Rencontres čísla - Rencontres numbers

v kombinační matematika, obnovuje čísla plocha trojúhelníkové pole z celá čísla že výčet obměny ze sady {1, ...,n } se zadaným počtem pevné body: jinými slovy, částečné odchylky. (Rencontre je francouzština pro setkání. U některých účtů je problém pojmenován po a solitaire hra.) Pro n ≥ 0 a 0 ≤ k ≤ n, číslo rencontres D_n, k je počet permutací {1, ...,n } které mají přesně k pevné body.

Například pokud je sedm dárků věnováno sedmi různým lidem, ale pouze dva jsou určeny k tomu, aby dostali ten správný dárek, existují D_7, 2 = 924 způsobů, jak se to může stát. Dalším často uváděným příkladem je taneční škola se 7 páry, kde se účastníkům po přestávce na čaj řekne náhodně najděte partnera pro pokračování, pak ještě jednou D_7, 2 = 924 možností, s nimiž se 2 předchozí páry znovu náhodně setkají.

Číselné hodnoty

Tady je začátek tohoto pole (sekvence A008290 v OEIS ):

Vzorce

Čísla v k = 0 výčet sloupců poruchy. Tím pádem

${ displaystyle D_ {0,0} = 1, !}$

${ displaystyle D_ {1,0} = 0, !}$

${ displaystyle D_ {n + 2,0} = (n + 1) (D_ {n + 1,0} + D_ {n, 0}) !}$

pro nezáporné n. Ukázalo se, že

${ displaystyle D_ {n, 0} = left lceil { frac {n!} {e}} right rfloor,}$

kde je poměr zaokrouhlený nahoru na sudé n a zaokrouhleno dolů na liché n. Pro n ≥ 1, toto dává nejbližší celé číslo.

Obecněji pro všechny ${ displaystyle k geq 0}$, my máme

${ displaystyle D_ {n, k} = {n zvolit k} cdot D_ {n-k, 0}.}$

Důkaz je snadný poté, co člověk ví, jak vyčíslit odchylky: vyberte k pevné body z n; pak zvolte vykolejení toho druhého n − k bodů.

Čísla D_n,0/(n!) jsou generováno podle výkonová řada E^−z/(1 − z); podle toho explicitní vzorec pro D_n, m lze odvodit následovně:

${ displaystyle D_ {n, m} = { frac {n!} {m!}} [z ^ {nm}] { frac {e ^ {- z}} {1-z}} = { frac {n!} {m!}} sum _ {k = 0} ^ {nm} { frac {(-1) ^ {k}} {k!}}.}$

To okamžitě naznačuje

${ displaystyle D_ {n, m} = {n zvolit m} D_ {nm, 0} ; ; { mbox {and}} ; ; { frac {D_ {n, m}} {n !}} přibližně { frac {e ^ {- 1}} {m!}}}$

pro n velký, m pevný.

Rozdělení pravděpodobnosti

Součet položek v každém řádku tabulky v „Číselné hodnoty"je celkový počet permutací {1, ...,n }, a je tedy n!. Pokud jeden rozdělí všechny položky v souboru nth řádek o n!, jeden dostane rozdělení pravděpodobnosti počtu pevných bodů rovnoměrně rozložených náhodná permutace z {1, ...,n }. Pravděpodobnost, že počet pevných bodů je k je

${ displaystyle {D_ {n, k} přes n!}.}$

Pro n ≥ 1, očekávaný počet pevných bodů je 1 (skutečnost, která vyplývá z linearity očekávání).

Obecněji pro i ≤ n, ith okamžik z tohoto rozdělení pravděpodobnosti je iČtvrtý okamžik Poissonovo rozdělení s očekávanou hodnotou 1.^[1] Pro i > n, iten okamžik je menší než ten z Poissonova rozdělení. Konkrétně pro i ≤ n, iten okamžik je ith Bell číslo, tj. počet oddíly sady velikosti i.

Omezení rozdělení pravděpodobnosti

Jak velikost permutované sady roste, dostaneme

${ displaystyle lim _ {n to infty} {D_ {n, k} přes n!} = {e ^ {- 1} přes k!}.}$

To je jen pravděpodobnost, že Poissonovo rozdělení náhodná proměnná s očekávanou hodnotou 1 se rovná k. Jinými slovy, jako n roste, rozdělení pravděpodobnosti počtu pevných bodů náhodné permutace množiny velikostí n se blíží k Poissonovo rozdělení s očekávanou hodnotou 1.

Reference

• Riordan, Johne, Úvod do kombinatorické analýzy, New York, Wiley, 1958, strany 57, 58 a 65.
• Weisstein, Eric W. „Částečné vyřazení“. MathWorld.