Negativní hypergeometrická distribuce - Negative hypergeometric distribution - Wikipedia

Negativní hypergeometrický

Funkce pravděpodobnostní hmotnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle N in left {0,1,2, dots right }}$ - celkový počet prvků ${ displaystyle K in left {0,1,2, dots, N right }}$ - celkový počet prvků „úspěchu“ ${ displaystyle r in left {0,1,2, dots, N-K right }}$ - počet poruch při zastavení experimentu
Podpěra, podpora	${ displaystyle k in left {0, , dots, , K right }}$ - počet úspěchů při zastavení experimentu.
PMF	${ displaystyle { frac {{{k + r-1} zvolit {k}} {{N-r-k} zvolit {K-k}}} {N zvolit K}}}$
Znamenat	${ displaystyle r { frac {K} {N-K + 1}}}$
Rozptyl	${ displaystyle r { frac {(N + 1) K} {(N-K + 1) (N-K + 2)}} [1 - { frac {r} {N-K + 1}}] }$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, negativní hypergeometrická distribuce popisuje pravděpodobnosti při vzorkování z konečné populace bez náhrady, ve které lze každý vzorek klasifikovat do dvou vzájemně se vylučujících kategorií, jako je Pass / Fail, Male / Female nebo Employed / Unemployed. Jelikož se z populace provádí náhodný výběr, každé další losování snižuje populaci, což způsobuje, že se pravděpodobnost úspěchu s každým losováním změní. Na rozdíl od standardu hypergeometrická distribuce, který popisuje počet úspěchů při pevné velikosti vzorku, při negativní hypergeometrické distribuci se vzorky kreslí do ${ displaystyle r}$ byly nalezeny poruchy a distribuce popisuje pravděpodobnost zjištění ${ displaystyle k}$ úspěchy v takovém vzorku. Jinými slovy, negativní hypergeometrické rozdělení popisuje pravděpodobnost ${ displaystyle k}$ úspěchy ve vzorku s přesně ${ displaystyle r}$ selhání.

Definice

Existují ${ displaystyle N}$ prvky, z toho ${ displaystyle K}$ jsou definovány jako „úspěchy“ a zbytek jsou „neúspěchy“.

Prvky se kreslí jeden po druhém, bez výměny, do ${ displaystyle r}$ došlo k selhání. Poté se kreslení zastaví a číslo ${ displaystyle k}$ úspěchů se počítá. Negativní hypergeometrická distribuce, ${ displaystyle NHG_ {N, K, r} (k)}$ je diskrétní distribuce z toho ${ displaystyle k}$.

^[1]

Výsledek vyžaduje pozorování ${ displaystyle k}$ úspěchy v ${ displaystyle (k + r-1)}$ kreslí a ${ displaystyle (k + r) { text {-th}}}$ bit musí být selhání. Pravděpodobnost první z nich lze zjistit přímou aplikací hypergeometrická distribuce ${ displaystyle (HG_ {N, K, k + r-1} (k))}$ a pravděpodobnost druhé je jednoduše počet zbývajících poruch ${ displaystyle (= N-K- (r-1))}$ děleno velikostí zbývající populace ${ displaystyle (= N- (k + r-1)}$. Pravděpodobnost mít přesně ${ displaystyle k}$ úspěchy až do ${ displaystyle r { text {-th}}}$ selhání (tj. kreslení se zastaví, jakmile vzorek obsahuje předdefinovaný počet ${ displaystyle r}$ selhání) je pak produktem těchto dvou pravděpodobností:

${ displaystyle { frac {{ binom {K} {k}} { binom {NK} {k + r-1-k}}} { binom {N} {k + r-1}}} cdot { frac {NK- (r-1)} {N- (k + r-1)}} = { frac {{{{k + r-1} zvolit {k}} {{Nrk} zvolit {Kk}}} {N zvolte K}}.}$

Proto a náhodná proměnná sleduje negativní hypergeometrické rozdělení, pokud je funkce pravděpodobnostní hmotnosti (pmf) je dáno

${ displaystyle f (k; N, K, r) equiv Pr (X = k) = { frac {{{{k + r-1} zvolit {k}} {{Nrk} zvolit {Kk} }} {N zvolte K}} quad { text {pro}} k = 0,1,2, dotsc, K}$

kde

• ${ displaystyle N}$ je velikost populace,
• ${ displaystyle K}$ je počet úspěšných států v populaci,
• ${ displaystyle r}$ je počet poruch,
• ${ displaystyle k}$ je počet pozorovaných úspěchů,
• ${ displaystyle a vyberte b}$ je binomický koeficient

Podle návrhu je pravděpodobnost součtu až 1. Avšak v případě, že to chceme explicitně ukázat, máme:

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {K} Pr (X = k) = sum _ {k = 0} ^ {K} { frac {{{k + r-1} zvolit { k}} {{Nrk} zvolit {Kk}}} {N zvolit K}} = { frac {1} {N zvolit K}} součet _ {k = 0} ^ {K} {{k + r-1} zvolit {k}} {{Nrk} zvolit {Kk}} = { frac {1} {N zvolit K}} {N zvolit K} = 1,}$

kde jsme to použili,

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {j + m} {j}} { binom {nmj} {kj}} & = sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j} { binom {-m} {j}} (- 1) ^ {kj} { binom {kn - (- m)} {kj}} & = (- 1) ^ {k} { binom {kn} {k}} = (- 1) ^ {k} { binom {k- (n + 1) -1} {k}} = { binom {n + 1} {k}}, end {zarovnáno}}}$

které lze odvodit pomocí binomická identita, ${ displaystyle {{n zvolit k} = (- 1) ^ {k} {k-n-1 zvolit k}}}$a Chu – Vandermonde identita, ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {m} {j}} { binom {n-m} {k-j}} = { binom {n} {k}}}$, který platí pro všechny komplexní hodnoty ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ a jakékoli nezáporné celé číslo ${ displaystyle k}$.

Vztah ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {j + m} {j}} { binom {nmj} {kj}} = { binom {n + 1} {k}} }$ lze také zjistit zkoumáním koeficientu ${ displaystyle x ^ {k}}$ v expanzi ${ displaystyle { frac {1} {(1-x) ^ {m + 1}}} { frac {1} {(1-x) ^ {nm-k + 1}}} = { frac { 1} {(1-x) ^ {n-k + 2}}}}$, použitím Newtonova binomická řada.

Očekávání

Při počítání čísla ${ displaystyle k}$ úspěchů dříve ${ displaystyle r}$ selhání, očekávaný počet úspěchů je ${ displaystyle { frac {rK} {N-K + 1}}}$ a lze je odvodit následovně.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} E [X] & = součet _ {k = 0} ^ {K} k Pr (X = k) = součet _ {k = 0} ^ {K} k { frac {{{k + r-1} zvolit {k}} {{Nrk} zvolit {Kk}}} {N zvolit K}} = { frac {r} {N zvolit K}} left [ sum _ {k = 0} ^ {K} { frac {(k + r)} {r}} {{k + r-1} choose {r-1}} {{Nrk} choose {Kk}} right] -r & = { frac {r} {N zvolte K}} doleva [ sum _ {k = 0} ^ {K} {{k + r} zvolit { r}} {{Nrk} zvolit {Kk}} doprava] -r = { frac {r} {N zvolit K}} doleva [ součet _ {k = 0} ^ {K} {{k + r} zvolit {k}} {{Nrk} zvolit {Kk}} doprava] -r & = { frac {r} {N zvolit K}} doleva [{{N + 1} zvolte K} vpravo] -r = { frac {rK} {N-K + 1}}, end {zarovnáno}}}$

kde jsme použili vztah ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {j + m} {j}} { binom {nmj} {kj}} = { binom {n + 1} {k}} }$, které jsme odvodili výše, abychom ukázali, že negativní hypergeometrická distribuce byla správně normalizována.

Rozptyl

Rozptyl lze odvodit následujícím výpočtem.

${ displaystyle { begin {aligned} E [X ^ {2}] & = sum _ {k = 0} ^ {K} k ^ {2} Pr (X = k) = left [ sum _ {k = 0} ^ {K} (k + r) (k + r + 1) Pr (X = k) vpravo] - (2r + 1) E [X] -r ^ {2} -r & = { frac {r (r + 1)} {N zvolit K}} doleva [ sum _ {k = 0} ^ {K} {{k + r + 1} zvolit {k + 1 }} {{N + 1- (r + 1) -k} zvolte {Kk}} doprava] - (2r + 1) E [X] -r ^ {2} -r & = { frac {r (r + 1)} {N zvolte K}} vlevo [{{N + 2} vyberte K} vpravo] - (2r + 1) E [X] -r ^ {2} -r = { frac {rK (N-r + Kr + 1)} {(N-K + 1) (N-K + 2)}} end {zarovnáno}}}$

Pak je rozptyl ${ displaystyle { textrm {Var}} [X] = E [X ^ {2}] - vlevo (E [X] vpravo) ^ {2} = { frac {rK (N + 1) (NK -r + 1)} {(N-K + 1) ^ {2} (N-K + 2)}}}$

Související distribuce

Pokud se kresba zastaví po konstantním počtu ${ displaystyle n}$ remíz (bez ohledu na počet neúspěchů), pak počet úspěchů má hypergeometrická distribuce, ${ displaystyle HG_ {N, K, n} (k)}$. Tyto dvě funkce souvisí následujícím způsobem:^[1]

${ displaystyle NHG_ {N, K, r} (k) = 1-HG_ {N, N-K, k + r} (r-1)}$

Negativní hypergeometrická distribuce (jako hypergeometrická distribuce) se zabývá remízami bez výměny, takže pravděpodobnost úspěchu je v každém losování odlišná. Naproti tomu negativní binomické rozdělení (jako binomické rozdělení) se zabývá remízami s výměnou, takže pravděpodobnost úspěchu je stejná a zkoušky jsou nezávislé. Následující tabulka shrnuje čtyři distribuce související s položkami výkresu:

Reference