Gudermannská funkce - Gudermannian function

Graf funkce Gudermannian

The Gudermannská funkce, pojmenoval podle Christoph Gudermann (1798–1852), se týká kruhové funkce a hyperbolické funkce bez výslovného použití komplexní čísla.

Je definován pro všechny X podle^[1][2][3]

${ displaystyle operatorname {gd} x = int _ {0} ^ {x} { frac {1} { cosh t}} , dt.}$

 

Vlastnosti

Alternativní definice

${ displaystyle { begin {zarovnáno} operatorname {gd} x & = arcsin left ( tanh x right) = arctan ( sinh x) = operatorname {arccsc} ( coth x) & = operatorname {sgn} (x) cdot arccos left ( operatorname {sech} x right) = operatorname {sgn} (x) cdot operatorname {arcsec} ( cosh x) & = 2 arctan left [ tanh left ({ tfrac {1} {2}} x right) right] & = 2 arctan (e ^ {x}) - { tfrac {1} {2 }} pi. end {zarovnáno}}}$

Některé identity

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sin ( operatorname {gd} x) = tanh x; quad & csc ( operatorname {gd} x) = coth x; cos ( operatorname { gd} x) = operatorname {sech} x; quad & sec ( operatorname {gd} x) = cosh x; tan ( operatorname {gd} x) = sinh x; quad & cot ( operatorname {gd} x) = operatorname {csch} x; tan left ({ tfrac {1} {2}} operatorname {gd} x right) = tanh left ( { tfrac {1} {2}} x vpravo). end {zarovnáno}}}$

Inverzní

Graf inverzní Gudermannianovy funkce

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {gd} ^ {- 1} x & = int _ {0} ^ {x} { frac {1} { cos t}} , dt qquad - pi / 2$

(Vidět inverzní hyperbolické funkce.)

Některé identity

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sinh ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = tan x; quad & operatorname {csch} ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = cot x; cosh ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = sec x; quad & operatorname {sech} ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = cos x; tanh ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = sin x; quad & coth ( operatorname {gd} ^ {- 1} x) = csc x. end {zarovnaný}}}$

Deriváty

${ displaystyle { frac {d} {dx}} operatorname {gd} x = operatorname {sech} x; quad { frac {d} {dx}} ; operatorname {gd} ^ {- 1 } x = sec x.}$

Dějiny

Tuto funkci představil Johann Heinrich Lambert v 60. letech 17. století současně s hyperbolické funkce. Nazval jej „transcendentním úhlem“ a do roku 1862, kdy se používala různá jména Arthur Cayley navrhl, aby dostal své současné jméno jako pocta Gudermannově práci o teorii speciálních funkcí ve 30. letech 20. století.^[4] Gudermann publikoval články v Crelle's Journal které byly shromážděny v Theorie der potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen Functionen (1833), kniha, která vysvětluje sinh a hovadina širokému publiku (pod rouškou ${ displaystyle { mathfrak {Sin}}}$ a ${ displaystyle { mathfrak {Cos}}}$).

Zápis gd představil Cayley^[5] kde začíná voláním gd. u inverzní k integrál funkce secant:

${ displaystyle u = int _ {0} ^ { phi} sec t , dt = ln left ( tan left ({ tfrac {1} {4}} pi + { tfrac { 1} {2}} phi right) right)}$

a pak odvozuje „definici“ transcendentna:

${ displaystyle operatorname {gd} u = i ^ {- 1} ln left ( tan left ({ tfrac {1} {4}} pi + { tfrac {1} {2}} ui dobře dobře)}$

okamžitě sledovat, že je to skutečná funkce u.

Aplikace

• The úhel rovnoběžnosti funkce v hyperbolická geometrie je definováno

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} pi - operatorname {gd} x}$

• Na Mercatorova projekce čára konstantní zeměpisné šířky je rovnoběžná s rovníkem (na projekci) a je posunuta o částku úměrnou inverznímu Gudermannianovi zeměpisné šířky.
• Gudermannian (se složitým argumentem) může být použit při definici příčná Mercatorova projekce.^[6]

• Gudermannian se objevuje v neperiodickém řešení obrácené kyvadlo.^[7]

• Gudermannian se také objevuje v pohyblivém zrcadlovém řešení dynamiky Kazimírův efekt.^[8]

Viz také

• Hyperbolická sekanční distribuce
• Mercatorova projekce
• Tečný poloviční úhel vzorec
• Tractrix
• Trigonometrická identita

Reference