Věta Le Cams - Le Cams theorem - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Le Camova věta, pojmenoval podle Lucien Le Cam (1924 - 2000), uvádí následující.^[1][2][3]

Předpokládat:

• ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, ldots}$ jsou nezávislý náhodné proměnné, každý s a Bernoulliho distribuce (tj. rovno 0 nebo 1), nemusí být nutně identicky distribuovány.
• ${ displaystyle P (X_ {i} = 1) = p_ {i}, { text {pro}} i = 1,2,3, ldots.}$
• ${ displaystyle lambda _ {n} = p_ {1} + cdots + p_ {n}.}$
• ${ displaystyle S_ {n} = X_ {1} + cdots + X_ {n}.}$ (tj. ${ displaystyle S_ {n}}$ následuje a Poissonovo binomické rozdělení )

Pak

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} left | Pr (S_ {n} = k) - { lambda _ {n} ^ {k} e ^ {- lambda _ {n }} nad k!} vpravo | <2 vlevo ( sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {2} vpravo).}$

Jinými slovy, součet má přibližně a Poissonovo rozdělení a výše uvedená nerovnost ohraničuje chybu aproximace z hlediska celková variační vzdálenost.

Nastavením p_i = λ_n/n, vidíme, že to zobecňuje obvyklé Poissonova limitní věta.

Když ${ displaystyle lambda _ {n}}$ je velký, je lépe vázán: ${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} left | Pr (S_ {n} = k) - { lambda _ {n} ^ {k} e ^ {- lambda _ {n }} nad k!} vpravo | <2 vlevo (1 klín { frac {1} { lambda}} _ {n} vpravo) vlevo ( sum _ {i = 1} ^ {n } p_ {i} ^ {2} vpravo).}$ ^[4]

Je také možné oslabit požadavek nezávislosti.^[4]

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Nerovnost Le Cam“. MathWorld.