Distribuce Birnbaum – Saunders - Birnbaum–Saunders distribution - Wikipedia

The Distribuce Birnbaum – Saunders, také známý jako rozdělení únavové životnosti, je rozdělení pravděpodobnosti používán značně v spolehlivost aplikace pro modelování poruchových dob. V literatuře existuje několik alternativních formulací této distribuce. Je pojmenován po Z. W. Birnbaum a S. C. Saunders.

Teorie

Tato distribuce byla vyvinuta k modelování poruch způsobených prasklinami. Materiál je vystaven opakovaným cyklům napětí. The j^th cyklus vede ke zvýšení trhliny o X_j množství. Součet X_j se předpokládá, že je normálně distribuováno s průměrem nμ a rozptyl nσ². Pravděpodobnost, že trhlina nepřekročí kritickou délku ω je

${ displaystyle P (X leq omega) = Phi left ({ frac { omega -n mu} { sigma { sqrt {n}}}} right)}$

kde Φ() je soubor CD normální distribuce.

Li T je počet cyklů do selhání, pak kumulativní distribuční funkce (cdf) z T je

${ displaystyle P (T leq t) = 1- Phi left ({ frac { omega -t mu} { sigma { sqrt {t}}}} right) = Phi left ( { frac {t mu - omega} { sigma { sqrt {t}}}} vpravo) = Phi vlevo ({ frac { mu { sqrt {t}}} { sigma} } - { frac { omega} { sigma { sqrt {t}}}} vpravo) = Phi vlevo ({ frac { sqrt { mu omega}} { sigma}} vlevo [ left ({ frac {t} { omega / mu}} right) ^ {0,5} - left ({ frac { omega / mu} {t}} right) ^ {0,5} dobře dobře)}$

Běžnější forma této distribuce je:

${ displaystyle F (x; alpha, beta) = Phi left ({ frac {1} { alpha}} left [ left ({ frac {x} { beta}} right) ^ {0,5} - doleva ({ frac { beta} {x}} doprava) ^ {0,5} doprava] doprava)}$

Tady α je parametr tvaru a β je parametr měřítka.

Vlastnosti

Distribuce Birnbaum – Saunders je unimodální s medián z β.

The znamenat (μ), rozptyl (σ²), šikmost (y) a špičatost (κ) jsou následující:

${ displaystyle mu = beta left (1 + { frac { alpha ^ {2}} {2}} right)}$

${ displaystyle sigma ^ {2} = ( alpha beta) ^ {2} vlevo (1 + { frac {5 alpha ^ {2}} {4}} vpravo)}$

${ displaystyle gamma = { frac {4 alpha (11 alpha ^ {2} +6)} {(5 alpha ^ {2} +4) ^ { frac {3} {2}}}} }$

${ displaystyle kappa = 3 + { frac {6 alpha ^ {2} (93 alpha ^ {2} +40)} {(5 alpha ^ {2} +4) ^ {2}}}}$

Vzhledem k datové sadě, která je považována za distribuovanou Birnbaum-Saunders, jsou hodnoty parametrů nejlépe odhadnuty maximální pravděpodobnost.

Li T je Birnbaum-Saunders distribuován s parametry α a β pak T⁻¹ je také Birnbaum-Saunders distribuován s parametry α a β⁻¹.

Proměna

Nechat T být distribuován Birnbaum-Saunders, měnit se s parametry α a β. Užitečná transformace T je

${ displaystyle X = { frac {1} {2}} doleva [ doleva ({ frac {T} { beta}} doprava) ^ {0,5} - doleva ({ frac {T} { beta}} vpravo) ^ {- 0,5} vpravo]}$.

Ekvivalentně

${ displaystyle T = beta left (1 + 2X ^ {2} + 2X (1 + X ^ {2}) ^ {0,5} right)}$.

X se potom normálně rozdělí se střední hodnotou nula a rozptylem α² / 4.

Funkce hustoty pravděpodobnosti

Obecný vzorec pro funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) je

${ displaystyle f (x) = { frac {{ sqrt { frac {x- mu} { beta}}} + { sqrt { frac { beta} {x- mu}}}} {2 gamma left (x- mu right)}} phi left ({ frac {{ sqrt { frac {x- mu} { beta}}} - { sqrt { frac { beta} {x- mu}}}} { gamma}} right) quad x> mu; gamma, beta> 0}$

kde γ je parametr tvaru, μ je parametr umístění, β je parametr měřítka, a ${ displaystyle phi}$ je funkce hustoty pravděpodobnosti standardní normální rozdělení.

Standardní rozdělení únavové životnosti

Případ, kdy μ = 0 a β = 1 se nazývá standardní rozdělení únavové životnosti. Soubor PDF pro standardní rozdělení únavové životnosti se sníží na

${ displaystyle f (x) = { frac {{ sqrt {x}} + { sqrt { frac {1} {x}}}} {2 gamma x}} phi left ({ frac {{ sqrt {x}} - { sqrt { frac {1} {x}}}} { gamma}} right) quad x> 0; gamma> 0}$

Protože obecnou formu pravděpodobnostních funkcí lze vyjádřit pomocí standardního rozdělení, jsou pro standardní tvar funkce uvedeny všechny následující vzorce.

Funkce kumulativní distribuce

Vzorec pro kumulativní distribuční funkce je

${ displaystyle F (x) = Phi left ({ frac {{ sqrt {x}} - { sqrt { frac {1} {x}}}} { gamma}} right) quad x> 0; gamma> 0}$

kde Φ je kumulativní distribuční funkce standardního normálního rozdělení.

Kvantilní funkce

Vzorec pro kvantilová funkce je

${ displaystyle G (p) = { frac {1} {4}} vlevo [ gamma Phi ^ {- 1} (p) + { sqrt {4+ vlevo ( gamma Phi ^ {- 1} (p) vpravo) ^ {2}}} vpravo] ^ {2}}$

kde Φ ⁻¹ je kvantilová funkce standardního normálního rozdělení.

Reference

• Birnbaum, Z. W.; Saunders, S. C. (1969), „Nová distribuce rodiny života“, Journal of Applied Probability, 6 (2): 319–327, doi:10.2307/3212003, JSTOR  3212003
• Desmond, A.F. (1985), „Stochastické modely selhání v náhodných prostředích“, Canadian Journal of Statistics, 13 (3): 171–183, doi:10.2307/3315148, JSTOR  3315148
• Johnson, N .; Kotz, S .; Balakrishnan, N. (1995), Kontinuální jednorozměrné distribuce, 2 (2. vyd.), New York: Wiley
• Lemonte, A. J .; Cribari-Neto, F .; Vasconcellos, K. L. P. (2007), „Lepší statistická inference pro dvouparametrické rozdělení Birnbaum – Saunders“, Výpočetní statistika a analýza dat, 51: 4656–4681, doi:10.1016 / j.csda.2006.08.016
• Lemonte, A. J .; Simas, A. B .; Cribari-Neto, F. (2008), „Vylepšené odhady založené na bootstrapu pro dvouparametrickou distribuci Birnbaum – Saunders“, Journal of Statistical Computation and Simulation, 78: 37–49, doi:10.1080/10629360600903882
• Cordeiro, G. M .; Lemonte, A. J. (2011), „Distribuce β-Birnbaum – Saunders: Vylepšená distribuce pro modelování únavového života“, Výpočetní statistika a analýza dat, 55 (3): 1445–1461, doi:10.1016 / j.csda.2010.10.007
• Lemonte, A. J. (2013), „Nové rozšíření distribuce Birnbaum – Saunders“, Brazilian Journal of Probability and Statistics, 27 (2): 133–149, doi:10.1214 / 11-BJPS160

externí odkazy

• Rozložení únavového života

Tento článek zahrnujepublic domain materiál z Národní institut pro standardy a technologie webová stránka https://www.nist.gov.