Katalánci konstantní - Catalans constant - Wikipedia

v matematika, Katalánská konstanta G, který se objeví v kombinatorika, je definováno

${ displaystyle G = beta (2) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) ^ {2}}} = { frac {1} {1 ^ {2}}} - { frac {1} {3 ^ {2}}} + { frac {1} {5 ^ {2}}} - { frac {1 } {7 ^ {2}}} + { frac {1} {9 ^ {2}}} - cdots}$

kde β je Funkce Dirichlet beta. Jeho číselná hodnota^[1] je přibližně (sekvence A006752 v OEIS )

G = 0.915965594177219015054603514932384110774…

Nevyřešený problém v matematice: Je katalánská konstanta iracionální? Pokud ano, je to transcendentální? (více nevyřešených úloh z matematiky)

Není známo, zda G je iracionální, natož transcendentální.^[2]

Katalánská konstanta byla pojmenována po Eugène Charles Catalan.

Podobná, ale zřejmě složitější série

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) ^ {3}}} = { frac {1} {1 ^ {3}}} - { frac {1} {3 ^ {3}}} + { frac {1} {5 ^ {3}}} - { frac {1} {7 ^ {3}} } + { frac {1} {9 ^ {3}}} - cdots}$

lze přesně vyhodnotit a rovná se π³/32.

Integrované identity

Některé identity zahrnují určité integrály zahrnout

${ displaystyle { begin {aligned} G & = iint _ {[0,1] ^ {2}} ! { frac {1} {1 + x ^ {2} y ^ {2}}} , dx , dy [3pt] G & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1-x} { frac {1} {1-x ^ {2} -y ^ {2}}} , dy , dx [3pt] G & = int _ {1} ^ { infty} { frac { ln t} {1 + t ^ {2}}} dt [3pt] G & = - int _ {0} ^ {1} { frac { ln t} {1 + t ^ {2}}} , dt [3pt] G & = int _ { 0} ^ { frac { pi} {4}} { frac {t} { sin t cos t}} dt [3pt] G & = { frac {1} {4}} int _ {- { frac { pi} {2}}} ^ { frac { pi} {2}} { frac {t} { sin t}} , dt [3pt] G & = int _ {0} ^ { frac { pi} {4}} ln cot t , dt [3pt] G & = - int _ {0} ^ { frac { pi} {4 }} ln tan t , dt [3pt] G & = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} ln left ( sec t + tan t right) , dt [3pt] G & = int _ {0} ^ {1} { frac { arccos t} { sqrt {1 + t ^ {2}}} } , dt [3pt] G & = int _ {0} ^ {1} { frac { operatorname {arsinh} t} { sqrt {1-t ^ {2}}}} dt [3pt] G & = int _ {0} ^ { infty} operatorname {arccot} e ^ {t} , dt [3pt] G & = { frac {1} {4}} int _ {0} ^ { frac { pi ^ {2}} {4}} csc { sqrt {t}} , dt [3pt] G & = { frac {1} {16}} vlevo ( pi ^ {2} +4 int _ {1} ^ { infty} operatorname {arccsc} ^ {2} t , dt right) [3pt] G & = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac {t} { cosh t}} dt [3pt] G & = { frac { pi} { 2}} int _ {1} ^ { infty} { frac { vlevo (t ^ {4} -6t ^ {2} +1 vpravo) ln ln t} { vlevo (1 + t ^ {2} right) ^ {3}}} , dt [3pt] G & = 1 + lim _ { alpha to {1 ^ {-}}} ! Left { int _ {0} ^ { alpha} ! { Frac { left (1 + 6t ^ {2} + t ^ {4} right) arctan {t}} {t left (1-t ^ {2 } right) ^ {2}}} , dt + 2 operatorname {arctanh} { alpha} - { frac { pi alpha} {1- alpha ^ {2}}} right } [3pt] G & = 1 - { frac {1} {8}} iint _ { mathbb {R} ^ {2}} ! ! { Frac {x sin left (2xy / pi right)} {, left (x ^ {2} + pi ^ {2} right) cosh x sinh y ,}} , dxdy end {zarovnáno}}}$

kde poslední tři vzorce souvisí s Malmstenovými integrály.^[3]

Li K (k) je kompletní eliptický integrál prvního druhu, jako funkce eliptického modulu k, pak

${ displaystyle G = { tfrac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} mathrm {K} (k) , dk}$

S funkce gama Γ (X + 1) = X!

${ displaystyle { begin {aligned} G & = { frac { pi} {4}} int _ {0} ^ {1} Gamma left (1 + { frac {x} {2}} vpravo) Gamma vlevo (1 - { frac {x} {2}} vpravo) , dx & = { frac { pi} {2}} int _ {0} ^ { frac {1} {2}} Gamma (1 + y) Gamma (1-y) , dy end {zarovnáno}}}$

Integrál

${ displaystyle G = operatorname {Ti} _ {2} (1) = int _ {0} ^ {1} { frac { arctan t} {t}} , dt}$

je známá speciální funkce zvaná inverzní tangensový integrál, a byl rozsáhle studován Srinivasa Ramanujan.

Použití

G se objeví v kombinatorika, stejně jako v hodnotách druhé funkce polygammy, také nazývaný funkce trigamma, u zlomkových argumentů:

${ displaystyle { begin {aligned} psi _ {1} left ({ tfrac {1} {4}} right) & = pi ^ {2} + 8G psi _ {1} left ({ tfrac {3} {4}} right) & = pi ^ {2} -8G. end {aligned}}}$

Simon Plouffe dává nekonečnou sbírku identit mezi funkcí trigammy, π² a katalánská konstanta; jsou to vyjádřitelné jako cesty v grafu.

v nízkodimenzionální topologie Katalánská konstanta je racionálním násobkem objemu ideální hyperboliky osmistěn, a proto hyperbolický objem doplňku Whitehead odkaz.^[4]

Objevuje se také v souvislosti s hyperbolická sekánová distribuce.

Vztah k dalším zvláštním funkcím

Katalánská konstanta se často vyskytuje ve vztahu k Clausenova funkce, inverzní tangensový integrál, inverzní sinusový integrál, Barnes G-funkce, jakož i integrály a řady shrnutelné z hlediska výše uvedených funkcí.

Jako konkrétní příklad, nejprve vyjádřením inverzní tangensový integrál v uzavřené formě - z hlediska Clausenových funkcí - a poté vyjádření těchto Clausenových funkcí z hlediska Barnes G-funkce, získá se následující výraz (viz Clausenova funkce více):

${ displaystyle G = 4 pi log left ({ frac {G left ({ frac {3} {8}} right) G left ({ frac {7} {8}} right )} {G left ({ frac {1} {8}} right) G left ({ frac {5} {8}} right)}} right) +4 pi log left ({ frac { Gamma left ({ frac {3} {8}} right)} { Gamma left ({ frac {1} {8}} right)}} right) + { frac { pi} {2}} log left ({ frac {1 + { sqrt {2}}} {2 left (2 - { sqrt {2}} right)}} right )}$.

Pokud jeden definuje Lerch transcendentní Φ (z,s,α) (související s Funkce Lerch zeta ) od

${ displaystyle Phi (z, s, alfa) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {(n + alpha) ^ {s}}}, }$

pak

${ displaystyle G = { tfrac {1} {4}} Phi left (-1,2, { tfrac {1} {2}} right).}$

Rychle konvergující série

Následující dva vzorce zahrnují rychle se sbíhající řady a jsou tedy vhodné pro numerický výpočet:

${ displaystyle { begin {aligned} G & = 3 sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {4n}}} left (- { frac {1} { 2 (8n + 2) ^ {2}}} + { frac {1} {2 ^ {2} (8n + 3) ^ {2}}} - { frac {1} {2 ^ {3} ( 8n + 5) ^ {2}}} + { frac {1} {2 ^ {3} (8n + 6) ^ {2}}} - { frac {1} {2 ^ {4} (8n + 7) ^ {2}}} + { frac {1} {2 (8n + 1) ^ {2}}} vpravo) - & qquad -2 sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {12n}}} vlevo ({ frac {1} {2 ^ {4} (8n + 2) ^ {2}}} + { frac {1} { 2 ^ {6} (8n + 3) ^ {2}}} - { frac {1} {2 ^ {9} (8n + 5) ^ {2}}} - { frac {1} {2 ^ {10} (8n + 6) ^ {2}}} - { frac {1} {2 ^ {12} (8n + 7) ^ {2}}} + { frac {1} {2 ^ {3 } (8n + 1) ^ {2}}} vpravo) end {zarovnáno}}}$

a

${ displaystyle G = { frac { pi} {8}} log left (2 + { sqrt {3}} right) + { frac {3} {8}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2n + 1) ^ {2} { binom {2n} {n}}}}.}$

Teoretické základy pro tyto řady dává Broadhurst, pro první vzorec,^[5] a Ramanujan, pro druhý vzorec.^[6] Algoritmy pro rychlé vyhodnocení katalánské konstanty vytvořil E. Karatsuba.^[7][8]

Známé číslice

Počet známých číslic katalánské konstanty G během posledních desetiletí dramaticky vzrostl. To je způsobeno jednak zvýšením výkonu počítačů, jednak vylepšením algoritmů.^[9]

Viz také

• Konkrétní hodnoty funkce Riemann zeta
• Matematická konstanta

Reference

externí odkazy

• Victor Adamchik, 33 reprezentací pro katalánskou konstantu (nedatovaný)
• Adamchik, Victor (2002). „Určitá řada spojená s katalánskou konstantou“. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 21 (3): 1–10. doi:10.4171 / ZAA / 1110. PAN  1929434.
• Plouffe, Simon (1993). „Několik identit (III) s katalánštinou“. (Poskytuje více než sto různých identit).
• Simon Plouffe, Několik identit s katalánskou konstantou a Pi ^ 2, (1999) (Poskytuje grafickou interpretaci vztahů)
• Weisstein, Eric W. "Katalánská konstanta". MathWorld.
• Katalánská konstanta: Zobecněná výkonová řada na webu Wolfram Functions
• Greg Fee, Katalánská konstanta (Ramanujanův vzorec) (1996) (Poskytuje prvních 300 000 číslic katalánské konstanty.).
• Fee, Greg (1990), „Výpočet katalánské konstanty pomocí Ramanujanova vzorce“, Sborník z mezinárodního sympozia o symbolických a algebraických výpočtech - ISSAC '90, Sborník příspěvků z ISSAC '90, s. 157–160, doi:10.1145/96877.96917, ISBN  0201548925, S2CID  1949187
• Bradley, David M. (1999). "Třída vzorců sériového zrychlení pro katalánskou konstantu". Deník Ramanujan. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. doi:10.1023 / A: 1006945407723. PAN  1703281. S2CID  5111792.
• Bradley, David M. (2007). "Třída vzorců sériového zrychlení pro katalánskou konstantu". Deník Ramanujan. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. Bibcode:2007arXiv0706.0356B. doi:10.1023 / A: 1006945407723. S2CID  5111792.
• Bradley, David M. (2001), Reprezentace katalánské konstanty, CiteSeerX  10.1.1.26.1879

• "Katalánská konstanta", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Catalan's Constant - od Wolfram MathWorld
• Katalánská konstanta (Ramanujanův vzorec)
• katalánská konstanta - www.cs.cmu.edu