Zobecněná distribuce beta verze - Generalized beta distribution

tento článek příliš spoléhá na Reference na primární zdroje. Vylepšete to přidáním sekundární nebo terciární zdroje. (duben 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v pravděpodobnost a statistika, zobecněná beta distribuce^[1] je spojité rozdělení pravděpodobnosti s pěti parametry, včetně více než třiceti pojmenovaných distribucí jako omezující nebo speciální případy. Používá se při modelování rozdělení příjmů, návratnost akcií, stejně jako v regresní analýza. The exponenciální generalizované rozdělení beta (EGB) vyplývá přímo z GB a zobecňuje další běžné distribuce.

Definice

Zobecněná beta náhodná proměnná, Y, je definována následující funkcí hustoty pravděpodobnosti:

${ displaystyle GB (y; a, b, c, p, q) = { frac {| a | y ^ {ap-1} (1- (1-c) (y / b) ^ {a}) ^ {q-1}} {b ^ {ap} B (p, q) (1 + c (y / b) ^ {a}) ^ {p + q}}} quad quad { text {pro }} 0$

a jinak nula. Zde parametry splňují ${ displaystyle 0 leq c leq 1}$ a ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle p}$, a ${ displaystyle q}$ pozitivní. Funkce B(p, q) je funkce beta.

GB distribuční strom

Vlastnosti

Okamžiky

Je možné ukázat, že hČtvrtý okamžik lze vyjádřit následovně:

${ displaystyle operatorname {E} _ {GB} (Y ^ {h}) = { frac {b ^ {h} B (p + h / a, q)} {B (p, q)}} { } _ {2} F_ {1} { begin {bmatrix} p + h / a, h / a; c p + q + h / a; end {bmatrix}},}$

kde ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$ označuje hypergeometrická řada (což konverguje pro všechny h -li C<1, nebo pro všechny h/A<q -li C=1 ).

Související distribuce

Zobecněná beta zahrnuje mnoho distribucí jako omezující nebo speciální případy. Ty jsou zobrazeny ve stromu distribuce GB zobrazeném výše. Níže jsou uvedeny jeho tři přímí potomci nebo podskupiny.

Zobecněná beta verze prvního druhu (GB1)

Zobecněná beta verze prvního druhu je definována v následujícím pdf:

${ displaystyle GB1 (y; a, b, p, q) = { frac {| a | y ^ {ap-1} (1- (y / b) ^ {a}) ^ {q-1}} {b ^ {ap} B (p, q)}}}$

pro ${ displaystyle 0$ kde ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle p}$, a ${ displaystyle q}$ jsou pozitivní. Je to snadno ověřitelné

${ Displaystyle GB1 (y; a, b, p, q) = GB (y; a, b, c = 0, p, q).}$

Okamžiky GB1 jsou dány

${ displaystyle operatorname {E} _ {GB1} (Y ^ {h}) = { frac {b ^ {h} B (p + h / a, q)} {B (p, q)}}. }$

GB1 zahrnuje beta prvního druhu (B1), zobecněná gama (GG) a Pareto jako speciální případy:

${ Displaystyle B1 (y; b, p, q) = GB1 (y; a = 1, b, p, q),}$

${ displaystyle GG (y; a, beta, p) = lim _ {q to infty} GB1 (y; a, b = q ^ {1 / a} beta, p, q),}$

${ displaystyle PARETO (y; b, p) = GB1 (y; a = -1, b, p, q = 1).}$

Zobecněná beta verze druhého druhu (GB2)

GB2 je definován v následujícím pdf:

${ displaystyle GB2 (y; a, b, p, q) = { frac {| a | y ^ {ap-1}} {b ^ {ap} B (p, q) (1+ (y / b ) ^ {a}) ^ {p + q}}}}$

pro ${ displaystyle 0$ a jinak nula. Lze to ověřit

${ Displaystyle GB2 (y; a, b, p, q) = GB (y; a, b, c = 1, p, q).}$

Okamžiky GB2 jsou dány

${ displaystyle operatorname {E} _ {GB2} (Y ^ {h}) = { frac {b ^ {h} B (p + h / a, qh / a)} {B (p, q)} }.}$

GB2 je také známý jako Zobecněná beta verze (Patil, Boswell, Ratnaparkhi (1984))^[2], transformovaná beta (Venter, 1983),^[3] zobecněný F (Kalfleisch a Prentice, 1980),^[4] a je to zvláštní případ (μ≡0) Feller-Pareto (Arnold, 1983)^[5] rozdělení. GB2 hnízdí běžné distribuce, jako je zobecněná gama (GG), Burr typ 3, Burr typ 12, Dagum, lognormální, Weibulle, gama, Lomax, F statistika, Fisk nebo Rayleigh, chi-square, napůl normální, napůl studentský t, exponenciální, asymetrický log-Laplace, log-Laplace, funkce napájení a log-logistické.^[6]

Beta

The beta distribuce (B) je definováno:^[1]

${ displaystyle B (y; b, c, p, q) = { frac {y ^ {p-1} (1- (1-c) (y / b)) ^ {q-1}} {b ^ {p} B (p, q) (1 + c (y / b)) ^ {p + q}}}}$

pro ${ displaystyle 0$ a jinak nula. Jeho vztah k GB je uveden níže:

${ Displaystyle B (y; b, c, p, q) = GB (y; a = 1, b, c, p, q).}$

Rodina beta zahrnuje beta prvního a druhého druhu^[7] (B1 a B2, kde se B2 také označuje jako Beta prime ), které odpovídají C = 0 a C = 1, v uvedeném pořadí.

Zobecněná gama

The zobecněná distribuce gama (GG) je limitujícím případem GB2. Jeho PDF je definováno:^[8]

${ displaystyle GG (y; a, beta, p) = lim _ {q rightarrow infty} GB2 (y, a, b = q ^ {1 / a} beta, p, q) = { frac {| a | y ^ {ap-1} e ^ {- (y / beta) ^ {a}}} { beta ^ {ap} Gamma (p)}}}$

s ${ displaystyle h}$ty okamžiky dané

${ displaystyle operatorname {E} (Y_ {GG} ^ {h}) = { frac { beta ^ {h} gama (p + h / a)} { gama (p)}}.}$

Jak již bylo uvedeno dříve, rodokmen GB distribučního vizuálu vizuálně zobrazuje zvláštní a omezující případy (viz McDonald a Xu (1995)).

Pareto

Paretova (PA) distribuce je následující limitující případ generalizovaného gama:

${ displaystyle PA (y; beta, theta) = lim _ {a rightarrow - infty} GG (y; a, beta, p = - theta / a) = lim _ {a rightarrow - infty} left ({ frac { theta y ^ {- theta -1} e ^ {- (y / beta) ^ {a}}} { beta ^ {- theta} (- theta / a) Gamma (- theta / a)}} vpravo) =}$

${ displaystyle lim _ {a rightarrow - infty} left ({ frac { theta y ^ {- theta -1} e ^ {- (y / beta) ^ {a}}} { beta ^ {- theta} Gamma (1- theta / a)}} right) = { frac { theta y ^ {- theta -1}} { beta ^ {- theta}}} }$ pro ${ displaystyle beta$ a ${ displaystyle 0}$ v opačném případě.

Napájení

Distribuce energie (P) je následující limitující případ zobecněné gama:

${ Displaystyle P (y; beta, theta) = lim _ {a rightarrow infty} GG (y; a = theta / p, beta, p) = lim _ {a rightarrow infty } { frac { mid { frac { theta} {p}} | y ^ { theta -1} e ^ {- (y / beta) ^ {a}}} { beta ^ { theta } Gamma (p)}} = lim _ {a rightarrow infty} { frac { theta y ^ { theta -1}} {p Gamma (p) beta ^ { theta}}} e ^ {- (y / beta) ^ {a}} =}$

${ displaystyle lim _ {a rightarrow infty} { frac { theta y ^ { theta -1}} { Gamma (p + 1) beta ^ { theta}}} e ^ {- ( y / beta) ^ {a}} = lim _ {a rightarrow infty} { frac { theta y ^ { theta -1}} { Gamma ({ frac { theta} {a} } +1) beta ^ { theta}}} e ^ {- (y / beta) ^ {a}} = { frac { theta y ^ { theta -1}} { beta ^ { theta}}},}$

což odpovídá distribuci výkonové funkce pro ${ displaystyle 0 leq y leq beta}$ a ${ displaystyle theta> 0}$.

Asymetrický Log-Laplace

Asymetrická log-Laplaceova distribuce (označovaná také jako dvojitá Paretova distribuce ^[9]) je definován:^[10]

${ displaystyle ALL (y; b, lambda _ {1}, lambda _ {2}) = lim _ {a rightarrow infty} GB2 (y; a, b, p = lambda _ {1} / a, q = lambda _ {2} / a) = { frac { lambda _ {1} lambda _ {2}} {y ( lambda _ {1} + lambda _ {2})} } { begin {cases} ({ frac {y} {b}}) ^ { lambda _ {1}} & { mbox {for}} 0$

Kde ${ displaystyle h}$ty okamžiky jsou dány

${ displaystyle operatorname {E} (Y_ {ALL} ^ {h}) = { frac {b ^ {h} lambda _ {1} lambda _ {2}} {( lambda _ {1} + h) ( lambda _ {2} -h)}}.}$

Když ${ displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2}}$, to je ekvivalentní s log-Laplaceova distribuce.

Exponenciální generalizovaná beta distribuce

Pronájem ${ displaystyle Y sim GB (y; a, b, c, p, q)}$, náhodná proměnná ${ displaystyle Z = ln (Y)}$, s opětovnou parametrizací, je distribuován jako exponenciální generalizovaná beta (EGB) s následujícím pdf:

${ Displaystyle EGB (z; delta, sigma, c, p, q) = { frac {e ^ {p (z- delta) / sigma} (1- (1-c) e ^ {( z- delta) / sigma}) ^ {q-1}} {| sigma | B (p, q) (1 + ce ^ {(z- delta) / sigma}) ^ {p + q }}}}$

pro ${ displaystyle - infty <{ frac {z- delta} { sigma}} < ln ({ frac {1} {1-c}})}$Jinak nula. EGB zahrnuje zobecnění Gompertz, Gumbell, extrémní hodnota typu I, logistické, Burr-2, exponenciální, a normální distribuce.

Zahrnuto je číslo ukazující vztah mezi EGB a jeho zvláštními a omezujícími případy.^[11]

Rodina distribucí EGB

Funkce generování momentů

Použitím podobné notace jako výše je funkce generující momenty EGB lze vyjádřit takto:

${ displaystyle M_ {EGB} (Z) = { frac {e ^ { delta t} B (p + t sigma, q)} {B (p, q)}} {} _ {2} F_ { 1} { begin {bmatrix} p + t sigma, t sigma; c p + q + t sigma; end {bmatrix}}.}$

Vícerozměrná generalizovaná beta distribuce

Vícerozměrné zobecněné beta pdf rozšiřuje výše uvedené jednorozměrné distribuce. Pro ${ displaystyle n}$ proměnné ${ displaystyle y = (y_ {1}, ..., y_ {n})}$, definovat ${ displaystyle 1xn}$ vektory parametrů podle ${ displaystyle a = (a_ {1}, ..., a_ {n})}$, ${ displaystyle b = (b_ {1}, ..., b_ {n})}$, ${ displaystyle c = (c_ {1}, ..., c_ {n})}$, a ${ displaystyle p = (p_ {1}, ..., p_ {n})}$ kde každý ${ displaystyle b_ {i}}$ a ${ displaystyle p_ {i}}$ je pozitivní a ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle leq}$ ${ displaystyle c_ {i}}$ ${ displaystyle leq}$ ${ displaystyle 1}$. Parametr ${ displaystyle q}$ se považuje za pozitivní a definuje funkci ${ displaystyle B (p_ {1}, ..., p_ {n}, q)}$ = ${ displaystyle { frac { Gamma (p_ {1}) ... Gamma (p_ {n}) Gamma (q)} { Gamma ({ bar {p}} + q)}}}$ pro ${ displaystyle { bar {p}}}$ = ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i}}$.

PDF multivariační zobecněné beta verze (${ displaystyle MGB}$) lze psát následovně:

${ displaystyle MGB (y; a, b, p, q, c) = { frac {( prod _ {i = 1} ^ {n} | a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i } p_ {i} -1}) (1- sum _ {i = 1} ^ {n} (1-c_ {i}) ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}) ^ {q-1}} {( prod _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}}) B (p_ {1 }, ..., p_ {n}, q) (1+ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}) ^ {{ bar {p}} + q}}}}$

kde ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} (1-c_ {i}) ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle 1}$ pro ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle leq}$ ${ displaystyle c_ {i}}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle 1}$ a ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle y_ {i}}$ když ${ displaystyle c_ {i}}$ = ${ displaystyle 1}$.

Stejně jako univariate generalizovaná beta distribuce zahrnuje i multivariate generalized beta několik distribucí ve své rodině jako speciální případy. Uložením určitých omezení na vektory parametrů lze snadno odvodit následující distribuce.^[12]

Multivariační zobecněná beta verze prvního druhu (MGB1)

Když každý ${ displaystyle c_ {i}}$ je rovno 0, funkce MGB zjednodušuje vícerozměrnou generalizovanou beta prvního druhu (MGB1), která je definována:

${ displaystyle MGB1 (y; a, b, p, q) = { frac {( prod _ {i = 1} ^ {n} | a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i} -1}) (1- sum _ {i = 1} ^ {n} ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}) ^ { q-1}} {( prod _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}}) B (p_ {1}, ..., p_ {n} , q)}}}$

kde ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle 1}$.

Vícerozměrná generalizovaná beta verze druhého druhu (MGB2)

V případě, že každý ${ displaystyle c_ {i}}$ je rovno 1, MGB zjednodušuje na vícerozměrnou generalizovanou beta verzi druhého druhu (MGB2), s níže definovaným pdf:

${ displaystyle MGB2 (y; a, b, p, q) = { frac {( prod _ {i = 1} ^ {n} | a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i} -1})} {( prod _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}}) B (p_ {1}, ..., p_ {n}, q) (1+ sum _ {i = 1} ^ {n} ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}) ^ {{ bar {p}} + q}}}}$

když ${ displaystyle 0}$ ${ displaystyle <}$ ${ displaystyle y_ {i}}$ pro všechny ${ displaystyle y_ {i}}$.

Vícerozměrné generalizované gama

Vícerozměrné zobecněné gama (MGG) pdf lze odvodit z MGB pdf nahrazením ${ displaystyle b_ {i}}$ = ${ displaystyle beta _ {i} q ^ { frac {1} {a_ {i}}}}$ a brát limit jako ${ displaystyle q}$ ${ displaystyle to}$ ${ displaystyle infty}$, se Stirlingovou aproximací pro funkci gama, čímž se získá následující funkce:

${ displaystyle MGG (y; a, beta, p) = ({ frac {( prod _ {i = 1} ^ {n} | a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i} -1})} {( prod _ {i = 1} ^ {n} beta _ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}}) Gamma (p_ {i})}} ) e ^ {- sum _ {i = 1} ^ {n} ({ frac {y_ {i}} { beta _ {i}}}) ^ {a_ {i}}} = prod _ { i = 1} ^ {n} GG (y_ {i}; a_ {i}, beta _ {i}, p_ {i})}$

což je produkt nezávisle, ale ne nutně identicky distribuovaných zobecněných gama náhodných proměnných.

Další vícerozměrné distribuce

Podobné soubory PDF lze zkonstruovat pro jiné proměnné v rodokmenu, jak je uvedeno výše, jednoduše umístěním písmene M před každý název souboru PDF a nalezením vhodných omezení a zvláštních případů MGB, jak je naznačeno omezeními a limity jednorozměrné distribuce. Mezi další vícerozměrné soubory PDF v literatuře patří Dirichletova distribuce (standardní formulář) daný ${ displaystyle MGB1 (y; a = 1, b = 1, p, q)}$, multivariační obrácená beta verze a obrácený Dirichlet (Dirichletův typ 2) rozdělení dané ${ displaystyle MGB2 (y; a = 1, b = 1, p, q)}$a mnohorozměrné Burrovo rozdělení dané ${ displaystyle MGB2 (y; a, b, p, q = 1)}$.

Funkce mezní hustoty

Funkce mezní hustoty MGB1 a MGB2 jsou zobecněné distribuce beta prvního a druhého druhu a jsou uvedeny následovně:

${ displaystyle GB1 (y_ {i}; a_ {i}, b_ {i}, p_ {i}, { bar {p}} - p_ {i} + q) = { frac {| a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i} -1} (1 - ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}}}) ^ {a_ {i}}) ^ {{ bar {p}} - p_ {i} + q-1}} {b_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}} B (p_ {i}, { bar {p}} - p_ { i} + q)}}}$

${ displaystyle GB2 (y_ {i}; a_ {i}, b_ {i}, p_ {i}, q) = { frac {| a_ {i} | y_ {i} ^ {a_ {i} p_ { i} -1}} {b_ {i} ^ {a_ {i} p_ {i}} B (p_ {i}, q) (1 + ({ frac {y_ {i}} {b_ {i}} }) ^ {a_ {i}}) ^ {p_ {i} + q}}}}$

Aplikace

Flexibilita poskytovaná rodinou GB se používá při modelování distribuce:

• rozdělení příjmů
• nebezpečné funkce
• výnosy z akcií
• pojistné ztráty

Aplikace zahrnující členy rodiny EGB zahrnují:^[1][6]

• částečně adaptivní odhad regresních modelů
• modely časových řad
• (G) modely ARCH

Rozdělení příjmu

GB2 a několik jejích zvláštních a omezujících případů byly široce používány jako modely pro rozdělování příjmů. Pro některé rané příklady viz Thurow (1970),^[13] Dagum (1977),^[14] Singh a Maddala (1976),^[15] a McDonald (1984).^[6]S těmito distribucemi lze snadno provádět odhady maximální pravděpodobnosti pomocí individuálních, seskupených nebo nejlépe kódovaných dat.

Opatření nerovnosti, jako např Giniho index (G), index Pietra (P) a Theilův index (T) lze vyjádřit z hlediska distribučních parametrů, jak uvádí McDonald and Ransom (2008):^[16]

${ displaystyle { begin {aligned} G = left ({ frac {1} {2 mu}} right) operatorname {E} (| YX |) = left (P { frac {1} {2 mu}} right) int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} | xy | f (x) f (y) , dxdy = 1 { frac { int _ {0} ^ { infty} (1-F (y)) ^ {2} , dy} { int _ {0} ^ { infty} (1-F (y) ) , dy}} P = left ({ frac {1} {2 mu}} right) operatorname {E} (| Y- mu |) = left ({ frac {1 } {2 mu}} vpravo) int _ {0} ^ { infty} | y- mu | f (y) , dy T = operatorname {E} ( ln (Y / mu) ^ {Y / mu}) = int _ {0} ^ { infty} (y / mu) ln (y / mu) f (y) , dy end {zarovnáno}}}$

Nebezpečné funkce

The nebezpečná funkce, h (s), kde f (s) je pdf a F (s) odpovídající cdf, je definován jako

${ displaystyle h (s) = { frac {f (s)} {1-F (s)}}}$

Nebezpečné funkce jsou užitečné v mnoha aplikacích, jako je modelování doby nezaměstnanosti, doby selhání produktů nebo střední délky života. Vezmeme-li konkrétní příklad, pokud s označuje délku života, pak h (s) je míra úmrtí ve věku s, vzhledem k tomu, že jednotlivec žil až do věku s. Tvar rizikové funkce pro údaje o lidské úmrtnosti může vypadat následovně: klesající úmrtnost v prvních měsících života, poté období relativně stálé úmrtnosti a nakonec rostoucí pravděpodobnost úmrtí ve vyšším věku.

Zvláštní případy zobecněná beta distribuce nabízejí větší flexibilitu při modelování tvaru nebezpečných funkcí, které mohou vyžadovat tvary „∪“ nebo „∩“ nebo striktně zvětšovat (označovat I}) nebo zmenšovat (označovat D) řádky. The zobecněná gama je ve tvaru „∪“ pro a> 1 a p <1 / a, ve tvaru „∪“ pro a> 1 a p> 1 / a, ve tvaru I pro a> 1 a p> 1 / a ve tvaru D pro a <1 ap> 1 / a.^[17] To je shrnuto na obrázku níže.^[18][19]

Možné tvary nebezpečných funkcí pomocí zobecněné gama

Reference

Bibliografie

• C. Kleiber a S. Kotz (2003) Statistické distribuce velikosti v ekonomii a pojistně-matematických vědách. New York: Wiley
• Johnson, N.L., S.Kotz a N.Balakrishnan (1994) Kontinuální jednorozměrné distribuce. Sv. 2, Hoboken, NJ: Wiley-Interscience.