Asymptotická expanze - Asymptotic expansion

v matematika, an asymptotická expanze, asymptotická série nebo Poincaré expanze (po Henri Poincaré ) je formální série funkcí, které mají tu vlastnost, že zkrácení řada po konečném počtu členů poskytuje aproximaci dané funkce, protože argument funkce směřuje k určitému, často nekonečnému bodu. Vyšetřování Dingle (1973) odhalilo, že divergentní část asymptotické expanze je latentně smysluplná, tj. obsahuje informace o přesné hodnotě rozšířené funkce.

Nejběžnějším typem asymptotické expanze je výkonová řada v kladných i záporných silách. Metody generování takových expanzí zahrnují Souhrnný vzorec Euler – Maclaurin a integrální transformace, jako je Laplace a Mellin transformuje. Opakováno integrace po částech často povede k asymptotické expanzi.

Protože a konvergentní Taylor série odpovídá také definici asymptotické expanze, fráze „asymptotická řada“ obvykle znamená a nekonvergentní série. Navzdory nekonvergenci je asymptotická expanze užitečná, když je zkrácena na konečný počet termínů. Aproximace může přinést výhody tím, že je matematicky přijatelnější než rozšířená funkce, nebo zvýšením rychlosti výpočtu rozšířené funkce. Nejlepší aproximace se obvykle udává, když je řada zkrácena na nejmenší člen. Tento způsob optimálního zkrácení asymptotické expanze je známý jako superasymptotika.^[1] Chyba je obvykle typická ~ exp (-C/ ε) kde ε je parametr expanze. Chyba je tedy mimo všechny objednávky v parametru rozšíření. Superasymptotickou chybu je možné vylepšit, např. využitím obnovovacích metod, jako je Borelovo obnovení k divergentnímu ocasu. Takové metody jsou často označovány jako hyperasymptotické aproximace.

Vidět asymptotická analýza a velká O notace pro notaci použitou v tomto článku.

Formální definice

Nejprve definujeme asymptotickou stupnici a poté dáme formální definici asymptotické expanze.

Li ${ displaystyle varphi _ {n}}$ je posloupnost spojité funkce na nějaké doméně, a pokud L je mezní bod domény, pak sekvence tvoří asymptotická stupnice pokud pro každého n,

${ displaystyle varphi _ {n + 1} (x) = o ( varphi _ {n} (x)) (x až L).}$

(L lze považovat za nekonečno.) Jinými slovy, posloupnost funkcí je asymptotická stupnice, pokud každá funkce v posloupnosti roste přísně pomaleji (v limitu ${ displaystyle x do L}$) než předchozí funkce.

Li F je tedy spojitá funkce v doméně asymptotické stupnice F má asymptotickou expanzi řádu N s ohledem na měřítko jako formální sérii

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} varphi _ {n} (x)}$

-li

${ displaystyle f (x) - součet _ {n = 0} ^ {N-1} a_ {n} varphi _ {n} (x) = O ( varphi _ {N} (x)) ( x do L)}$

nebo

${ displaystyle f (x) - součet _ {n = 0} ^ {N-1} a_ {n} varphi _ {n} (x) = o ( varphi _ {N-1} (x)) (x do L).}$

Pokud jeden nebo druhý platí pro všechny N, pak píšeme^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle f (x) sim sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} varphi _ {n} (x) (x až L).}$

Na rozdíl od konvergentní řady pro ${ displaystyle f}$, přičemž řada konverguje k libovolnému pevný ${ displaystyle x}$ v limitu ${ displaystyle N až infty}$, lze asymptotickou řadu považovat za konvergující pro pevný ${ displaystyle N}$ v limitu ${ displaystyle x do L}$ (s ${ displaystyle L}$ možná nekonečný).

Příklady

Grafy absolutní hodnoty zlomkové chyby v asymptotické expanzi funkce gama (vlevo). Vodorovná osa je počet členů v asymptotické expanzi. Modré body jsou pro x = 2 a červené body jsou pro x = 3. Je vidět, že s nejmenší chybou se setkáme, když existuje 14 výrazů pro x = 2 a 20 výrazů pro x = 3, za kterými se chyba odchyluje.

• Funkce gama

${ displaystyle { frac {e ^ {x}} {x ^ {x} { sqrt {2 pi x}}}} gama (x + 1) sim 1 + { frac {1} {12x }} + { frac {1} {288x ^ {2}}} - { frac {139} {51840x ^ {3}}} - cdots (x to infty)}$

• Exponenciální integrál

${ displaystyle xe ^ {x} E_ {1} (x) sim sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ {n }}} (x do infty)}$

• Logaritmický integrál

${ displaystyle operatorname {li} (x) sim { frac {x} { ln x}} součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {k!} {( ln x ) ^ {k}}}}$

• Funkce Riemann zeta

${ displaystyle zeta (s) sim sum _ {n = 1} ^ {N} n ^ {- s} - { frac {N ^ {1-s}} {s-1}} - { frac {N ^ {- s}} {2}} + N ^ {- s} sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2m} s ^ { overline {2m-1 }}} {(2 m)! N ^ {2m-1}}}}$

kde ${ displaystyle B_ {2m}}$ jsou Bernoulliho čísla a ${ displaystyle s ^ { overline {2m-1}}}$ je rostoucí faktoriál. Toto rozšíření platí pro všechny složité s a často se používá k výpočtu funkce zeta pomocí dostatečně velké hodnoty N, například ${ displaystyle N> | s |}$.

• Chybová funkce

${ displaystyle { sqrt { pi}} xe ^ {x ^ {2}} { rm {erfc}} (x) sim 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1 ) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} (x to infty)}$

kde (2n − 1)!! je dvojitý faktoriál.

Pracoval příklad

Asymptotické expanze se často vyskytují, když je obyčejná řada použita ve formálním výrazu, který nutí převzetí hodnot mimo ni doména konvergence. Například lze začít s běžnou sérií

${ displaystyle { frac {1} {1-w}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} w ^ {n}.}$

Výraz vlevo je platný jako celek složité letadlo ${ displaystyle w neq 1}$, zatímco pravá strana konverguje pouze pro ${ displaystyle | w | <1}$. Vynásobením ${ displaystyle e ^ {- w / t}}$ a integrace výnosů obou stran

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- { frac {w} {t}}}} {1-w}} , dw = sum _ {n = 0} ^ { infty} t ^ {n + 1} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- u} u ^ {n} , du,}$

po střídání ${ displaystyle u = w / t}$ na pravé straně. Integrál na levé straně, chápán jako a Hodnota Cauchyho jistiny, lze vyjádřit pomocí exponenciální integrál. Integrál na pravé straně lze rozpoznat jako funkce gama. Vyhodnocením obou získáme asymptotickou expanzi

${ displaystyle e ^ {- { frac {1} {t}}} operatorname {Ei} left ({ frac {1} {t}} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} n! t ^ {n + 1}.}$

Pravá strana zde zjevně není konvergentní pro jakoukoli nenulovou hodnotu t. Zkrácením řady napravo na konečný počet členů však lze získat poměrně dobrou aproximaci hodnoty ${ displaystyle operatorname {Ei} vlevo ({ tfrac {1} {t}} vpravo)}$ pro dostatečně malé t. Střídání ${ displaystyle x = - { tfrac {1} {t}}}$ a všímat si toho ${ displaystyle operatorname {Ei} (x) = - E_ {1} (- x)}$ vede k asymptotické expanzi uvedené dříve v tomto článku.

Vlastnosti

Jedinečnost pro danou asymptotickou stupnici

Pro danou asymptotickou stupnici ${ displaystyle { varphi _ {n} (x) }}$ asymptotická expanze funkce ${ displaystyle f (x)}$ je jedinečný.^[2] To jsou koeficienty ${ displaystyle {a_ {n} }}$ jsou jednoznačně určeny následujícím způsobem:

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {0} & = lim _ {x to L} { frac {f (x)} { varphi _ {0} (x)}} a_ {1 } & = lim _ {x to L} { frac {f (x) -a_ {0} varphi _ {0} (x)} { varphi _ {1} (x)}} & vdots a_ {N} & = lim _ {x to L} { frac {f (x) - sum _ {n = 0} ^ {N-1} a_ {n} varphi _ {n} (x)} { varphi _ {N} (x)}} end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle L}$ je mezním bodem této asymptotické expanze (může být ${ displaystyle pm infty}$).

Nejedinečnost pro danou funkci

Daná funkce ${ displaystyle f (x)}$ může mít mnoho asymptotických expanzí (každá s jinou asymptotickou stupnicí).^[2]

Subdominance

Asymptotická expanze může být asymptotická expanze na více než jednu funkci.^[2]

Viz také

Související pole

• Asymptotická analýza
• Zvláštní narušení

Asymptotické metody

• Watsonovo lemma
• Mellinova transformace
• Laplaceova metoda
• Aproximace stacionární fáze
• Metoda nejstrmějšího klesání

Poznámky

Reference

• Ablowitz, M. J. a Fokas, A. S. (2003). Složité proměnné: úvod a aplikace. Cambridge University Press.
• Bender, C. M. a Orszag, S. A. (2013). Pokročilé matematické metody pro vědce a inženýry I: Asymptotické metody a teorie poruch. Springer Science & Business Media.
• Bleistein, N., Handelsman, R. (1975), Asymptotické expanze integrálů, Dover Publications.
• Carrier, G.F., Krook, M., & Pearson, C.E. (2005). Funkce komplexní proměnné: Teorie a technika. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku.
• Copson, E. T. (1965), Asymptotické expanze, Cambridge University Press.
• Dingle, R. B. (1973), Asymptotické expanze: jejich odvození a interpretace, Akademický tisk.
• Erdélyi, A. (1955), Asymptotické expanze, Dover Publications.
• Fruchard, A., Schäfke, R. (2013), Složené asymptotické expanzeSpringer.
• Hardy, G. H. (1949), Divergentní série, Oxford University Press.
• Olver, F. (1997). Asymptotika a speciální funkce. AK Peters / CRC Press.
• Paris, R. B., Kaminsky, D. (2001), Asymptotika a Mellin-Barnesovy integrály, Cambridge University Press.
• Whittaker, E. T., Watson, G. N. (1963), Kurz moderní analýzy, čtvrté vydání, Cambridge University Press.

externí odkazy

• „Asymptotická expanze“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: Asymptotic Series