Utlumit disphenoid - Snub disphenoid

Utlumit disphenoid
Typ	Johnson; J83 - J84 - J85
Tváře	4+8 trojúhelníky
Hrany	18
Vrcholy	8
Konfigurace vrcholů	4(34) ; 4(35)
Skupina symetrie	D2d
Duální mnohostěn	Prodloužené gyrobifastigium
Vlastnosti	konvexní, deltahedron
Síť

3D model tupého disfenoidu

v geometrie, potlačit disphenoid, Siamský dodecahedron, trojúhelníkový dvanáctistěn, trigonální dvanáctistěnnebo dodecadeltahedron je trojrozměrný konvexní mnohostěn s dvanácti rovnostranné trojúhelníky jako jeho tváře. Není to pravidelný mnohostěn protože někteří vrcholy mají čtyři tváře a ostatní mají pět. Je to dvanáctistěn, jeden z osmi deltahedra (konvexní mnohostěn s rovnostrannými trojúhelníkovými plochami) a jeden z 92 Johnson pevné látky (ne-jednotný konvexní mnohostěn s pravidelnými plochami). Lze to považovat za čtvercový antiprism kde jsou oba čtverce nahrazeny dvěma rovnostrannými trojúhelníky.

Tlumivý disphenoid je také vrcholem postavy isogonal 13-5 stupňový hranol, polychoron zkonstruovaný z 13-13 duoprism výběrem vrcholu na tridecagon, poté vyberte 5. vrchol na dalším trojkogonu, a to až do dosažení původního trojúhelníku. Nelze jej však učinit uniformním, protože snubní disfenoid nemá žádné opsaná kružnice.

Historie a pojmenování

Tento tvar se nazýval a Siamský dodecahedron v novinách od Hans Freudenthal a B. L. van der Waerden (1947), který jako první popsal soubor osmi konvexních deltahedra.^[1] The dodecadeltahedron jméno bylo dáno stejnému tvaru od Bernal (1964), s odkazem na skutečnost, že se jedná o 12stranný deltahedron. Existují i jiné zjednodušená dodekahedra, tak jako šestihranný bipyramid, ale toto je jediné, které lze realizovat s rovnostrannými tvářemi. Bernal se zajímal o tvary otvorů, které zůstaly v nepravidelných těsných uspořádáních koulí, a tak použil restriktivní definici deltahedry, ve které je deltahedron konvexní mnohostěn s trojúhelníkovými plochami, které mohou být vytvořeny středy shody shodných koule, jejichž tečnosti představují mnohostěnné hrany, a takové, že není prostor pro zabalení další koule uvnitř klece vytvořené tímto systémem koulí. Tato restriktivní definice zakazuje trojúhelníkový bipyramid (jako formování dvou čtyřbokých děr spíše než jedné díry), pětiúhelníkový bipyramid (protože koule pro jeho vrcholy pronikají, takže se nemohou vyskytovat v koulích), a dvacetistěnu (protože má vnitřní prostor pro jinou sféru). Bernal píše, že urážlivý disfenoid je „velmi běžný koordinace pro iont vápníku v krystalografie "^[2]. V koordinační geometrii je obvykle známý jako trigonal dodecahedron nebo jednoduše jako dodecahedron.

The potlačit disphenoid jméno pochází Norman Johnson klasifikace z roku 1966 Johnson pevné látky, konvexní mnohostěny, jejichž všechny tváře jsou pravidelné.^[3] Existuje nejprve v řadě mnohostěnů s axiální symetrií, takže také může být pojmenováno digonal gyrobianticupola.

Vlastnosti

Tlumič disphenoid je 4-připojeno, což znamená, že odpojení zbývajících vrcholů vyžaduje odstranění čtyř vrcholů. Je to jeden z pouhých čtyř 4 připojených zjednodušující dobře zakryté mnohostěn, což znamená, že všechny maximální nezávislé množiny jeho vrcholy mají stejnou velikost. Další tři mnohostěny s touto vlastností jsou pravidelný osmistěn, pětiúhelníkový bipyramid a nepravidelný mnohostěn s 12 vrcholy a 20 trojúhelníkovými plochami.^[4]

Tlumivý disphenoid má stejnou symetrii jako a tetragonální disphenoid: má osu 180 ° rotační symetrie procházející středy svých dvou protilehlých okrajů, dvou kolmých rovin reflexní symetrie skrz tuto osu a čtyři další operace symetrie dané odrazem kolmým na osu následovaným čtvrtotáčkou a případně dalším odrazem rovnoběžným s osou.^[5] To znamená, že má $D 2 d$ antiprismatická symetrie, skupina symetrie řádu 8.

Koule vycentrované na vrcholech tupého disfenoidu tvoří shluk, který má podle numerických experimentů minimum možné Lennard-Jonesův potenciál mezi všemi shluky osmi koulí.^[6]

Až do symetrií a paralelního překladu má snubní disphenoid pět typů jednoduchých (bez vlastního přechodu) uzavřená geodetika. Jedná se o cesty na povrchu mnohostěnu, které se vyhýbají vrcholům a místně vypadají jako nejkratší cesta: sledují úsečky po každé ploše mnohostěnu, které protínají, a když překročí hranu mnohostěnu, vytvoří doplňkové úhly na dva incidenty směřují k okraji. Po této cestě by se dalo intuitivně protáhnout kolem mnohostěnu gumičku a ta by zůstala na svém místě: neexistuje způsob, jak lokálně změnit cestu a zkrátit ji. Například jeden typ geodetiky protíná dva protilehlé okraje tupého disfenoidu v jejich středech (kde osa symetrie opouští mnohostěn) pod úhlem $π$ / 3. Druhý typ geodetiky prochází poblíž křižovatky tupého disfenoidu s rovinou, která kolmo protíná osu symetrie ( rovník mnohostěn), překračující okraje osmi trojúhelníků v úhlech, které se střídají $π$ / 2 a $π$ / 6. Posunutí geodetiky na povrchu mnohostěnu o malé množství (dostatečně malé na to, aby posun nezpůsobil překročení vrcholů) zachovává vlastnost geodetiky a zachovává její délku, takže oba tyto příklady posunuly verze stejného typu, které jsou umístěny méně symetricky. Délky pěti jednoduchých uzavřených geodetik na tupém disfenoidu s hranami délky jednotky jsou

{ displaystyle 2 { sqrt {3}} přibližně 3,464}

(pro rovníkovou geodetiku),

{ displaystyle { sqrt {13}} přibližně 3,606}

,

{ displaystyle 4}

(pro geodetiku středy protilehlých hran),

{ displaystyle 2 { sqrt {7}} přibližně 5,292}

, a

{ displaystyle { sqrt {19}} přibližně 4,359}

.

Kromě čtyřstěnu, který má nekonečně mnoho typů jednoduchých uzavřených geodetik, má disfenoid tupý nejvíce typů geodetů ze všech deltahedronů.^[7]

Konstrukce

Tlumič disphenoid je konstruován, jak naznačuje jeho název, jako urážet mnohostěn vytvořený z a tetragonální disphenoid, forma nižší symetrie pravidelného čtyřstěn.

Disphenoid	Utlumit disphenoid

Operace snub vytváří jedno cyklické pásmo trojúhelníků oddělujících dva protilehlé okraje (na obrázku červené) a jejich sousední trojúhelníky. The potlačit antiprismy jsou analogické v tom, že mají jediný cyklický pás trojúhelníků, ale v protisměrných antiprismech tyto pásy oddělují spíše dvě protilehlé plochy a jejich sousední trojúhelníky než dva protilehlé okraje.

Tlumivý disfenoid může být také vyroben z čtvercový antiprism nahrazením dvou čtvercových ploch dvojicemi rovnostranných trojúhelníků. Je to však jeden ze základních Johnsonových pevných látek, které nevznikají při manipulaci s „vyjímáním a vkládáním“ Platonický a Archimedean pevné látky.

Fyzický model tupého disfenoidu lze vytvořit složením a síť tvořený 12 rovnostrannými trojúhelníky (a 12-iamond ), zobrazené. Alternativní síť navržená John Montroll má na své hranici méně konkávních vrcholů, takže je pro ni pohodlnější origami konstrukce.^[8]

Kartézské souřadnice

Nechat ${ Displaystyle q přibližně 0,16902}$ být pozitivní skutečný kořen kubického polynomu

{ displaystyle 2x ^ {3} + 11x ^ {2} + 4x-1.}

Kromě toho

{ displaystyle r = { sqrt {q}} přibližně 0,41112,}

{ displaystyle s = { sqrt { frac {1-q} {2q}}} přibližně 1,56786,}

a

{ displaystyle t = 2rs = { sqrt {2-2q}} přibližně 1,28917.}

Potom může být dáno osm vrcholů tupého disphenoidu Kartézské souřadnice

{ displaystyle ( pm t, r, 0), , (0, -r, pm t),}

{ displaystyle ( pm 1, -s, 0), , (0, s, pm 1).}

^[6]

Protože tato konstrukce zahrnuje řešení kubické rovnice, nemůže být snubní disfenoid postaven s kompasem a pravítkem, na rozdíl od ostatních sedmi deltahedra.^[9]

S těmito souřadnicemi je možné vypočítat objem tupého disfenoidu s délkou hrany $A$ tak jako ${ displaystyle xi a ^ {3}}$ , kde ${ displaystyle xi přibližně 0,85949}$ , je kladný kořen polynomu

{ displaystyle 5832x ^ {6} -1377x ^ {4} -2160x ^ {2} -4.}

^[10]

Související mnohostěn

Další konstrukce potlačit disphenoid je jako digonal gyrobianticupola. Má stejnou topologii a symetrii, ale bez rovnostranných trojúhelníků. Má 4 vrcholy v a náměstí na středové rovině jako dva anticupolae připojeno rotační symetrií. Jeho duální má pravoúhlé pětiúhelníky a dokáže samy uspořádat prostor.

Digonal anticupola	Digonal gyrobianticupola	(Dvojí) protáhlé gyrobifastigium	Částečná mozaikování

Reference

^ Freudenthal, H.; van d. Waerden, B.L. (1947), „Na tvrzení Euklida“, Simon Stevin, 25: 115–121, PAN 0021687.
^ Bernal, J. D. (1964), „Bakerianská přednáška, 1962. Struktura kapalin“, Sborník královské společnosti v Londýně, Série A, Matematické a fyzikální vědy, 280 (1382): 299–322, JSTOR 2415872.
^ Johnson, Norman W. (1966), "Konvexní mnohostěn s pravidelnými tvářemi", Kanadský žurnál matematiky, 18: 169–200, doi:10.4153 / cjm-1966-021-8, PAN 0185507, Zbl 0132.14603.
^ Finbow, Arthur S .; Hartnell, Bert L .; Nowakowski, Richard J .; Plummer, Michael D. (2010), "O dobře pokrytých triangulacích. III", Diskrétní aplikovaná matematika, 158 (8): 894–912, doi:10.1016 / j.dam.2009.08.002, PAN 2602814.
^ Cundy, H. Martyn (1952), „Deltahedra“, Matematický věstník, 36: 263–266, doi:10.2307/3608204, PAN 0051525.
^ ^A ^b Sloane, N. J. A.; Hardin, R. H .; Duff, T. D. S .; Conway, J. H. (1995), „Minimal-energy clusters of hard spher“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 14 (3): 237–259, doi:10.1007 / BF02570704, PAN 1344734.
^ Lawson, Kyle A .; Parish, James L .; Traub, Cynthia M .; Weyhaupt, Adam G. (2013), „Barvení grafů pro klasifikaci jednoduché uzavřené geodetiky na konvexní deltahedře.“ (PDF), International Journal of Pure and Applied Mathematics, 89 (2): 123–139, doi:10.12732 / ijpam.v89i2.1, Zbl 1286.05048.
^ Montroll, John (2004), „Dodecadeltahedron“, Souhvězdí mnohostěnů Origami„Dover Origami Papercraft Series, Dover Publications, Inc., s. 38–40, ISBN 9780486439587.
^ Hartshorne, Robine (2000), Geometry: Euclid and Beyond „Pregraduální texty z matematiky, Springer-Verlag, s. 457, ISBN 9780387986500.
^ Wolfram Research, Inc. (2020). "Wolfram | Alpha Knowledgebase". Champaign, IL. MinimalPolynomial [PolyhedronData [{"Johnson", 84}, "Volume"], x] Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Snub disphenoid“. MathWorld.

[1] Freudenthal, H.; van d. Waerden, B.L. (1947), „Na tvrzení Euklida“, Simon Stevin, 25: 115–121, PAN 0021687.

[2] Bernal, J. D. (1964), „Bakerianská přednáška, 1962. Struktura kapalin“, Sborník královské společnosti v Londýně, Série A, Matematické a fyzikální vědy, 280 (1382): 299–322, JSTOR 2415872.

[3] Johnson, Norman W. (1966), "Konvexní mnohostěn s pravidelnými tvářemi", Kanadský žurnál matematiky, 18: 169–200, doi:10.4153 / cjm-1966-021-8, PAN 0185507, Zbl 0132.14603.

[4] Finbow, Arthur S .; Hartnell, Bert L .; Nowakowski, Richard J .; Plummer, Michael D. (2010), "O dobře pokrytých triangulacích. III", Diskrétní aplikovaná matematika, 158 (8): 894–912, doi:10.1016 / j.dam.2009.08.002, PAN 2602814.

[5] Cundy, H. Martyn (1952), „Deltahedra“, Matematický věstník, 36: 263–266, doi:10.2307/3608204, PAN 0051525.

[shdc-6] A ^b Sloane, N. J. A.; Hardin, R. H .; Duff, T. D. S .; Conway, J. H. (1995), „Minimal-energy clusters of hard spher“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 14 (3): 237–259, doi:10.1007 / BF02570704, PAN 1344734.

[7] Lawson, Kyle A .; Parish, James L .; Traub, Cynthia M .; Weyhaupt, Adam G. (2013), „Barvení grafů pro klasifikaci jednoduché uzavřené geodetiky na konvexní deltahedře.“ (PDF), International Journal of Pure and Applied Mathematics, 89 (2): 123–139, doi:10.12732 / ijpam.v89i2.1, Zbl 1286.05048.

[8] Montroll, John (2004), „Dodecadeltahedron“, Souhvězdí mnohostěnů Origami„Dover Origami Papercraft Series, Dover Publications, Inc., s. 38–40, ISBN 9780486439587.

[9] Hartshorne, Robine (2000), Geometry: Euclid and Beyond „Pregraduální texty z matematiky, Springer-Verlag, s. 457, ISBN 9780387986500.

[10] Wolfram Research, Inc. (2020). "Wolfram | Alpha Knowledgebase". Champaign, IL. MinimalPolynomial [PolyhedronData [{"Johnson", 84}, "Volume"], x] Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Johnson pevné látky
Pyramidy, kopule a rotundae	čtvercová pyramida pětiboká pyramida trojúhelníková kopule čtvercová kopule pětiboká kupole pětiúhelníková rotunda
Upraveno pyramidy	protáhlá trojúhelníková pyramida podlouhlá čtvercová pyramida protáhlá pětiúhelníková pyramida gyroelongated square pyramid gyroelongated pentagonal pyramid trojúhelníkový bipyramid čtvercový bipyramid pětiúhelníkový bipyramid protáhlý trojúhelníkový bipyramid prodloužený čtvercový bipyramid protáhlý pětiúhelníkový bipyramid gyroelongovaný hranatý bipyramid
Upraveno kopule a rotundae	podlouhlá trojúhelníková kopule podlouhlá čtvercová kopule protáhlá pětiúhelníková kupole protáhlá pětiúhelníková rotunda gyroelongated trojúhelníkový kopule gyroelongated square cupola gyroelongated pentagonal cupola gyroelongated pentagonal rotunda gyrobifastigium trojúhelníková orthobicupola čtvercová orthobicupola čtvercová gyrobicupola pětiboká orthobicupola pětiboká gyrobicupola pětiúhelníkový orthocupolarotunda pětiúhelníkový gyrocupolarotunda pětiboká orthobirotunda protáhlá trojúhelníková orthobicupola protáhlá trojúhelníková gyrobicupola protáhlá čtvercová gyrobicupola protáhlá pětiúhelníková orthobicupola protáhlá pětiúhelníková gyrobicupola protáhlá pětiúhelníková orthocupolarotunda protáhlý pětiúhelníkový gyrocupolarotunda protáhlá pětiúhelníková orthobirotunda protáhlá pětiúhelníková gyrobirotunda gyroelongated trojúhelníkový bicupola gyroelongated square bicupola gyroelongated pentagonal bicupola gyroelongated pentagonal cupolarotunda gyroelongated pentagonal birotunda
Rozšířené hranoly	rozšířený trojúhelníkový hranol biaugmentovaný trojúhelníkový hranol triaugmentovaný trojúhelníkový hranol rozšířený pětiúhelníkový hranol biaugmentovaný pětiúhelníkový hranol rozšířený šestihranný hranol parabiaugmentovaný šestihranný hranol metabiaugmentovaný šestihranný hranol triaugmentovaný šestihranný hranol
Upraveno Platonické pevné látky	rozšířený dvanáctistěn parabiaugmented dodecahedron metabiaugmentovaný dvanáctistěn triaugmentovaný dvanáctistěn metabidiminated icosahedron tridiminated icosahedron rozšířený tridiminated icosahedron
Upraveno Archimédovy pevné látky	rozšířený zkrácený čtyřstěn rozšířená zkrácená kostka biaugmentovaná zkrácená kostka rozšířený zkrácený dvanáctistěn parabiaugmented komolý dodecahedron metabiaugmented komolý dodecahedron triaugmented komolý dodecahedron gyrate rhombicosidodecahedron parabigyrate rhombicosidodecahedron metabigyrate rhombicosidodecahedron trigyrate rhombicosidodecahedron zmenšený kosočtverec paragyrate zmenšil rhombicosidodecahedron metagyrát zmenšil rhombicosidodecahedron bigyrate zmenšil rhombicosidodecahedron parabidiminovaný rhombicosidodecahedron metabidiminovaný rhombicosidodecahedron gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron zkrácen rhombicosidodecahedron
Elementární tělesa	potlačit disphenoid potlačit čtvercový antiprism sphenocorona rozšířená sphenocorona sphenomegacorona hebesphenomegacorona disphenocingulum bilunabirotunda trojúhelníková hebesphenorotunda
(Viz také Seznam Johnson pevných látek, třídicí stůl)

Utlumit disphenoid

Typ	Johnson J₈₃ - J₈₄ - J₈₅
Tváře	4+8 trojúhelníky
Hrany	18
Vrcholy	8
Konfigurace vrcholů	4(3⁴) 4(3⁵)
Skupina symetrie	D_2d
Duální mnohostěn	Prodloužené gyrobifastigium
Vlastnosti	konvexní, deltahedron
Síť