Zobecněná vícenásobná distribuce log-gama - Generalized multivariate log-gamma distribution

v teorie pravděpodobnosti a statistika, zobecněná multivariační distribuce log-gama (G-MVLG) je vícerozměrná distribuce představili Demirhan a Hamurkaroglu^[1] v roce 2011. G-MVLG je flexibilní distribuce. Šikmost a špičatost jsou dobře řízeny parametry distribuce. To umožňuje ovládání disperze distribuce. Kvůli této vlastnosti se distribuce efektivně používá jako spoj předchozí distribuce v Bayesovská analýza, zvláště když pravděpodobnost není z rodina v měřítku polohy distribucí, jako je normální distribuce.

Funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu

Li ${ displaystyle { boldsymbol {Y}} sim mathrm {G} { text {-}} mathrm {MVLG} ( delta, nu, { boldsymbol { lambda}}, { boldsymbol { mu}})}$, Kloub funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) ze dne ${ displaystyle { boldsymbol {Y}} = (Y_ {1}, tečky, Y_ {k})}$ je uveden jako následující:

${ displaystyle f (y_ {1}, tečky, y_ {k}) = delta ^ { nu} součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(1- delta) ^ {n} prod _ {i = 1} ^ {k} mu _ {i} lambda _ {i} ^ {- nu -n}} {[ Gamma ( nu + n)] ^ {k -1} Gamma ( nu) n!}} Exp { bigg {} ( nu + n) sum _ {i = 1} ^ {k} mu _ {i} y_ {i} - sum _ {i = 1} ^ {k} { frac {1} { lambda _ {i}}} exp { mu _ {i} y_ {i} } { bigg }}, }$

kde ${ displaystyle { boldsymbol {y}} in mathbb {R} ^ {k}, nu> 0, lambda _ {j}> 0, mu _ {j}> 0}$ pro ${ displaystyle j = 1, tečky, k, delta = det ({ boldsymbol { Omega}}) ^ { frac {1} {k-1}},}$ a

${ displaystyle { boldsymbol { Omega}} = left ({ begin {array} {cccc} 1 & { sqrt { mathrm {abs} ( rho _ {12})}} & cdots & { sqrt { mathrm {abs} ( rho _ {1k})}} { sqrt { mathrm {abs} ( rho _ {12})}} & 1 & cdots & { sqrt { mathrm {abs } ( rho _ {2k})}} vdots & vdots & ddots & vdots { sqrt { mathrm {abs} ( rho _ {1k})}} & { sqrt { mathrm {abs} ( rho _ {2k})}} & cdots & 1 end {pole}} vpravo),}$

${ displaystyle rho _ {ij}}$ je korelace mezi ${ displaystyle Y_ {i}}$ a ${ displaystyle Y_ {j}}$, ${ displaystyle det ( cdot)}$ a ${ displaystyle mathrm {abs} ( cdot)}$ označit určující a absolutní hodnota vnitřního vyjádření, respektive, a ${ displaystyle { boldsymbol {g}} = ( delta, nu, { boldsymbol { lambda}} ^ {T}, { boldsymbol { mu}} ^ {T})}$ zahrnuje parametry distribuce.

Vlastnosti

Funkce generující společný moment

Kloub funkce generování momentů distribuce G-MVLG je následující:

${ displaystyle M _ { boldsymbol {Y}} ({ boldsymbol {t}}) = delta ^ { nu} { bigg (} prod _ {i = 1} ^ {k} lambda _ {i } ^ {t_ {i} / mu _ {i}} { bigg)} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { Gamma ( nu + n)} { Gamma ( nu) n!}} (1- delta) ^ {n} prod _ {i = 1} ^ {k} { frac { Gamma ( nu + n + t_ {i} / mu _ { i})} { Gamma ( nu + n)}}.}$

Okrajové centrální momenty

${ displaystyle r ^ { text {th}}}$ mezní centrální moment ${ displaystyle Y_ {i}}$ je následující:

${ displaystyle { mu _ {i}} '_ {r} = left [{ frac {( lambda _ {i} / delta) ^ {t_ {i} / mu _ {i}}} { Gamma ( nu)}} sum _ {k = 0} ^ {r} { binom {r} {k}} left [{ frac { ln ( lambda _ {i} / delta )} { mu _ {i}}} vpravo] ^ {rk} { frac { částečné ^ {k} gama ( nu + t_ {i} / mu _ {i})} { částečné t_ {i} ^ {k}}} vpravo] _ {t_ {i} = 0}.}$

Okrajová očekávaná hodnota a rozptyl

Očekávaná mezní hodnota ${ displaystyle Y_ {i}}$ je následující:

${ displaystyle operatorname {E} (Y_ {i}) = { frac {1} { mu _ {i}}} { big [} ln ( lambda _ {i} / delta) + digamma ( nu) { big]},}$

${ displaystyle operatorname {var} (Z_ {i}) = digamma ^ {[1]} ( nu) / ( mu _ {i}) ^ {2}}$

kde ${ displaystyle digamma ( nu)}$ a ${ displaystyle digamma ^ {[1]} ( nu)}$ jsou hodnoty digamma a funkce trigammy v ${ displaystyle nu}$, resp.

Související distribuce

Demirhan a Hamurkaroglu vytvářejí vztah mezi distribucí G-MVLG a Gumbelova distribuce (extrémní rozdělení hodnoty typu I ) a dává vícerozměrnou formu Gumbelovy distribuce, jmenovitě zobecněnou vícerozměrnou Gumbelovu distribuci (G-MVGB). Funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu ${ displaystyle { boldsymbol {T}} sim mathrm {G} { text {-}} mathrm {MVGB} ( delta, nu, { boldsymbol { lambda}}, { boldsymbol { mu}})}$ je následující:

${ displaystyle f (t_ {1}, tečky, t_ {k}; delta, nu, { boldsymbol { lambda}}, { boldsymbol { mu}})) = delta ^ { nu } sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(1- delta) ^ {n} prod _ {i = 1} ^ {k} mu _ {i} lambda _ { i} ^ {- nu -n}} {[ Gamma ( nu + n)] ^ {k-1} Gamma ( nu) n!}} exp { bigg {} - ( nu + n) sum _ {i = 1} ^ {k} mu _ {i} t_ {i} - sum _ {i = 1} ^ {k} { frac {1} { lambda _ {i }}} exp {- mu _ {i} t_ {i} } { bigg }}, quad t_ {i} in mathbb {R}.}$

Distribuce Gumbel má širokou škálu aplikací v oblasti analýza rizik. Distribuce G-MVGB by proto měla být prospěšná, pokud se použije na tyto typy problémů.

Reference