m} (kx) = { frac {-2} {m + 1}} součet _ {n = 0} ^ {k-1} (- 1) ^ { n} B_ {m + 1} left (x + { frac {n} {k}} right) quad { mbox {for}} k = 2,4, dots.}$

Bernoulliho polynomy lze získat jako speciální případ funkce Hurwitz zeta, a odtud tedy vyplývají identity.

Satelitní mapa Bernoulli

The Satelitní mapa Bernoulli je určitý jednoduchý model a disipativní dynamický systém, popisující účinek a operátor směny na nekonečném řetězci mincí (the Cantor set ). Mapa Bernoulli je jednostranná verze úzce související Bakerova mapa. Mapa Bernoulli zobecňuje na a k-adic verze, která působí na nekonečné řetězce řetězce k symboly: toto je Bernoulliho schéma. The operátor přenosu ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {k}}$ odpovídající operátorovi směny v Bernoulliho schématu je dán vztahem

${ displaystyle [{ mathcal {L}} _ {k} f] (x) = { frac {1} {k}} součet _ {n = 0} ^ {k-1} f left ({ frac {x + n} {k}} vpravo)}$

Možná není překvapením vlastní vektory tohoto operátoru jsou dány Bernoulliho polynomy. To znamená, že jeden to má

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {k} B_ {m} = { frac {1} {k ^ {m}}} B_ {m}}$

Je to skutečnost, že vlastní čísla ${ displaystyle k ^ {- m} <1}$ který to označuje jako disipativní systém: pro nedisipativní dynamický systém zachovávající míru, vlastní čísla operátoru přenosu leží na jednotkovém kruhu.

Lze zkonstruovat funkci, která poslouchá větu o násobení z libovolného zcela multiplikativní funkce. Nechat ${ displaystyle f (n)}$ být zcela multiplikativní; to je ${ displaystyle f (mn) = f (m) f (n)}$ pro všechna celá čísla m, n. Definujte jeho Fourierovu řadu jako

${ displaystyle g (x) = součet _ {n = 1} ^ { infty} f (n) exp (2 pi inx)}$

Za předpokladu, že součet konverguje, takže G(X) existuje, jeden pak má, že se řídí větou o násobení; to je, to

${ displaystyle { frac {1} {k}} součet _ {n = 0} ^ {k-1} g left ({ frac {x + n} {k}} right) = f (k ) g (x)}$

To znamená, G(X) je vlastní funkce provozovatele přenosu Bernoulli s vlastní hodnotou F(k). Věta o násobení pro Bernoulliho polynomy poté následuje jako speciální případ multiplikativní funkce ${ displaystyle f (n) = n ^ {- s}}$. The Dirichletovy postavy jsou plně multiplikativní a lze je tedy snadno použít k získání dalších identit tohoto formuláře.

Charakteristická nula

Věta o násobení nad polem charakteristická nula nezavírá se po omezeném počtu podmínek, ale vyžaduje nekonečná řada být vyjádřen. Mezi příklady patří to pro Besselova funkce ${ displaystyle J _ { nu} (z)}$:

${ displaystyle lambda ^ {- nu} J _ { nu} ( lambda z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} vlevo ({ frac {(1- lambda ^ {2}) z} {2}} vpravo) ^ {n} J _ { nu + n} (z),}$

kde ${ displaystyle lambda}$ a ${ displaystyle nu}$ lze brát jako libovolná komplexní čísla. Taková identita s nulovou charakteristikou obecně vyplývá z jedné z mnoha možných identit v hypergeometrické řadě.

Poznámky

Reference

• Milton Abramowitz a Irene A. Stegun, eds. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami, (1972) Dover, New York. (Věty o násobení jsou jednotlivě uvedeny po kapitolách)
• C. Truesdell, “O větách sčítání a násobení pro speciální funkce ", Sborník Národní akademie věd, matematika, (1950), str. 752–757.