P-adická analýza - P-adic analysis

3-adická celá čísla s vybranými odpovídajícími znaky Pontryagin dual skupina

v matematika, p-adická analýza je pobočkou teorie čísel která se zabývá matematická analýza funkcí p-adická čísla.

Teorie numerických funkcí se složitou hodnotou na p-adická čísla jsou součástí teorie místně kompaktní skupiny. Obvyklý význam p-adická analýza je teorie p-adické funkce na zájmových prostorech.

Aplikace p-adická analýza byla hlavně v teorie čísel, kde má významnou roli v diofantická geometrie a diofantická aproximace. Některé aplikace vyžadovaly vývoj p-adic funkční analýza a spektrální teorie. V mnoha ohledech p-adická analýza je méně jemná než klasická analýza, protože ultrametrická nerovnost znamená například konvergenci nekonečná řada z p-adická čísla jsou mnohem jednodušší. Topologické vektorové prostory přes p-adická pole vykazují charakteristické rysy; například aspekty týkající se konvexnost a Hahnova – Banachova věta jsou rozdílní.

Důležité výsledky

Ostrowského věta

Ostrowského teorém, kvůli Alexander Ostrowski (1916), uvádí, že každý netriviální absolutní hodnota na racionální čísla Q je ekvivalentní buď obvyklé skutečné absolutní hodnotě nebo a $p$ -adic absolutní hodnota.^[1]

Mahlerova věta

Mahlerova věta, představil Kurt Mahler,^[2] vyjadřuje spojité p-adické funkce z hlediska polynomů.

V každém pole, jeden má následující výsledek. Nechat

{ displaystyle ( Delta f) (x) = f (x + 1) -f (x)}

být vpřed operátor rozdílu. Pak pro polynomiální funkce F máme Newtonova řada:

{ displaystyle f (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} ( Delta ^ {k} f) (0) {x zvolte k},}

kde

{ displaystyle {x zvolit k} = { frac {x (x-1) (x-2) cdots (x-k + 1)} {k!}}}

je kpolynomiální koeficient binomického koeficientu.

Přes pole reálných čísel je předpoklad, že funkce F je polynom, může být oslaben, ale nemůže být oslaben až na pouhý kontinuita.

Mahler dokázal následující výsledek:

Mahlerova věta: Pokud F je spojitý p-adic -hodnotící funkce na p-adická celá čísla, pak platí stejná identita.

Henselův lemma

Henselův lemma, také známý jako Henselův zvedací lemma, pojmenovaný po něm Kurt Hensel, je výsledkem v modulární aritmetika s tím, že pokud a polynomiální rovnice má jednoduchý kořen modulo a prvočíslo $p$ , pak tento kořen odpovídá jedinečnému kořenu stejné rovnice modulo jakékoli vyšší moci $p$ , který lze iterativně najít "zdvihání "řešení modulo po sobě jdoucích pravomocí $p$ . Obecněji se používá jako obecný název pro analogy pro kompletní komutativní prsteny (počítaje v to p-adická pole zejména) Newtonova metoda pro řešení rovnic. Od té doby p-adická analýza je v některých ohledech jednodušší než skutečná analýza, existují relativně snadná kritéria zaručující kořen polynomu.

Chcete-li uvést výsledek, dovolte ${ displaystyle f (x)}$ být polynomiální s celé číslo (nebo p-adic integer) koeficienty, a let m,k být kladná celá čísla taková m ≤ k. Li r je celé číslo takové, že

{ displaystyle f (r) equiv 0 { pmod {p ^ {k}}}}

a

{ displaystyle f '(r) ne equiv 0 { pmod {p}}}

pak existuje celé číslo s takhle

{ displaystyle f (s) equiv 0 { pmod {p ^ {k + m}}}}

a

{ displaystyle r equiv s { pmod {p ^ {k}}}.}

Kromě toho s je unikátní modulo p^{k+ m}, a lze jej explicitně vypočítat jako

{ displaystyle s = r + tp ^ {k}}

kde

{ displaystyle t = - { frac {f (r)} {p ^ {k}}} cdot (f '(r) ^ {- 1}).}

Aplikace

P-adická kvantová mechanika

P-adická kvantová mechanika je relativně nedávný přístup k pochopení podstaty základní fyziky. Jedná se o aplikaci p-adické analýzy na kvantová mechanika. The p-adic čísla jsou intuitivní aritmetický systém (ale geometricky neintuitivní), který objevil německý matematik Kurt Hensel asi v roce 1899 a německý matematik Ernst Kummer (1810-1893) dříve v elementární formě. Úzce související adeles a ideles byly zavedeny ve 30. letech 20. století Claude Chevalley a André Weil. Jejich studium se nyní proměnilo v hlavní obor matematiky. Občas byli aplikováni na fyzikální vědy, ale to nebylo až do publikace ruského matematika Volovich v roce 1987 bylo toto téma ve světě fyziky bráno vážně.^[3] Nyní existují stovky výzkumných článků na toto téma,^[4]^[5] spolu s mezinárodními časopisy.

K tématu existují dva hlavní přístupy.^[6]^[7] První uvažuje o částicích v p-adickém potenciálu a cílem je najít řešení s plynule se měnícími vlnovými funkcemi s komplexními hodnotami. Zde je řešením mít určitou míru známosti z běžného života. Druhý zvažuje částice v jamkách potenciálu p-adic a cílem je najít vlnové funkce s hodnotami p-adic. V tomto případě je fyzická interpretace obtížnější. Přesto matematika často vykazuje nápadné vlastnosti, proto ji lidé neustále zkoumají. Situaci shrnul v roce 2005 jeden vědec takto: „Nemohu si to všechno představit jako sled zábavných nehod a zavrhnout to jako„ model hračky “. Myslím, že je zapotřebí více práce a je to užitečné.“^[8]

Místní – globální princip

Helmut Hasse Místní-globální princip, známý také jako Hasseův princip, je myšlenka, kterou lze najít celočíselné řešení rovnice pomocí Čínská věta o zbytku dát dohromady řešení modulo pravomoci každého jiného prvočíslo. Toto je řešeno zkoumáním rovnice v dokončení z racionální čísla: reálná čísla a p-adická čísla. Formálnější verze Hasseova principu uvádí, že určité typy rovnic mají racionální řešení kdyby a jen kdyby mají řešení v reálná čísla a v p-adická čísla pro každé prvočíslo p.

Viz také

Reference

^ Koblitz, Neal (1984). P-adická čísla, p-adická analýza a zeta funkce (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. str. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Citováno 24. srpna 2012. Věta 1 (Ostrowski). Každá netriviální norma ‖ ‖ na ℚ je ekvivalentní s $| | p$ pro některé prime $p$ nebo pro $p = \infty$ .
^ Mahler, K. (1958), "Interpolační řada pro spojité funkce proměnné p-adic", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 199: 23–34, ISSN 0075-4102, PAN 0095821
^ I.V. Volovič, Teorie čísel jako konečná teorie, Předtisk CERN, CERN-TH.4791 / 87
^ V. S. Vladimirov, I.V. Volovich a E.I. Zelenov P-adická analýza a matematická fyzika, (World Scientific, Singapore 1994)
^ L. Brekke a P. G. O. Freund, P-adická čísla ve fyzice, Phys. Rep. 233, 1-66(1993)
^ Dragovich, Branko (2007). "Adeles v matematické fyzice". arXiv:0707.3876. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Djordjević, G. S .; Dragovich, B. (2000). "P-Adic a adelický harmonický oscilátor s časově závislou frekvencí". Teoretická a matematická fyzika. 124 (2): 3. arXiv:quant-ph / 0005027. Bibcode:2000TMP ... 124.1059D. doi:10.1007 / BF02551077. S2CID 14281188.
^ Freund, Peter G. O. (2006). "P-Adic struny a jejich aplikace". Sborník konferencí AIP. 826. str. 65–73. arXiv:hep-th / 0510192. doi:10.1063/1.2193111. S2CID 119086848.

Další čtení

Koblitz, Neal (1980). p-adic analýza: krátký kurz o nedávné práci. Série přednášek London Mathematical Society. 46. Cambridge University Press. ISBN 0-521-28060-5. Zbl 0439.12011.
Cassels, J.W.S. (1986). Místní pole. Studentské texty London Mathematical Society. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
Chistov, Alexander; Karpinski, Marek (1997). „Složitost rozhodování o řešitelnosti polynomiálních rovnic přes p-adická celá čísla“. Univ. Zprávy z Bonnu CS 85183. S2CID 120604553.
Karpinski, Marek; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor (2000). "Nulové testování p-adických a modulárních polynomů". Teoretická informatika. 233 (1–2): 309–317. doi:10.1016 / S0304-3975 (99) 00133-4. (předtisk )
Kurz p-adické analýzy, Alain Robert, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2
Ultrametric Calculus: An Introduction to P-Adic Analysis, W. H. Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2
P-adické diferenciální rovnice, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76879-5

[1] Koblitz, Neal (1984). P-adická čísla, p-adická analýza a zeta funkce (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. str. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Citováno 24. srpna 2012. Věta 1 (Ostrowski). Každá netriviální norma ‖ ‖ na ℚ je ekvivalentní s $| | p$ pro některé prime $p$ nebo pro $p = \infty$ .

[2] Mahler, K. (1958), "Interpolační řada pro spojité funkce proměnné p-adic", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 199: 23–34, ISSN 0075-4102, PAN 0095821

[3] I.V. Volovič, Teorie čísel jako konečná teorie, Předtisk CERN, CERN-TH.4791 / 87

[integral-4] V. S. Vladimirov, I.V. Volovich a E.I. Zelenov P-adická analýza a matematická fyzika, (World Scientific, Singapore 1994)

[r-5] L. Brekke a P. G. O. Freund, P-adická čísla ve fyzice, Phys. Rep. 233, 1-66(1993)

[repeat-6] Dragovich, Branko (2007). "Adeles v matematické fyzice". arXiv:0707.3876. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[7] Djordjević, G. S .; Dragovich, B. (2000). "P-Adic a adelický harmonický oscilátor s časově závislou frekvencí". Teoretická a matematická fyzika. 124 (2): 3. arXiv:quant-ph / 0005027. Bibcode:2000TMP ... 124.1059D. doi:10.1007 / BF02551077. S2CID 14281188.

[freund-8] Freund, Peter G. O. (2006). "P-Adic struny a jejich aplikace". Sborník konferencí AIP. 826. str. 65–73. arXiv:hep-th / 0510192. doi:10.1063/1.2193111. S2CID 119086848.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]