Je obvyklé vyloučit úvodní člen, tedy β0 Předpokládá se, že 1. Polynomy lze započítat do lineárních faktorů tvaru (Aj + n) a (bk + n), kde je Aj a bk jsou komplexní čísla.
Z historických důvodů se předpokládá, že (1 +n) je faktorem B. Pokud tomu tak již není, pak obojí A a B lze vynásobit tímto faktorem; faktor se zruší, takže podmínky se nezmění a nedojde ke ztrátě obecnosti.
Poměr mezi po sobě následujícími koeficienty má nyní podobu
,
kde C a d jsou hlavní koeficienty A a B. Série pak má podobu
,
nebo změnou měřítka z vhodným faktorem a přeskupením,
který by se dal napsat zA−1E−z2F0(1−A,1;;−z−1). Použití termínu hypergeometrická řada je obvykle omezeno na případ, kdy řada definuje skutečnou analytickou funkci.
Obyčejná hypergeometrická řada by neměla být zaměňována s základní hypergeometrická řada, což je navzdory svému názvu poněkud složitější a opravdovější série. "Základní" série je q-analog běžné hypergeometrické řady. Existuje několik takových zobecnění běžné hypergeometrické řady, včetně těch, které pocházejí z zonální sférické funkce na Riemannovy symetrické prostory.
Série bez faktoru n! ve jmenovateli (sečteno za všechna celá čísla n, včetně záporných) se nazývá dvoustranná hypergeometrická řada.
Podmínky konvergence
Existují určité hodnoty Aj a bk pro které je čitatel nebo jmenovatel koeficientů 0.
Jestli nějaký Aj je kladné celé číslo (0, −1, −2 atd.), pak řada má pouze konečný počet členů a je ve skutečnosti polynom stupně -Aj.
Jestli nějaký bk je kladné celé číslo (s výjimkou předchozího případu s -bk < Aj) pak se jmenovatelé stanou 0 a řada není definována.
S výjimkou těchto případů poměrový test lze použít k určení poloměru konvergence.
Li p < q + 1, potom má poměr koeficientů tendenci k nule. To znamená, že řada konverguje pro jakoukoli konečnou hodnotu z a definuje tak celou funkci z. Příkladem je výkonová řada pro exponenciální funkci.
Li p = q + 1, pak má poměr koeficientů tendenci k jedné. To znamená, že řada konverguje pro |z| <1 a liší se od |z| > 1. Zda konverguje pro |z| = 1 je obtížnější určit. Analytické pokračování lze použít pro větší hodnoty z.
Li p > q + 1 pak poměr koeficientů roste bez omezení. To mimo jiné znamená z = 0, řada se rozchází. Toto je pak divergentní nebo asymptotická řada, nebo ji lze interpretovat jako symbolickou zkratku pro diferenciální rovnici, kterou součet formálně splňuje.
Otázka konvergence pro p=q+1, když z je na jednotce kruh je obtížnější. Je možné ukázat, že řada konverguje absolutně na z = 1 pokud
.
Dále, pokud p=q+1, a z je reálné, pak platí následující výsledek konvergence Quigley a kol. (2013):
.
Základní vlastnosti
Z definice je bezprostřední, že pořadí parametrů Aj, nebo pořadí parametrů bk lze změnit beze změny hodnoty funkce. Také pokud existuje některý z parametrů Aj se rovná kterémukoli z parametrů bk, pak lze odpovídající parametry „zrušit“, s určitými výjimkami, když jsou parametry kladná celá čísla. Například,
.
Toto zrušení je speciální případ redukčního vzorce, který lze použít, kdykoli se parametr v horním řádku liší od parametru v dolním řádku nezáporným celým číslem.[1]
Eulerova integrální transformace
Následující základní identita je velmi užitečná, protože souvisí s hypergeometrickými funkcemi vyššího řádu z hlediska integrálů nad těmi nižšího řádu[2]
Diferenciace
Zobecněná hypergeometrická funkce vyhovuje
Jejich kombinací získáme diferenciální rovnici splněnou w = pFq:
.
Souvislá funkce a související identity
Vezměte následující operátor:
Z výše uvedených diferenciačních vzorců se lineární prostor překlenul o
obsahuje každý z
Protože prostor má rozměr 2, jakékoli tři p+q+2 funkce jsou lineárně závislé. Tyto závislosti lze vypsat a vygenerovat velké množství identit, které se jich týkají .
Podobně platí, že když použijeme diferenciační vzorce dvakrát, existují takové funkce obsažené v
který má rozměr tři, takže jakékoli čtyři jsou lineárně závislé. To generuje více identit a proces může pokračovat. Takto generované identity lze navzájem kombinovat a vytvářet nové jiným způsobem.
Funkce získaná přidáním ± 1 přesně k jednomu z parametrů Aj, bk v
je nazýván souvislý na
Použitím výše uvedené techniky souvisí identita a jeho dvě sousedící funkce mohou být dány, šest identit souvisejících a jakékoli dvě ze svých čtyř sousedících funkcí a patnáct identit souvisejících a byly nalezeny jakékoli dvě z jejích šesti souvislých funkcí. (První byl odvozen v předchozím odstavci. Posledních patnáct dal Gauss ve svém článku z roku 1812.)
V devatenáctém a dvacátém století byla objevena řada dalších identit hypergeometrických funkcí. Příspěvek 20. století k metodice dokazování těchto identit je Egorychevova metoda.
Funkce formuláře jsou nazývány konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu, také písemné . Neúplná funkce gama je zvláštní případ.
Diferenciální rovnice pro tuto funkci je
nebo
Když b není kladné celé číslo, substituce
poskytuje lineárně nezávislé řešení
obecné řešení je
kde k, l jsou konstanty.
Když a je nezáporné celé číslo, -n, je polynom. To jsou až do stálých faktorů Laguerrovy polynomy. Z toho vyplývá Hermitovy polynomy lze vyjádřit pomocí 1F1 také.
Historicky nejdůležitější jsou funkce formuláře . Někdy se jim říká Gaussovy hypergeometrické funkce, klasické standardní hypergeometrické nebo často jednoduše hypergeometrické funkce. Termín Zobecněná hypergeometrická funkce se používá pro funkce pFq pokud existuje nebezpečí záměny. Tuto funkci nejprve podrobně studoval Carl Friedrich Gauss, kteří zkoumali podmínky jeho konvergence.
kde k, l jsou konstanty. Pro jiné hodnoty lze odvodit různá řešení z. Ve skutečnosti existuje 24 řešení, známých jako Kummer řešení, odvoditelná pomocí různých identit, platná v různých oblastech komplexní roviny.
Když A je celé kladné číslo, -n,
je polynom. To jsou až do stálých faktorů a škálování Jacobiho polynomy. Několik dalších tříd ortogonálních polynomů, až po konstantní faktory, jsou speciální případy Jacobiho polynomů, takže je lze vyjádřit pomocí 2F1 také. To zahrnuje Legendární polynomy a Čebyševovy polynomy.
Pomocí hypergeometrické funkce lze vyjádřit širokou škálu integrálů základních funkcí, např .:
Během dvacátého století to byla plodná oblast kombinatorické matematiky s četnými vazbami na jiné obory. Existuje řada nových definic obecné hypergeometrické funkce, od Aomota, Izrael Gelfand a další; a aplikace například na kombinatoriku uspořádání řady hyperplanes v komplexu N-prostor (viz uspořádání hyperplánů ).
Speciální hypergeometrické funkce se vyskytují jako zonální sférické funkce na Riemannovy symetrické prostory a částečně jednoduché Lež skupiny. Jejich význam a roli lze pochopit na následujícím příkladu: hypergeometrická řada 2F1 má Legendární polynomy jako zvláštní případ a pokud se uvažuje ve formě sférické harmonické, tyto polynomy odrážejí v určitém smyslu symetrické vlastnosti dvou koulí nebo ekvivalentně rotace dané Lieovou skupinou SO (3). V rozkladu tenzorových produktů konkrétních reprezentací této skupiny Clebsch – Gordanovy koeficienty jsou splněny, což lze zapsat jako 3F2 hypergeometrická řada.
Funkce Fox – Wright jsou zobecněním zobecněných hypergeometrických funkcí, kde jsou symboly Pochhammer ve výrazu řady zobecněny na gama funkce lineárních výrazů v indexu n.
Poznámky
^Prudnikov, A. P .; Brychkov, Yu. A.; Marichev, O. I. (1990). Integrals & Series Volume 3: More Special Functions. Gordon a Breach. str. 439.
Andrews, George E .; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999). Speciální funkce. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 71. Cambridge University Press. ISBN978-0-521-78988-2. PAN1688958.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Bailey, W.N. (1935). Zobecněná hypergeometrická řada. Cambridge Tracts v matematice a matematické fyzice. 32. London: Cambridge University Press. Zbl0011.02303.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955). Vyšší transcendentální funkce. Sv. III. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-Londýn. PAN0066496.
Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Základní hypergeometrická řada. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 96 (2. vyd.). Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN978-0-521-83357-8. PAN2128719. Zbl1129.33005.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (první vydání má ISBN 0-521-35049-2)
Grinshpan, A. Z. (2013), „Generalized hypergeometric functions: product identities and weighted norm inequalities“, Deník Ramanujan, 31 (1–2): 53–66, doi:10.1007 / s11139-013-9487-x, S2CID121054930
Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonická analýza a speciální funkce na symetrických prostorech. San Diego: Academic Press. ISBN978-0-12-336170-7.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (část 1 zachází s hypergeometrickými funkcemi na Lieových skupinách)
Lavoie, J.L .; Grondin, F .; Rathie, A.K .; Arora, K. (1994). "Zobecnění Dixonovy věty o součtu 3F2". Matematika. Comp. 62 (205): 267–276. doi:10.2307/2153407. JSTOR2153407.
Saalschütz, L. (1890). "Eine Summationsformel". Zeitschrift für Mathematik und Physik (v němčině). 35: 186–188. JFM22.0262.03.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Slater, Lucy Joan (1966). Zobecněné hypergeometrické funkce. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN978-0-521-06483-5. PAN0201688. Zbl0135.28101.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (existuje brožovaná brožura z roku 2008 s ISBN 978-0-521-09061-2)