Stiefel potrubí - Stiefel manifold
v matematika, Stiefel potrubí je množina všech ortonormální k-rámce v To znamená, že se jedná o množinu uspořádaných ortonormálních k-tuples of vektory v Je pojmenována po švýcarském matematikovi Eduard Stiefel. Podobně lze definovat komplex Stiefel potrubí ortonormální k-rámce v a kvartérní Stiefel potrubí ortonormální k-rámce v . Obecněji platí, že konstrukce platí pro jakoukoli skutečnou, složitou nebo kvartérní vnitřní produktový prostor.
V některých kontextechkompaktní Stiefelův rozdělovač je definován jako množina všech lineárně nezávislé k-rámce v nebo toto je homotopický ekvivalent, protože kompaktní rozdělovač Stiefel je a zatažení deformace nekompaktní, o Gram – Schmidt. Výroky o nekompaktní formě odpovídají výrokům pro kompaktní formu a nahrazují ortogonální skupinu (nebo jednotnou nebo symlektickou skupinu) výrazem obecná lineární skupina.
Topologie
Nechat stát za nebo Stiefelův rozdělovač lze považovat za sadu n × k matice napsáním a k-rám jako matice k vektory sloupců v Podmínka ortonormality je vyjádřena A*A = kde A* označuje konjugovat transponovat z A a označuje k × k matice identity. Pak máme
The topologie na je topologie podprostoru zdědil od S touto topologií je kompaktní potrubí jehož rozměr je dán
Jako homogenní prostor
Každý ze Stiefelových potrubí lze zobrazit jako homogenní prostor pro akce a klasická skupina přirozeným způsobem.
Každá ortogonální transformace a k-rám v má za následek další k-rám a libovolné dva k-rámce jsou spojeny nějakou ortogonální transformací. Jinými slovy ortogonální skupina Ó(n) jedná přechodně na The podskupina stabilizátorů daného rámce je podskupina izomorfní s O (n−k) který působí netriviálně na ortogonální doplněk prostoru překlenutého tímto rámem.
Podobně jednotná skupina U (n) působí přechodně na se stabilizační podskupinou U (n−k) a symplektická skupina Sp (n) působí přechodně na se stabilizační podskupinou Sp (n−k).
V každém případě lze považovat za homogenní prostor:
Když k = n, odpovídající akce je zdarma, takže Stiefel potrubí je hlavní homogenní prostor pro odpovídající klasickou skupinu.
Když k je přísně menší než n pak speciální ortogonální skupina TAK(n) také působí přechodně na se stabilizační podskupinou isomorfní vůči SO (n−k) aby
Totéž platí pro akci speciální jednotná skupina na
Tak pro k = n - 1, Stiefelův rozdělovač je hlavním homogenním prostorem pro odpovídající speciální klasická skupina.
Jednotná míra
Rozdělovač Stiefel může být vybaven a jednotná míra, tj. a Borelův rozměr to je neměnný v rámci činnosti výše uvedených skupin. Například, který je izomorfní s jednotkovou kružnicí v euklidovské rovině, má jako svou jednotnou míru zjevnou jednotnou míru (délka oblouku ) na kruhu. Je jednoduché toto opatření vyzkoušet pomocí Gaussian náhodné matice: pokud je náhodná matice s nezávislé položky identicky distribuované podle standardní normální rozdělení na a A = QR je QR faktorizace z A, pak matice, jsou nezávislé náhodné proměnné a Q je distribuován podle jednotné míry na Tento výsledek je důsledkem Bartlettova věta o rozkladu.[1]
Speciální případy
1 rámeček není nic jiného než jednotkový vektor, takže Stiefelův potrubí je jen jednotková koule v Proto:
Vzhledem k tomu, 2-frame in nechť první vektor definuje bod v Sn−1 a druhá jednotka tečný vektor do koule v tom bodě. Tímto způsobem Stiefel potrubí lze identifikovat pomocí jednotkový tangenta svazek na Sn−1.
Když k = n nebo n−1 to jsme viděli v předchozí části je hlavní homogenní prostor, a proto difeomorfní do odpovídající klasické skupiny:
Funkčnost
Vzhledem k ortogonální inkluzi mezi vektorovými prostory obrázek souboru k ortonormální vektory jsou orthonormální, takže existuje indukované uzavřené zahrnutí Stiefelových variet, a tohle je funkční. Jemněji, vzhledem k n-dimenzionální vektorový prostor X, dvojí základ konstrukce dává rozpor mezi základnami pro X a základny pro duální prostor který je spojitý, a tak poskytuje homeomorfismus špičkových Stiefelových potrubí Toto je také funktor pro izomorfismy vektorových prostorů.
Jako hlavní balíček
Existuje přirozená projekce
z rozdělovače Stiefel do Grassmannian z k- letadla v který pošle a k-rám do podprostor rozložený tímto rámem. The vlákno přes daný bod P v je množina všech orthonormálních k-rámce obsažené v prostoru P.
Tato projekce má strukturu a ředitel školy G- svazek kde G je přidružená klasická skupina stupňů k. Vezměte skutečný případ pro konkrétnost. Existuje přirozená pravá akce O (k) zapnuto který se otáčí a k-rám v prostoru, který překlenuje. Tato akce je zdarma, ale není přechodná. The oběžné dráhy této akce jsou právě ortonormální k-rámce překlenující daný k-rozměrný podprostor; to znamená, že jsou vlákny mapy str. Podobné argumenty platí ve složitých a kvartérních případech.
Pak máme sekvenci hlavních svazků:
The vektorové svazky spojené k těmto hlavním svazkům přirozeným působením G na jsou jen tautologické svazky nad Grassmannians. Jinými slovy, Stiefelův potrubí je ortogonální, unitární nebo symlektický svazek rámů spojené s tautologickým svazkem na Grassmannianovi.
Když člověk přejde do limit, tyto balíčky se stanou univerzální svazky pro klasické skupiny.
Homotopy
Rozdělovače Stiefel zapadají do rodiny fibrace:
tedy první netriviální homotopická skupina prostoru je v dimenzi n − k. Navíc,
Tento výsledek se používá v obstrukčně-teoretické definici Třídy Stiefel – Whitney.
Viz také
Reference
- ^ Muirhead, Robb J. (1982). Aspekty vícerozměrné statistické teorie. John Wiley & Sons, Inc., New York. str. xix + 673. ISBN 0-471-09442-0.
- Hatcher, Allen (2002). Algebraická topologie. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
- Husemoller, Dale (1994). Svazky vláken ((3. vyd.) Vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94087-1.
- James, Ioan Mackenzie (1976). Topologie Stiefelových potrubí. Archiv CUP. ISBN 978-0-521-21334-9.
- „Stiefel manifold“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]