Whittakerova funkce - Whittaker function

V matematice, a Whittakerova funkce je speciální řešení Whittakerova rovnice, upravená forma konfluentní hypergeometrická rovnice představil Whittaker  (1904 ), aby byly vzorce zahrnující řešení symetrickější. Obecněji, Jacquet  (1966, 1967 ) představil Whittaker funkce z reduktivní skupiny přes místní pole, kde funkce studované Whittakerem jsou v podstatě případem, kdy místní pole jsou reálná čísla a skupina je SL₂(R).

Whittakerova rovnice je

${ displaystyle { frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + left (- { frac {1} {4}} + { frac { kappa} {z}} + { frac {1 / 4- mu ^ {2}} {z ^ {2}}} right) w = 0.}$

Má pravidelný singulární bod v 0 a nepravidelný singulární bod v ∞. Dvě řešení jsou dána Whittakerovy funkce M_{κ, μ}(z), Ž_{κ, μ}(z), definované v pojmech Kummer's konfluentní hypergeometrické funkce M a U podle

${ displaystyle M _ { kappa, mu} doleva (z doprava) = exp doleva (-z / 2 doprava) z ^ { mu + { tfrac {1} {2}}} M vlevo ( mu - kappa + { tfrac {1} {2}}, 1 + 2 mu, z vpravo)}$

${ displaystyle W _ { kappa, mu} doleva (z doprava) = exp doleva (-z / 2 doprava) z ^ { mu + { tfrac {1} {2}}} U vlevo ( mu - kappa + { tfrac {1} {2}}, 1 + 2 mu, z vpravo).}$

Funkce Whittaker ${ displaystyle M _ { kappa, mu} (z)}$ a ${ displaystyle W _ { kappa, mu} (z)}$ jsou stejné jako ty s opačnými hodnotami μjinými slovy považována za funkci μ na pevnou κ a z oni jsou i funkce. Když κ a z jsou skutečné, funkce dávají skutečné hodnoty pro skutečné a imaginární hodnoty μ. Tyto funkce μ hrají roli v tzv Kummerovy prostory.^[1]

Whittakerovy funkce se objevují jako koeficienty určitých reprezentací skupiny SL₂(R), volala Whittakerovy modely.

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 13“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. 504, 537. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253. Viz také kapitola 14.
• Bateman, Harry (1953), Vyšší transcendentální funkce (PDF), 1, McGraw-Hill.
• Brychkov, Yu.A .; Prudnikov, A.P. (2001) [1994], "Whittakerova funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
• Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Whittakerova funkce", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
  • Jacquet, Hervé (1966), „Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 262: A943 – A945, ISSN  0151-0509, PAN  0200390
• Jacquet, Hervé (1967), „Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 95: 243–309, doi:10,24033 / bsmf.1654, ISSN  0037-9484, PAN  0271275
• Rozov, N.Kh. (2001) [1994], "Whittakerova rovnice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
• Slater, Lucy Joan (1960), Soutokové hypergeometrické funkce, Cambridge University Press, PAN  0107026.
• Whittaker, Edmund T. (1904), „Výraz určitých známých funkcí jako zobecněné hypergeometrické funkce“, Bulletin A.M.S.„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, 10 (3): 125–134, doi:10.1090 / S0002-9904-1903-01077-5

Další čtení

• Hatamzadeh-Varmazyar, Saeed; Masouri, Zahra (01.11.2012). „Rychlá numerická metoda pro analýzu jednorozměrného a dvourozměrného elektromagnetického rozptylu pomocí sady základních funkcí“. Inženýrská analýza s hraničními prvky. 36 (11): 1631–1639. doi:10.1016 / j.enganabound.2012.04.014. ISSN  0955-7997.
• Gerasimov, A. A .; Lebedev, Dmitrii R .; Oblezin, Sergei V. (2012). „Nové integrální reprezentace Whittakerových funkcí pro klasické Lieovy skupiny“. Ruské matematické průzkumy. 67 (1): 1–92. arXiv:0705.2886. Bibcode:2012RuMaS..67 ... 1G. doi:10.1070 / RM2012v067n01ABEH004776. ISSN  0036-0279.
• Baudoin, Fabrice; O’Connell, Neil (2011). "Exponenciální funkcionály Brownova pohybu a prvotřídní Whittakerovy funkce". Annales de l'I.H.P. Pravděpodobnosti a statistiky. 47 (4): 1096–1120. Bibcode:2011AIHPB..47.1096B. doi:10.1214 / 10-AIHP401. S2CID  113388.
• McKee, Mark (duben 2009). „Nekonečná funkce Whittaker Order“. Kanadský žurnál matematiky. 61 (2): 373–381. doi:10.4153 / CJM-2009-019-x. ISSN  0008-414X.
• Mathai, A. M .; Pederzoli, Giorgio (01.03.1997). „Některé vlastnosti Laplaceových transformací maticových variací a Whittakerových funkcí maticových variací“. Lineární algebra a její aplikace. 253 (1): 209–226. doi:10.1016/0024-3795(95)00705-9. ISSN  0024-3795.
• Whittaker, J. M. (květen 1927). „Kardinální funkce teorie interpolace“. Sborník Edinburgh Mathematical Society. 1 (1): 41–46. doi:10.1017 / S0013091500007318. ISSN  1464-3839.
• Cherednik, Ivan (2009). „Whittakerovy meze rozdílu sférických funkcí“. Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu. 2009 (20): 3793–3842. arXiv:0807.2155. doi:10.1093 / imrn / rnp065. ISSN  1687-0247. S2CID  6253357.
• Slater, L. J. (říjen 1954). „Rozšíření zobecněných funkcí Whittakeru“. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 50 (4): 628–631. Bibcode:1954PCPS ... 50..628S. doi:10.1017 / S0305004100029765. ISSN  1469-8064.
• Etingof, Pavel (01.01.1999). „Whittaker funguje na kvantových skupinách a operátorech Toda s deformací q“. arXiv:matematika / 9901053.
• McNamara, Peter J. (2011-01-15). „Metaplektické Whittakerovy funkce a krystalové báze“. Duke Mathematical Journal. 156 (1): 1–31. arXiv:0907.2675. doi:10.1215/00127094-2010-064. ISSN  0012-7094. S2CID  979197.
• Mathai, A. M .; Pederzoli, Giorgio (1998-01-15). "Funkce Whittaker argumentu matice". Lineární algebra a její aplikace. 269 (1): 91–103. doi:10.1016 / S0024-3795 (97) 00059-1. ISSN  0024-3795.
• Frenkel, E .; Gaitsgory, D .; Kazhdan, D .; Vilonen, K. (1998). „Geometrická realizace Whittakerových funkcí a Langlandsova domněnka“. Journal of the American Mathematical Society. 11 (2): 451–484. doi:10.1090 / S0894-0347-98-00260-4. ISSN  0894-0347. S2CID  13221400.