Kompoziční údaje - Compositional data - Wikipedia

v statistika, údaje o složení jsou kvantitativní popisy částí nějakého celku, vyjadřující relativní informace. Matematicky jsou kompoziční data reprezentované body na simplexní. Měření zahrnující pravděpodobnosti, proporce, procenta a ppm lze všechny považovat za kompoziční data.

Ternární děj

Ve třech proměnných lze kompoziční data ve třech proměnných vykreslit pomocí ternární pozemky. Použití a barycentrický spiknutí na třech proměnných graficky zobrazuje poměry tří proměnných jako pozice v an rovnostranný trojúhelník.

Zjednodušený ukázkový prostor

Obecně, John Aitchison definoval kompoziční data jako podíly nějakého celku v roce 1982.^[1] Zejména kompoziční datový bod (nebo složení zkráceně) může být reprezentován skutečným vektorem s kladnými složkami. Ukázkový prostor kompozičních dat je simplex:

{ displaystyle { mathcal {S}} ^ {D} = left { mathbf {x} = [x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {D}] in mathbb {R } ^ {D} , left | , x_ {i}> 0, i = 1,2, dots, D; sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} = kappa dobře dobře}. }

Ilustrace Aitchison simplex. Tady jsou 3 části,

{ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}

představují hodnoty různých rozměrů. A, B, C, D a E jsou 5 různých kompozic v simplexu. A, B a C jsou ekvivalentní a D a E jsou ekvivalentní.

Jediná informace je dána poměry mezi složkami, takže informace o kompozici jsou zachovány při násobení jakoukoli pozitivní konstantou. Proto lze ukázkový prostor kompozičních dat vždy považovat za standardní simplex, tj. ${ displaystyle kappa = 1}$ . V této souvislosti se nazývá normalizace na standardní simplex uzavření a je označen ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {C}} [, cdot ,]}$ :

{ displaystyle { mathcal {C}} [x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {D}] = left [{ frac {x_ {1}} { sum _ {i = 1 } ^ {D} x_ {i}}}, { frac {x_ {2}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i}}}, dots, { frac {x_ { D}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i}}} vpravo], }

kde D je počet dílů (komponent) a ${ displaystyle [ cdot]}$ označuje vektor řádku.

Aitchisonova geometrie

Simplexu lze dát strukturu reálného vektorového prostoru několika různými způsoby. Je volána následující struktura vektorového prostoru Aitchisonova geometrie nebo Aitchison simplex a má následující operace:

Porucha

{ displaystyle x oplus y = left [{ frac {x_ {1} y_ {1}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} y_ {i}}}, { frac {x_ {2} y_ {2}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} y_ {i}}}, dots, { frac {x_ {D} y_ {D} } { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} y_ {i}}} right] = C [x_ {1} y_ {1}, ldots, x_ {D} y_ {D} ] qquad všech x, y v S ^ {D}}

Napájení

{ displaystyle alpha odot x = left [{ frac {x_ {1} ^ { alpha}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} ^ { alpha}}} , { frac {x_ {2} ^ { alpha}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} ^ { alpha}}}, ldots, { frac {x_ {D } ^ { alpha}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} ^ { alpha}}} right] = C [x_ {1} ^ { alpha}, ldots, x_ {D} ^ { alpha}] qquad for all x in S ^ {D}, ; alpha in mathbb {R}}

Vnitřní produkt

{ displaystyle langle x, y rangle = { frac {1} {2D}} sum _ {i = 1} ^ {D} sum _ {j = 1} ^ {D} log { frac {x_ {i}} {x_ {j}}} log { frac {y_ {i}} {y_ {j}}} qquad forall x, y in S ^ {D}}

Pouze v rámci těchto operací stačí ukázat, že Aitchison simplex tvoří a ${ displaystyle (D-1)}$ -dimenzionální euklidovský vektorový prostor.

Orthonormální základy

Protože Aitchisonův simplex tvoří konečný rozměrný Hilbertův prostor, je možné v simplexu sestrojit ortonormální základy. Každá skladba ${ displaystyle x}$ lze rozložit následovně

{ displaystyle x = bigoplus _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} ^ {*} odot e_ {i}}

kde ${ displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {D-1}}$ tvoří v simplexu ortonormální základ.^[2] Hodnoty ${ displaystyle x_ {i} ^ {*}, i = 1,2, ldots, D-1}$ jsou (ortonormální a kartézské) souřadnice ${ displaystyle x}$ s ohledem na daný základ. Nazývají se izometrické souřadnice logaritmu ${ displaystyle ( operatorname {ilr})}$ .

Lineární transformace

Existují tři dobře charakterizované izomorfismy které se transformují z Aitchison simplexu do reálného prostoru. Všechny tyto transformace splňují linearitu a jak je uvedeno níže

Aditivní logratio transformace

Transformace aditivního logaritmického poměru (alr) je izomorfismus ${ displaystyle operatorname {alr}: S ^ {D} rightarrow mathbb {R} ^ {D-1}}$ . To je dáno

{ displaystyle operatorname {alr} (x) = left [ log { frac {x_ {1}} {x_ {D}}} cdots log { frac {x_ {D-1}} {x_ {D}}} vpravo]}

Volba složky jmenovatele je libovolná a může to být jakákoli specifikovaná složka. Tato transformace se běžně používá v chemii s měřením, jako je pH. Kromě toho se nejčastěji používá transformace multinomiální logistická regrese. Alr transformace není izometrie, což znamená, že vzdálenosti od transformovaných hodnot nebudou ekvivalentní vzdálenostem na původních kompozicích v simplexu.

Center logratio transformace

Transformace poměru středního logaritmu (clr) je jak izomorfismem, tak izometrií kde ${ displaystyle operatorname {clr}: S ^ {D} rightarrow U, quad U podmnožina mathbb {R} ^ {D}}$

{ displaystyle operatorname {clr} (x) = left [ log { frac {x_ {1}} {g (x)}} cdots log { frac {x_ {D}} {g (x )}}že jo]}

Kde ${ displaystyle g (x)}$ je geometrický průměr ${ displaystyle x}$ . Inverzní funkce je také známá jako funkce softmax běžně používané v neuronových sítích.

Izometrické logratio transformace

Transformace izometrického logaritmického poměru (ilr) je jak izomorfismem, tak izometrií kde ${ displaystyle operatorname {ilr}: S ^ {D} rightarrow mathbb {R} ^ {D-1}}$

{ displaystyle operatorname {ilr} (x) = { big [} langle x, e_ {1} rangle, ldots, langle x, e_ {D-1} rangle { big]}}

Existuje několik způsobů konstrukce ortonormálních základen, včetně použití Gram – Schmidtova ortogonalizace nebo rozklad singulární hodnoty CLR transformovaných dat. Další alternativou je konstrukce logaritmických kontrastů z bifurkujícího stromu. Pokud dostáváme rozdvojující strom, můžeme z vnitřních uzlů ve stromu postavit základ.

Reprezentace stromu z hlediska jeho ortogonálních komponent. l představuje vnitřní uzel, prvek ortonormálního základu. Toto je předchůdce použití stromu jako lešení pro ilr transformaci

Každý vektor v základu by byl určen následovně

{ displaystyle e _ { ell} = C [ exp (, underbrace {0, ldots, 0} _ {k}, underbrace {a, ldots, a} _ {r}, underbrace {b , ldots, b} _ {s}, underbrace {0, ldots, 0} _ {t} ,)]}

Prvky v každém vektoru jsou uvedeny následovně

{ displaystyle a = { frac { sqrt {s}} { sqrt {r (r + s)}}} quad { text {a}} quad b = { frac {- { sqrt { r}}} { sqrt {s (r + s)}}}}

kde ${ displaystyle k, r, s, t}$ jsou příslušné počty špiček v příslušných podstromech zobrazených na obrázku. Je možné ukázat, že výsledný základ je ortonormální^[3]

Jednou základ ${ displaystyle Psi}$ je postaven, ilr transformaci lze vypočítat následujícím způsobem

{ displaystyle operatorname {ilr} (x) = operatorname {clr} (x) Psi ^ {T}}

kde každý prvek v transformovaných datech ilr má následující formu

{ displaystyle b_ {i} = { sqrt { frac {rs} {r + s}}} log { frac {g (x_ {R})} {g (x_ {S})}}}

kde ${ displaystyle x_ {R}}$ a ${ displaystyle x_ {S}}$ jsou množinou hodnot odpovídajících tipům v podstromech ${ displaystyle R}$ a ${ displaystyle S}$

Příklady

v chemie, kompozice lze vyjádřit jako molární koncentrace každé komponenty. Protože není určen součet všech koncentrací, celé složení D části je potřeba, a tedy vyjádřeno jako vektor D molární koncentrace. Tyto kompozice lze převést na hmotnostní procenta vynásobením každé složky příslušnou konstantou.
v demografie, město může být složením datového bodu ve vzorku měst; město, ve kterém 35% lidí jsou křesťané, 55% jsou muslimové, 6% jsou Židé a zbývající 4% jsou ostatní, což odpovídá čtyřnásobku [0,35; 0,55; 0,06; 0,04]. Soubor dat by odpovídal seznamu měst.
v geologie, hornina složená z různých minerálů může být složením datového bodu ve vzorku hornin; hornina, jejíž 10% je první minerál, 30% je druhá a zbývajících 60% je třetí, odpovídá trojnásobku [0,1, 0,3, 0,6]. A soubor dat bude obsahovat jednu takovou trojici pro každou skálu ve vzorku hornin.
v vysoce výkonné sekvenování, získaná data jsou obvykle transformována na relativní množství, což je činí kompozičními.
v pravděpodobnost a statistika, rozdělení vzorkovacího prostoru do nesouvislých událostí je popsáno pravděpodobnostmi přiřazenými těmto událostem. Vektor D pravděpodobnosti lze považovat za složení D části. Jak se přidávají k jedné, lze potlačit jednu pravděpodobnost a složení je zcela určeno.
V průzkum, lze podíl lidí, kteří kladně odpovídají na různé položky, vyjádřit v procentech. Protože celkové množství je identifikováno jako 100, kompoziční vektor D komponenty lze definovat pouze pomocí D - 1 komponenta, za předpokladu, že zbývající komponenta je procento potřebné pro přidání celého vektoru k 100.

Viz také

Poznámky

^ Aitchison, John (1982). "Statistická analýza kompozičních údajů". Journal of the Royal Statistical Society. Řada B (metodická). 44 (2): 139–177. doi:10.1111 / j.2517-6161.1982.tb01195.x.
^ Egozcue a kol.
^ Egozcue & Pawlowsky-Glahn 2005

Reference

Aitchison, J. (2011) [1986], Statistická analýza kompozičních údajů, Monografie o statistice a použité pravděpodobnosti, Springer, ISBN 978-94-010-8324-9
van den Boogaart, K. Gerald; Tolosana-Delgado, Raimon (2013), Analýza kompozičních dat pomocí R. Springer, ISBN 978-3-642-36809-7
Egozcue, Juan Jose; Pawlowsky-Glahn, Vera; Mateu-Figueras, Gloria; Barcelo-Vidal, Carles (2003), „Izometrické logratio transformace pro analýzu kompozičních dat“, Matematická geologie, 35 (3): 279–300, doi:10.1023 / A: 1023818214614, S2CID 122844634
Egozcue, Juan Jose; Pawlowsky-Glahn, Vera (2005), „Skupiny dílů a jejich rovnováhy v analýze kompozičních dat“, Matematická geologie, 37 (7): 795–828, doi:10.1007 / s11004-005-7381-9, S2CID 53061345
Pawlowsky-Glahn, Vera; Egozcue, Juan Jose; Tolosana-Delgado, Raimon (2015), Modelování a analýza kompozičních datWiley, doi:10.1002/9781119003144, ISBN 9781119003144

externí odkazy

CoDaWeb - web s kompozičními daty
Pawlowsky-Glahn, V .; Egozcue, J.J .; Tolosana-Delgado, R. (2007). "Poznámky k přednášce o analýze kompozičních dat". hdl:10256/297. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
Proč a jak by měli geologové používat analýzu kompozičních dat (wikibook)

[1] Aitchison, John (1982). "Statistická analýza kompozičních údajů". Journal of the Royal Statistical Society. Řada B (metodická). 44 (2): 139–177. doi:10.1111 / j.2517-6161.1982.tb01195.x.

[2] Egozcue a kol.

[3] Egozcue & Pawlowsky-Glahn 2005

[1]

[2]

[3]