Čtyři momenty - Four-momentum

v speciální relativita, čtyři momenty je zobecnění klasická trojrozměrná hybnost na čtyřrozměrný časoprostor. Momentum je vektor v tři rozměry; podobně čtyř-hybnost je a čtyři-vektor v vesmírný čas. The protikladný čtyř-hybnost částice s relativistickou energií $E$ a tři momenty $str = (str X, str y, str z) = ym proti$ , kde $proti$ je třírychlost částice a $y$ the Lorentzův faktor, je

{ displaystyle p = (p ^ {0}, p ^ {1}, p ^ {2}, p ^ {3}) = left ({E over c}, p_ {x}, p_ {y} , p_ {z} vpravo).}

Množství $m proti$ výše je běžné nerelativistická hybnost částice a $m$ své odpočinková hmota. Čtyř-moment je užitečný v relativistických výpočtech, protože je Lorentzův kovariant vektor. To znamená, že je snadné sledovat, jak se transformuje pod Lorentzovy transformace.

Výše uvedená definice platí podle konvence souřadnic, která $X 0 = ct$ . Někteří autoři používají konvenci $X 0 = t$ , který poskytuje upravenou definici s $str 0 = E / C 2$ . Je také možné definovat kovariantní čtyři momenty $str μ$ kde je znamení energie obráceno.

Minkowského norma

Výpočet Norma Minkowski na druhou čtyř-hybnosti dává a Lorentzův invariant množství stejné (do faktorů rychlost světla $C$ ) na druhou mocninu částice správná hmotnost:

{ displaystyle p cdot p = eta _ { mu nu} p ^ { mu} p ^ { nu} = p _ { nu} p ^ { nu} = - {E ^ {2} nad c ^ {2}} + | mathbf {p} | ^ {2} = - m ^ {2} c ^ {2}}

kde

{ displaystyle eta _ { mu nu} = left ({ begin {matrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {matrix}} right)}

je metrický tenzor speciální relativita s metrický podpis pro definitivitu zvolenou $(-1, 1, 1, 1)$ . Negativita normy odráží, že hybnost je a podobný čtyři vektory pro masivní částice. Druhá volba podpisu by v určitých vzorcích převrátila znaménka (jako u normy zde). Tato volba není důležitá, ale jakmile bude provedena, musí být zachována konzistence.

Norma Minkowski je Lorentzův invariant, což znamená, že její hodnota se nemění Lorentzovými transformacemi / posílením do různých referenčních rámců. Obecněji, pro jakékoli dva čtyři momenty $str$ a $q$ , množství $str \cdot q$ je neměnný.

Vztah k rychlosti čtyř

U masivní částice je hybnost dána částicemi invariantní hmota m vynásobeno částicemi čtyřrychlostní,

{ displaystyle p ^ { mu} = mu ^ { mu},}

kde čtyři rychlosti $u$ je

{ displaystyle u = left (u ^ {0}, u ^ {1}, u ^ {2}, u ^ {3} right) = gamma _ {v} left (c, v_ {x} , v_ {y}, v_ {z} vpravo),}

a

{ displaystyle gamma _ {v} = { frac {1} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

je Lorentzův faktor (spojený s rychlostí $proti$ ), $C$ je rychlost světla.

Derivace

Existuje několik způsobů, jak dosáhnout správného výrazu pro čtyři momenty. Jedním ze způsobů je nejprve definovat čtyřrychlost $u = dx / dτ$ a jednoduše definovat $str = mu$ , přičemž je spokojený s tím, že se jedná o čtyři vektory se správnými jednotkami a správným chováním. Dalším, uspokojivějším přístupem je začít s zásada nejmenší akce a použijte Lagrangeový rámec odvodit čtyři momenty, včetně výrazu pro energii.^[1] Jeden může najednou pomocí pozorování popsaných níže definovat čtyři momenty z akce $S$ . Vzhledem k tomu, že obecně pro uzavřený systém s zobecněné souřadnice $q i$ a kanonický moment $str i$ ,^[2]

{ displaystyle p_ {i} = { frac { částečné S} { částečné q_ {i}}} = { frac { částečné S} { částečné x_ {i}}}, quad E = - { frac { částečné S} { částečné t}} = - c cdot { frac { částečné S} { částečné x_ {0}}},}

je okamžitý (připomíná $X 0 = ct, X 1 = X$ , $X 2 = y$ , $X 3 = z$ a $X 0 = - X 0$ , $X 1 = X 1$ , $X 2 = X 2$ , $X 3 = X 3$ v současné metrické konvenci)

{ displaystyle p _ { mu} = - { frac { částečné S} { částečné x ^ { mu}}} = vlevo ({E nad c}, - mathbf {p} vpravo)}

je kovarianční čtyřvektor, přičemž třívektorová část je (záporná) kanonické hybnosti.

Postřehy

Zvažte zpočátku systém jednoho stupně volnosti $q$ . V odvození pohybové rovnice z akce pomocí Hamiltonův princip, najdeme (obecně) v mezistupni pro variace akce,

{ displaystyle delta S = left. left [{ frac { částečné L} { částečné { dot {q}}}} delta q right] right | _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} left ({ frac { částečné L} { částečné q}} - { frac {d} {dt} } { frac { částečné L} { částečné { tečka {q}}}} doprava) delta qdt.}

Předpokládá se tedy, že různé cesty uspokojí $δq (t 1) = δq (t 2) = 0$ , z nichž Lagrangeovy rovnice následovat najednou. Když jsou známé pohybové rovnice (nebo se jednoduše předpokládá, že jsou splněny), lze požadavek pustit $δq (t 2) = 0$ . V tomto případě je cesta předpokládaný uspokojit pohybové rovnice a akce je funkcí horního integračního limitu $δq (t 2)$ , ale $t 2$ je stále opraven. Výše uvedená rovnice se stane s $S = S (q)$ a definování $δq (t 2) = δq$ a umožnění více stupňů svobody,

{ displaystyle delta S = součet _ {i} { frac { částečné L} { částečné { tečka {q}} _ {i}}} delta q_ {i} = součet _ {i} p_ {i} delta q_ {i}.}

To pozorujeme

{ displaystyle delta S = součet _ {i} { frac { částečné S} { částečné {q} _ {i}}} delta q_ {i},}

jeden uzavírá

{ displaystyle p_ {i} = { frac { částečné S} { částečné q_ {i}}}.}

Podobným způsobem udržujte koncové body pevné, ale nechte to $t 2 = t$ lišit se. Tentokrát je systému dovoleno pohybovat se konfiguračním prostorem „libovolnou rychlostí“ nebo s „více či méně energií“, přičemž se předpokládá, že polní rovnice stále platí a lze provádět variace na integrálu, ale místo toho pozorovat

{ displaystyle { frac {dS} {dt}} = L}

podle základní věta o počtu. Vypočítejte pomocí výše uvedeného výrazu pro kanonický moment,

{ displaystyle { frac {dS} {dt}} = { frac { částečné S} { částečné t}} + součet _ {i} { frac { částečné S} { částečné q_ {i} }} { dot {q}} _ {i} = { frac { částečný S} { částečný t}} + součet _ {i} p_ {i} { dot {q}} _ {i} = L.}

Nyní pomocí

{ displaystyle H = součet _ {i} p_ {i} { tečka {q}} _ {i} -L,}

kde $H$ je Hamiltonian, vede k, protože $E = H$ v projednávaném případě

{ displaystyle E = H = - { frac { částečné S} { částečné t}}.}

Mimochodem, pomocí $H = H (q, str, t)$ s $str = \partial S / \partial q$ ve výše uvedené rovnici se získá Hamilton – Jacobiho rovnice. V tomto kontextu, $S$ je nazýván Hamiltonova hlavní funkce.

Akce $S$ darováno

{ displaystyle S = -mc int ds = int Ldt, quad L = -mc ^ {2} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} },}

kde $L$ je relativistické Lagrangian pro volnou částici. Z tohoto,

glosování těchto detailů,

Variace akce je

{ displaystyle delta S = -mc int delta ds.}

Vypočítat $δds$ , pozorujte nejprve to $δds 2 = 2 dsδds$ a to

{ displaystyle delta ds ^ {2} = delta eta _ { mu nu} dx ^ { mu} dx ^ { nu} = eta _ { mu nu} vlevo ( delta left (dx ^ { mu} right) dx ^ { nu} + dx ^ { mu} delta left (dx ^ { nu} right) right) = 2 eta _ { mu nu} delta left (dx ^ { mu} right) dx ^ { nu}.}

Tak

{ displaystyle delta ds = eta _ { mu nu} delta dx ^ { mu} { frac {dx ^ { nu}} {ds}} = eta _ { mu nu} d delta x ^ { mu} { frac {dx ^ { nu}} {ds}},}

nebo

{ displaystyle delta ds = eta _ { mu nu} { frac {d delta x ^ { mu}} {d tau}} { frac {dx ^ { nu}} {cd tau}} d tau,}

a tudíž

{ displaystyle delta S = -m int eta _ { mu nu} { frac {d delta x ^ { mu}} {d tau}} { frac {dx ^ { nu} } {d tau}} d tau = -m int eta _ { mu nu} { frac {d delta x ^ { mu}} {d tau}} u ^ { nu} d tau = -m int eta _ { mu nu} left lbrack { frac {d} {d tau}} left ( delta x ^ { mu} u ^ { nu} right) - delta x ^ { mu} { frac {d} {d tau}} u ^ { nu} right rbrack d tau}

což je spravedlivé

{ displaystyle delta S = left [-mu _ { mu} delta x ^ { mu} right] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + m int _ {t_ {1 }} ^ {t_ {2}} delta x ^ { mu} { frac {du _ { mu}} {ds}} ds}

{ displaystyle delta S = left [-mu _ { mu} delta x ^ { mu} right] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + m int _ {t_ {1 }} ^ {t_ {2}} delta x ^ { mu} { frac {du _ { mu}} {ds}} ds = -mu _ { mu} delta x ^ { mu} = { frac { částečné S} { částečné x ^ { mu}}} delta x ^ { mu} = - p _ { mu} delta x ^ { mu},}

kde druhý krok využívá rovnice pole $du μ / ds = 0$ , $(δx μ) t 1 = 0$ , a $(δx μ) t 2 \equiv δx μ$ jak je uvedeno výše. Nyní porovnejte poslední tři výrazy, které chcete najít

{ displaystyle p ^ { mu} = - částečné ^ { mu} [S] = - { frac { částečné S} { částečné x _ { mu}}} = mu ^ { mu} = m left ({ frac {c} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}, { frac {v_ {x}} { sqrt { 1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}, { frac {v_ {y}} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} { c ^ {2}}}}}}, { frac {v_ {z}} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} vpravo) ,}

s normou $- m 2 C 2$ a známý výsledek relativistické energie,

${ displaystyle E = { frac {mc ^ {2}} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = m_ {r} c ^ { 2},}$

kde $m r$ je nyní nemoderní relativistická hmotnost, následuje. Přímým porovnáním výrazů pro hybnost a energii jeden má

${ displaystyle mathbf {p} = E { frac { mathbf {v}} {c ^ {2}}},}$

to platí i pro nehmotné částice. Srovnání výrazů pro energii a tři hybnosti a jejich vztah dává vztah energie a hybnosti,

${ displaystyle { frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} = mathbf {p} cdot mathbf {p} + m ^ {2} c ^ {2}.}$

Střídání

{ displaystyle p _ { mu} leftrightarrow - { frac { částečné S} { částečné x ^ { mu}}}}

v rovnici pro normu dává relativistické Hamilton-Jacobiho rovnice,^[3]

${ displaystyle eta ^ { mu nu} { frac { částečné S} { částečné x ^ { mu}}} { frac { částečné S} { částečné x ^ { nu}}} = -m ^ {2} c ^ {2}.}$

Výsledky je také možné odvodit přímo z Lagrangeovy. Podle definice,^[4]

{ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {p} & = { frac { částečné L} { částečné mathbf {v}}} = vlevo ({ částečné L přes částečné { tečka { x}}}, { částečná L nad částečná { tečka {y}}}, { částečná L nad částečná { tečka {z}}} doprava) = m ( gamma v_ {x} , gamma v_ {y}, gamma v_ {z}) = m gamma mathbf {v} = m mathbf {u}, E & = mathbf {p} cdot mathbf {v} -L = { frac {mc ^ {2}} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}, end {zarovnáno}}}

které tvoří standardní vzorce pro kanonickou hybnost a energii uzavřeného (časově nezávislého Lagrangeova) systému. S tímto přístupem je méně jasné, že energie a hybnost jsou části čtyřvektoru.

Energie a hybnost jsou samostatně konzervováno množství pro izolované systémy v Lagrangeově rámci. Proto je zachována také hybnost čtyř. Více o tom níže.

Více přístupů pro chodce zahrnuje očekávané chování v elektrodynamice.^[5] V tomto přístupu je výchozím bodem aplikace Lorentzův silový zákon a Newtonův druhý zákon v klidovém rámci částice. Transformační vlastnosti tenzoru elektromagnetického pole, včetně invariance elektrický náboj, se pak použijí k transformaci do laboratorního rámce a výsledný výraz (opět Lorentzův silový zákon) je interpretován v duchu druhého Newtonova zákona, což vede ke správnému výrazu pro relativistickou tříkombinaci. Nevýhodou samozřejmě je, že není okamžitě jasné, že výsledek platí pro všechny částice, ať už nabité nebo ne, a že neposkytuje úplný čtyřvektor.

Je také možné se vyhnout elektromagnetismu a použít dobře vyladěné experimenty myšlení zahrnující dobře vyškolené fyziky házející kulečníkové koule, využívající znalosti o vzorec přidání rychlosti a za předpokladu zachování hybnosti.^[6]^[7] To také dává pouze třívektorovou část.

Zachování čtyř hybnosti

Jak je uvedeno výše, existují tři zákony zachování (ne nezávislé, poslední dva znamenají první a naopak):

Čtyřihybnost $str$ (kovariantní nebo kontravariantní) je zachována.
Celkem energie $E = str 0 C$ je zachována.
The 3-prostor hybnost ${ displaystyle mathbf {p} = (p ^ {1}, p ^ {2}, p ^ {3})}$ je zachována (nezaměňovat s klasickou nerelativistickou hybností ${ displaystyle m mathbf {v}}$ ).

Všimněte si, že invariantní hmotnost soustavy částic může být větší než součet zbytkových hmotností částic, protože Kinetická energie v rámu těžiště systému a potenciální energie ze sil mezi částicemi přispívá k neměnné hmotnosti. Jako příklad dvě částice se čtyřmi momenty (5 GeV /C, 4 GeV /C, 0, 0) a (5 GeV /C, - 4 GeV /C, 0, 0) každý má (zbytek) hmotnost 3 GeV /C² samostatně, ale jejich celková hmotnost (hmotnost systému) je 10 GeV /C². Pokud by se tyto částice srazily a přilepily, hmotnost složeného objektu by byla 10 GeV /C².

Jedna praktická aplikace od částicová fyzika zachování invariantní hmota zahrnuje kombinaci čtyř momentů $str A$ a $str B$ dvou dceřiných částic vznikajících při rozpadu těžší částice se čtyřmi momenty $str C$ najít hmotnost těžší částice. Zachování čtyř hybnosti dává $str C μ = str A μ + str B μ$ , zatímco hmota $M$ těžší částice je dáno $- P C \cdot P C = M 2 C 2$ . Měřením energií a tří momentů dceřiných částic lze rekonstruovat invariantní hmotu systému dvou částic, která se musí rovnat $M$ . Tato technika se používá např. Při experimentálním hledání Z 'bosony na vysokoenergetické částice urychlovače kde by se Z 'boson ukázal jako boule v neměnném hmotnostním spektru elektron –pozitron nebo mion –Imunitní páry.

Pokud se hmotnost objektu nezmění, Minkowského vnitřní produkt jeho čtyř-hybnosti a odpovídající čtyřrychlost $A μ$ je prostě nula. Čtyřrychlení je úměrné správné časové derivaci čtyř hybnosti dělené hmotou částice, takže

{ displaystyle p ^ { mu} A _ { mu} = eta _ { mu nu} p ^ { mu} A ^ { nu} = eta _ { mu nu} p ^ { mu} { frac {d} {d tau}} { frac {p ^ { nu}} {m}} = { frac {1} {2m}} { frac {d} {d tau }} p cdot p = { frac {1} {2m}} { frac {d} {d tau}} left (-m ^ {2} c ^ {2} right) = 0.}

Kanonická hybnost za přítomnosti elektromagnetického potenciálu

Pro nabitá částice z nabít $q$ , pohybující se v elektromagnetickém poli daném elektromagnetický čtyř potenciál:

{ displaystyle A = left (A ^ {0}, A ^ {1}, A ^ {2}, A ^ {3} right) = left ({ phi over c}, A_ {x} , A_ {y}, A_ {z} vpravo)}

kde $Φ$ je skalární potenciál a $A = (A X, A y, A z)$ the vektorový potenciál, součásti (ne měřidlo-invariantní ) kanonická hybnost čtyři vektory $P$ je

{ displaystyle P ^ { mu} = p ^ { mu} + qA ^ { mu}. !}

To zase umožňuje potenciální energii z nabité částice v elektrostatickém potenciálu a Lorentzova síla na nabitou částici pohybující se v magnetickém poli, která má být začleněna kompaktním způsobem, v relativistická kvantová mechanika.

Viz také

Reference

^ Landau & Lifshitz 2002, s. 25–29
^ Landau & Lifshitz 1975, s. 139
^ Landau & Lifshitz 1975, str. 30
^ Landau & Lifshitz 1975, s. 15–16
^ Sard 1970, Oddíl 3.1
^ Sard 1970, Oddíl 3.2
^ Lewis & Tolman 1909 Verze Wikisource

Goldstein, Herbert (1980). Klasická mechanika (2. vyd.). Reading, Mass .: Addison – Wesley Pub. Co. ISBN 978-0201029185.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975) [1939]. Mechanika. Z ruštiny přeložili J. B. Sykes a J. S. Bell. (3. vyd.). Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Landau, L.D .; Lifshitz, E.M. (2000). Klasická teorie polí. 4. rev. Anglické vydání, přetištěno s opravami; přeložil z ruštiny Morton Hamermesh. Oxford: Butterworth Heinemann. ISBN 9780750627689.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2. vyd.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Sard, R. D. (1970). Relativistická mechanika - speciální relativita a dynamika klasických částic. New York: W. A. Benjamin. ISBN 978-0805384918.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Lewis, G. N.; Tolman, R. C. (1909). „Princip relativity a nenewtonská mechanika“. Phil. Mag. 6. 18 (106): 510–523. doi:10.1080/14786441008636725.CS1 maint: ref = harv (odkaz) Verze Wikisource

[1] Landau & Lifshitz 2002, s. 25–29

[2] Landau & Lifshitz 1975, s. 139

[3] Landau & Lifshitz 1975, str. 30

[4] Landau & Lifshitz 1975, s. 15–16

[5] Sard 1970, Oddíl 3.1

[6] Sard 1970, Oddíl 3.2

[7] Lewis & Tolman 1909 Verze Wikisource

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]