Zonohedron - Zonohedron
A zonohedron je konvexní mnohostěn to je centrálně symetrický, jehož každá tvář je a polygon, který je centrálně symetrický. Jakýkoli zonohedron lze ekvivalentně popsat jako Minkowského součet sady úseček v trojrozměrném prostoru nebo jako trojrozměrný projekce a hyperkrychle. Zonohedra byly původně definovány a studovány E. S. Fedorov, Rus krystalograf. Obecněji v jakékoli dimenzi tvoří Minkowského součet úseček a polytop známý jako zonotop.
Zonohedra ten prostor dlaždic
Původní motivací ke studiu zonohedry je, že Voronoiho diagram ze všech mříž tvoří a konvexní jednotný plástev ve kterých jsou buňky zonohedra. Každý takto vytvořený zonohedron může mozaikový 3-dimenzionální prostor a nazývá se a hlavní rovnoběžník. Každý primární rovnoběžník je kombinatoricky ekvivalentní jednomu z pěti typů: kosočtverec (včetně krychle ), šestihranný hranol, zkrácený osmistěn, kosočtverečný dvanáctistěn a kosodélníkový šestiúhelníkový dvanáctistěn.
Zonohedra z Minkowského součty

Nechť {v0, v1, ...} být sbírkou trojrozměrného vektory. S každým vektorem vi můžeme spojit a úsečka {Xiprotii| 0≤xi≤1}. The Minkowského součet {Σxiprotii| 0≤xi≤1} tvoří zonohedron a všechny zonohedry, které obsahují původ, mají tento tvar. Vektory, ze kterých je zonohedron vytvořen, se nazývají jeho generátory. Tato charakterizace umožňuje definici zonohedry zobecnit na vyšší dimenze, což dává zonotopy.
Každá hrana v zonohedronu je rovnoběžná s alespoň jedním z generátorů a má délku rovnou součtu délek generátorů, s nimiž je rovnoběžná. Proto výběrem sady generátorů bez paralelních párů vektorů a nastavením stejné délky všech vektorů můžeme vytvořit rovnostranný verze libovolného kombinatorického typu zonohedronu.
Výběrem sad vektorů s vysokými stupni symetrie můžeme takto vytvořit zonohedru s alespoň stejnou symetrií. Například generátory rovnoměrně rozmístěné kolem rovníku koule spolu s další dvojicí generátorů procházejícími póly koule tvoří zonohedru ve formě hranol přes normální -gons: krychle, šestihranný hranol, osmiboký hranol, desetiboký hranol, dodecagonal hranol atd. Generátory rovnoběžné s okraji oktaedru tvoří a zkrácený osmistěn a generátory rovnoběžné s dlouhými úhlopříčkami krychle tvoří a kosočtverečný dvanáctistěn.[1]
Minkowského součet libovolných dvou zonohedra je další zonohedron, generovaný spojením generátorů dvou daných zonohedra. Minkowského součet krychle a zkráceného osmistěn tedy tvoří zkrácený cuboctahedron, zatímco Minkowského součet krychle a kosočtverečný dvanáctistěn tvoří zkrácený kosočtverečný dvanáctistěn. Oba tyto zonohedry jsou jednoduchý (u každého vrcholu se setkávají tři tváře), stejně jako zkrácený malý kosočtverec vytvořený z Minkowského součtu krychle, zkráceného osmistěnu a kosočtverečného dvanáctistěnu.[1]
Zonohedra z uspořádání
The Gaussova mapa libovolného konvexního mnohostěnu mapuje každou plochu polygonu na bod na jednotkové kouli a mapuje každou hranu polygonu oddělující dvojici ploch na velký kruh oblouk spojující odpovídající dva body. V případě zonohedronu lze okraje obklopující každou plochu seskupit do párů rovnoběžných hran a při překladu pomocí Gaussovy mapy se každý takový pár stane dvojicí sousedících segmentů na stejné velké kružnici. Okraje zonohedronu lze tedy seskupit zóny rovnoběžných hran, které odpovídají segmentům společné velké kružnice na Gaussově mapě, a 1-kostra zonohedronu lze zobrazit jako rovinný duální graf k uspořádání velkých kruhů na kouli. Naopak jakékoli uspořádání velkých kruhů může být vytvořeno z Gaussovy mapy zonohedronu generované vektory kolmými na roviny procházející kruhy.
Jakýkoli jednoduchý zonohedron tímto způsobem odpovídá a zjednodušené uspořádání, kde každý obličej je trojúhelník. Zjednodušené uspořádání velkých kruhů odpovídá centrální projekci zjednodušenému uspořádání linek v projektivní rovina. Existují tři známé nekonečné rodiny jednoduchých uspořádání, z nichž jedna vede k hranolům při převodu na zonohedru a další dvě odpovídají dalším nekonečným rodinám jednoduchých zonohedrů. Existuje také mnoho sporadických příkladů, které se do těchto tří rodin nehodí.[2]
Vyplývá to z korespondence mezi zonohedrou a opatřeními a z Věta Sylvester – Gallai který (ve svém projektivní duální forma) dokazuje existenci křížení pouze dvou linií v jakémkoli uspořádání, že každý zonohedron má alespoň jeden pár protilehlých rovnoběžník tváře. (Čtverce, obdélníky a kosočtverce se pro tento účel počítají jako speciální případy rovnoběžníků.) Ještě silněji, každý zonohedron má alespoň šest ploch rovnoběžníku a každý zonohedron má několik ploch rovnoběžníku, jejichž počet generátorů je lineární.[3]
Druhy zonohedry
Žádný hranol přes pravidelný mnohoúhelník se sudým počtem stran tvoří zonohedron. Tyto hranoly lze vytvořit tak, že všechny plochy jsou pravidelné: dvě protilehlé plochy se rovnají pravidelnému mnohoúhelníku, ze kterého byl hranol vytvořen, a jsou spojeny posloupností čtvercových ploch. Zonohedry tohoto typu jsou krychle, šestihranný hranol, osmiboký hranol, desetiboký hranol, dodecagonal hranol, atd.
Kromě této nekonečné rodiny zonohedry s pravidelnou tváří existují tři Archimédovy pevné látky, Všechno omnitruncations pravidelných formulářů:
- The zkrácený osmistěn se 6 čtvercovými a 8 šestihrannými plochami. (Omnitruncated čtyřstěn)
- The zkrácený cuboctahedron, s 12 čtverci, 8 šestiúhelníky a 6 osmiúhelníky. (Omnitruncated cube)
- The zkrácený icosidodecahedron, s 30 čtverci, 20 šestiúhelníky a 12 dekagony. (Omnitruncated dodecahedron)
Navíc jisté Katalánština pevné látky (duály archimédských pevných látek) jsou opět zonohedra:
- Keplerův kosočtverečný dvanáctistěn je dvojí z cuboctahedron.
- The kosočtverečný triacontahedron je dvojí z icosidodecahedron.
Jiní s kongruentními kosočtverečnými tvářemi:
Existuje nekonečně mnoho zonohedrů s kosočtverečnými tvářemi, které nejsou navzájem shodné. Obsahují:
zonohedron | obraz | počet generátory | normální tvář | tvář tranzitivní | okraj tranzitivní | vrchol tranzitivní | Rovnoběžník (vyplňování prostoru) | jednoduchý |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Krychle 4.4.4 | ![]() | 3 | Ano | Ano | Ano | Ano | Ano | Ano |
Šestihranný hranol 4.4.6 | ![]() | 4 | Ano | Ne | Ne | Ano | Ano | Ano |
2n-prism (n > 3) 4.4.2n | ![]() | n + 1 | Ano | Ne | Ne | Ano | Ne | Ano |
Zkrácený osmistěn 4.6.6 | ![]() | 6 | Ano | Ne | Ne | Ano | Ano | Ano |
Zkrácený cuboctahedron 4.6.8 | ![]() | 9 | Ano | Ne | Ne | Ano | Ne | Ano |
Zkrácený icosidodecahedron 4.6.10 | ![]() | 15 | Ano | Ne | Ne | Ano | Ne | Ano |
Rovnoběžnostěn | ![]() | 3 | Ne | Ano | Ne | Ne | Ano | Ano |
Kosočtverečný dvanáctistěn V3.4.3.4 | ![]() | 4 | Ne | Ano | Ano | Ne | Ano | Ne |
Bilinski dodecahedron | ![]() | 4 | Ne | Ne | Ne | Ne | Ano | Ne |
Kosočtverečný dvacetistěn | ![]() | 5 | Ne | Ne | Ne | Ne | Ne | Ne |
Kosočtverečný triacontahedron V3.5.3.5 | ![]() | 6 | Ne | Ano | Ano | Ne | Ne | Ne |
Rhombo-hexagonální dvanáctistěn | ![]() | 5 | Ne | Ne | Ne | Ne | Ano | Ne |
Zkrácený kosočtverečný dvanáctistěn | ![]() | 7 | Ne | Ne | Ne | Ne | Ne | Ano |
Pitva zonohedry
I když obecně není pravda, že jakýkoli mnohostěn má a pitva do jakéhokoli jiného mnohostěnu stejného objemu (viz Hilbertův třetí problém ), je známo, že jakékoli dvě zonohedry stejných objemů lze rozdělit do sebe.[Citace je zapotřebí ]
Zonohedrifikace
Zonohedrifikace je proces definovaný George W. Hart pro vytvoření zonohedronu z jiného mnohostěnu.[4][5]
Nejprve jsou vrcholy libovolného mnohostěnu považovány za vektory ze středu mnohostěnu. Tyto vektory vytvářejí zonohedron, který nazýváme zonohedrifikace původního mnohostěnu. Pro libovolné dva vrcholy původního mnohostenu existují dvě protilehlé roviny zonohedrifikace, z nichž každá má dva okraje rovnoběžné s vektory vrcholů.
Zonotopy
The Minkowského součet z úsečky v jakékoli dimenzi tvoří typ polytop volal a zonotop. Ekvivalentně zonotop generované vektory darováno . Všimněte si, že ve zvláštním případě, kde zonotop je (možná zdegenerovaný) rovnoběžník.
Fazety jakéhokoli zonotopu jsou samy o sobě zonotopy jedné nižší dimenze; například tváře zonohedry jsou zonogony. Příklady čtyřrozměrných zonotopů zahrnují tesseract (Minkowského součty d vzájemně kolmé úsečky stejné délky), omnitruncated 5-cell a zkrácený 24 buněk. Každý permutohedron je zonotop.
Zonotopy a matroidy
Opravte zonotop definované ze sady vektorů a nechte být matice, jejíž sloupce jsou . Pak vektorový matroid na sloupcích kóduje velké množství informací o , to znamená mnoho vlastností jsou čistě kombinatorické povahy.
Například páry protilehlých aspektů jsou přirozeně indexovány podle cocircuits z a pokud vezmeme v úvahu orientovaný matroid reprezentováno , pak získáme bijekci mezi aspekty a podepsané cocircuits který se vztahuje na poset anti-izomorfismus mezi obličejová mříž z a covektory seřazeno podle komponent rozšíření . Zejména pokud a jsou dvě matice, které se liší o a projektivní transformace pak jsou jejich příslušné zonotopy kombinačně ekvivalentní. Konverzace předchozího prohlášení neplatí: segment je zonotop a je generován oběma a tím jehož odpovídající matice, a , se neliší projektivní transformací.
Obklady
Vlastnosti zonotopu při skládání jsou také úzce spjaty s orientovaným matroidem spojené s tím. Nejprve vezmeme v úvahu vlastnost obložení prostoru. Zonotop říká se dlaždice pokud existuje sada vektorů tak, že se spojí spojení všech () je a jakékoli dva překlady se protínají v (případně prázdném) obličeji každého z nich. Takový zonotop se nazývá a vesmírný obkladový zonotop. Následující klasifikace prostorových obkladů zonotopů je způsobena McMullenem:[6] Zonotop generované vektory prostor pro dlaždice právě tehdy, když je odpovídající orientovaný matroid pravidelný. Zdánlivě geometrická podmínka bytí zonotopu s obkladem prostoru ve skutečnosti závisí pouze na kombinatorické struktuře generujících vektorů.
Další rodina obkladů spojených se zonotopem jsou zonotopální obklady z . Sbírka zonotopů je zonotopální dlažba pokud je to polyedrický komplex s podporou , to znamená, pokud je spojení všech zonotopů ve sbírce a jakékoli dva protínají ve společné (možná prázdné) tváři každého z nich. Mnoho obrazů zonohedry na této stránce lze zobrazit jako zonotopální obklady 2-dimenzionálního zonotopu tím, že je jednoduše považujeme za rovinné objekty (na rozdíl od rovinných reprezentací trojrozměrných objektů). The Bohne-Dress Theorem říká, že existuje bijekce mezi zonotopálními sklony zonotopu a jednoprvkové výtahy orientovaného matroidu spojené s .[7][8]
Objem
Zonohedra a n-dimenzionální zonotopy obecně, jsou pozoruhodné pro připuštění jednoduchého analytického vzorce pro jejich objem.[9]
Nechat být zonotopem generované sadou vektorů . Pak n-rozměrný objem darováno .
Determinant v tomto vzorci dává smysl, protože (jak je uvedeno výše), když je množina má mohutnost rovnou dimenzi okolního prostoru je zonotop rovnoběžník.
Všimněte si, že když , tento vzorec jednoduše říká, že zonotop má n-objem nula.
Reference
- ^ A b Eppstein, David (1996). „Zonohedra a zonotopy“. Mathematica ve vzdělávání a výzkumu. 5 (4): 15–21.
- ^ Grünbaum, Branko (2009). „Katalog zjednodušených uspořádání ve skutečné projektivní rovině“. Ars Mathematica Contemporanea. 2 (1): 1–25. doi:10.26493 / 1855-3974.88.e12. hdl:1773/2269. PAN 2485643.
- ^ Shephard, G. C. (1968). „Dvacet problémů na konvexní mnohostěně, část I“. Matematický věstník. 52 (380): 136–156. doi:10.2307/3612678. JSTOR 3612678. PAN 0231278.
- ^ http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/zonohedrification.html
- ^ ZonohedrifikaceGeorge W. Hart, Mathematica Journal, 1999, svazek: 7, vydání: 3, str. 374-389 [1] [2]
- ^ McMullen, Peter, 1975. Zonotopy obkládající vesmír. Mathematika, 22 (2), str. 202-211.
- ^ J. Bohne, Eine kombinatorische Analyse zonotopaler Raumaufteilungen, Dissertation, Bielefeld 1992; Předtisk 92-041, SFB 343, Universität Bielefeld 1992, 100 stran.
- ^ Richter-Gebert, J., & Ziegler, G. M. (1994). Zonotopální obklady a věta Bohne-Dress. Současná matematika, 178, 211-211.
- ^ McMullen, Peter (01.05.1984). "Objemy výčnělků jednotkových kostek". Bulletin of London Mathematical Society. 16 (3): 278–280. doi:10.1112 / blms / 16.3.278. ISSN 0024-6093.
- Coxeter, H. S. M. (1962). "Klasifikace zonohedry pomocí projektivních diagramů". J. Math. Pures Appl. 41: 137–156. Přetištěno Coxeter, H. S. M. (1999). Krása geometrie. Mineola, NY: Dover. str. 54–74. ISBN 0-486-40919-8.
- Fedorov, E. S. (1893). "Elemente der Gestaltenlehre". Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie. 21: 671–694.
- Rolf Schneider, kapitola 3.5 "Zonoidy a další třídy konvexních těl" v Konvexní tělesa: Brunn-Minkowského teorie, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
- Shephard, G. C. (1974). "Prostorové zonotopy". Mathematika. 21 (2): 261–269. doi:10.1112 / S0025579300008652.
- Taylor, Jean E. (1992). "Zonohedra a generalizovaná zonohedra". Americký matematický měsíčník. 99 (2): 108–111. doi:10.2307/2324178. JSTOR 2324178.
- Beck, M .; Robins, S. (2007). Diskrétní výpočet spojitosti. Springer Science + Business Media, LLC.
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Zonohedron“. MathWorld.
- Eppstein, David. „Geometry Junkyard: Zonohedra and Zonotopes“.
- Hart, George W. „Virtual Polyhedra: Zonohedra“.
- Weisstein, Eric W. "Primární rovnoběžník". MathWorld.
- Bulatov, Vladimír. „Dokončení zonohedrální mnohostěny“.
- Centore, Paule. „Kapitola 2 Geometrie barev“ (PDF).