McCullaghova parametrizace Cauchyho distribucí - McCullaghs parametrization of the Cauchy distributions - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, standardní" Cauchyovo rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti jehož funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) je

${ displaystyle f (x) = {1 nad pi (1 + x ^ {2})}}$

pro X nemovitý. To má medián 0, první a třetí kvartil −1, respektive +1. Obecně platí, že Cauchyovo rozdělení je jakékoli rozdělení pravděpodobnosti patřící ke stejné rodina v měřítku polohy jako tento. Pokud tedy X má standardní Cauchyovo rozdělení a μ je jakékoli skutečné číslo a σ > 0, tedy Y = μ + σX má Cauchyovo rozdělení, jehož medián je μ a jehož první a třetí kvartily jsou příslušně μ − σ a μ + σ.

McCullaghova parametrizace, představil Peter McCullagh, profesor statistika na University of Chicago, používá dva parametry nestandardizované distribuce k vytvoření jediného parametru s komplexní hodnotou, konkrétně komplexní číslo θ = μ + iσ, kde i je imaginární jednotka. Také rozšiřuje obvyklý rozsah parametru měřítka σ < 0.

Ačkoli je parametr teoreticky vyjádřen pomocí komplexního čísla, hustota je stále hustotou nad skutečnou čarou. Zejména hustotu lze zapsat pomocí parametrů s reálnou hodnotou μ a σ, které mohou každý nabývat kladných nebo záporných hodnot, jako

${ displaystyle f (x) = {1 nad pi levý vert sigma pravý vert levý (1 + { frac {(x- mu) ^ {2}} { sigma ^ {2 }}}že jo)},,}$

kde je distribuce považována za zvrhlou, pokud σ = 0. Alternativní formulář pro hustotu lze zapsat pomocí komplexního parametru θ = μ + iσ tak jako

${ Displaystyle f (x) = { left vert Im { theta} right vert over pi left vert x- theta right vert ^ {2}} ,,}$

kde ${ displaystyle Im { theta} = sigma}$.

Na otázku „Proč zavádět složitá čísla, když mají pouze skutečnou hodnotu náhodné proměnné jsou zapojeni? “, McCullagh napsal:

Na tuto otázku nemohu dát lepší odpověď, než představit ten zvědavý výsledek

${ displaystyle Y ^ {*} = {aY + b nad cY + d} sim C left ({a theta + b over c theta + d} right)}$

pro všechna reálná čísla A, b, C a d. ... indukovaná transformace v prostoru parametrů má stejnou zlomkovou lineární formu jako transformace v prostoru vzorku, pouze pokud je prostor parametrů považován za komplexní rovinu.

Jinými slovy, pokud je náhodná proměnná Y má Cauchyovo rozdělení s komplexním parametrem θ, pak náhodná proměnná Y ^* definované výše má Cauchyovo rozdělení s parametrem (aθ + b)/(cθ + d).

McCullagh také napsal: „Rozložení prvního výstupního bodu z horní poloroviny a Brownova částice začínající na θ je Cauchyova hustota na reálné linii s parametrem θ"Kromě toho McCullagh ukazuje, že parametrizace s komplexními hodnotami umožňuje vytvořit jednoduchý vztah mezi Cauchyho a„ kruhovým Cauchyovým rozdělením ".

Reference

• Peter McCullagh, „Podmíněná inference a Cauchyovy modely“, Biometrika, svazek 79 (1992), strany 247–259. PDF z domovské stránky McCullagha.