Singulární hodnota - Singular value - Wikipedia

v matematika, zejména funkční analýza, singulární hodnotynebo s-čísla a kompaktní operátor T : X → Y jednající mezi Hilbertovy prostory X a Y, jsou odmocniny nezáporných vlastní čísla samoobslužného operátora T^*T (kde T^* označuje adjoint z T).

Singulární hodnoty jsou nezáporné reálná čísla, obvykle uvedeny v sestupném pořadí (s₁(T), s₂(T),…). Největší singulární hodnota s₁(T) se rovná norma operátora z T (vidět Věta o min-max ).

Vizualizace a rozklad singulární hodnoty (SVD) dvourozměrného, skutečného střižná matice M. Nejprve vidíme jednotka disku modře spolu s těmi dvěma kanonické jednotkové vektory. Pak vidíme akci M, který deformuje disk na elipsa. SVD se rozkládá M do tří jednoduchých transformací: a otáčení PROTI^*, a škálování Σ podél otočených souřadnicových os a druhé otočení U. Σ je diagonální matice obsahující ve své úhlopříčce singulární hodnoty M, které představují délky σ₁ a σ₂ z poloosy elipsy.

Li T působí na euklidovský prostor Rⁿ, existuje jednotná geometrická interpretace singulárních hodnot: Zvažte obrázek pomocí T z jednotková koule; tohle je elipsoid a délky jeho poloos jsou singulární hodnoty T (obrázek poskytuje příklad v R²).

Singulární hodnoty jsou absolutní hodnoty vlastní čísla a normální matice A, protože spektrální věta lze použít k získání jednotné diagonalizace A tak jako A = UΛU^*. Proto, ${ displaystyle { sqrt {A ^ {*} A}} = { sqrt {U Lambda ^ {2} U ^ {*}}} = U | Lambda | U ^ {*}}$ .

Většina normy na studovaných operátorech Hilberta jsou definovány pomocí s-čísla. Například Ky Fan -k-norm je součet prvních k singulární hodnoty, stopová norma je součtem všech singulárních hodnot a Schattenova norma je pkořen součtu pth mocniny singulárních hodnot. Všimněte si, že každá norma je tedy definována pouze na speciální třídě operátorů s-čísla jsou užitečná při klasifikaci různých operátorů.

V případě konečných rozměrů a matice lze vždy rozložit ve formě UΣPROTI^*, kde U a PROTI^* jsou unitární matice a Σ je diagonální matice přičemž singulární hodnoty leží na úhlopříčce. To je rozklad singulární hodnoty.

Základní vlastnosti

Pro ${ displaystyle A in mathbb {C} ^ {m krát n},}$ a ${ displaystyle i = 1,2, ldots, min {m, n }}$ .

Věta o min-max pro singulární hodnoty. Tady ${ displaystyle U: dim (U) = i}$ je podprostor o ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ dimenze ${ displaystyle i}$ .

{ displaystyle { begin {zarovnáno} sigma _ {i} (A) & = min _ { dim (U) = n-i + 1} max _ { podmnožina { | x | _ { 2} = 1} {x in U}} left | Axe right | _ {2}. sigma _ {i} (A) & = max _ { dim (U) = i } min _ { underset { | x | _ {2} = 1} {x in U}} left | Axe right | _ {2}. end {aligned}}}

Transpozice a konjugace matice nemění singulární hodnoty.

{ displaystyle sigma _ {i} (A) = sigma _ {i} vlevo (A ^ { textyf {T}} vpravo) = sigma _ {i} vlevo (A ^ {*} right) = sigma _ {i} left ({ bar {A}} right).}

Pro každého unitáře ${ displaystyle U in mathbb {C} ^ {m krát m}, V in mathbb {C} ^ {n krát n}.}$

{ displaystyle sigma _ {i} (A) = sigma _ {i} (UAV).}

Vztah k vlastním číslům:

{ displaystyle sigma _ {i} ^ {2} (A) = lambda _ {i} levá (AA ^ {*} pravá) = lambda _ {i} levá (A ^ {*} A že jo).}

Nerovnosti o singulárních hodnotách

Viz také ^[1].

Singulární hodnoty dílčích matic

Pro ${ displaystyle A in mathbb {C} ^ {m krát n}.}$

Nechat ${ displaystyle B}$ označit ${ displaystyle A}$ s jednou z jeho řad nebo sloupce smazány. Pak
${ displaystyle sigma _ {i + 1} (A) leq sigma _ {i} (B) leq sigma _ {i} (A)}$
Nechat ${ displaystyle B}$ označit ${ displaystyle A}$ s jednou z jeho řad a sloupce smazány. Pak
${ displaystyle sigma _ {i + 2} (A) leq sigma _ {i} (B) leq sigma _ {i} (A)}$
Nechat ${ displaystyle B}$ označit ${ displaystyle (m-k) krát (n-l)}$ submatice ${ displaystyle A}$ . Pak
${ displaystyle sigma _ {i + k + l} (A) leq sigma _ {i} (B) leq sigma _ {i} (A)}$

Singulární hodnoty ${ displaystyle A + B}$

Pro ${ displaystyle A, B in mathbb {C} ^ {m krát n}}$

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} (A + B) leq sum _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} (A) + sigma _ {i} (B), quad k = min {m, n }}$
${ displaystyle sigma _ {i + j-1} (A + B) leq sigma _ {i} (A) + sigma _ {j} (B). quad i, j in mathbb { N}, i + j-1 leq min {m, n }}$

Singulární hodnoty ${ displaystyle AB}$

Pro ${ displaystyle A, B in mathbb {C} ^ {n krát n}}$

${ displaystyle { begin {zarovnáno} prod _ {i = n} ^ {i = n-k + 1} sigma _ {i} (A) sigma _ {i} (B) & leq prod _ {i = n} ^ {i = n-k + 1} sigma _ {i} (AB) prod _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} (AB) & leq prod _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} (A) sigma _ {i} (B), součet _ {i = 1} ^ {k} sigma _ { i} ^ {p} (AB) & leq sum _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} ^ {p} (A) sigma _ {i} ^ {p} (B) , end {zarovnáno}}}$
${ displaystyle sigma _ {n} (A) sigma _ {i} (B) leq sigma _ {i} (AB) leq sigma _ {1} (A) sigma _ {i} ( B) quad i = 1,2, ldots, n.}$

Pro ${ displaystyle A, B in mathbb {C} ^ {m krát n}}$ ^[2]

{ displaystyle 2 sigma _ {i} (AB ^ {*}) leq sigma _ {i} vlevo (A ^ {*} A + B ^ {*} B vpravo), quad i = 1 , 2, ldots, n.}

Singulární hodnoty a vlastní hodnoty

Pro ${ displaystyle A in mathbb {C} ^ {n krát n}}$ .

Vidět^[3]
${ Displaystyle lambda _ {i} vlevo (A + A ^ {*} vpravo) leq 2 sigma _ {i} (A), quad i = 1,2, ldots, n.}$
Převzít ${ displaystyle left | lambda _ {1} (A) right | geq cdots geq left | lambda _ {n} (A) right |}$ ${ displaystyle left | lambda _ {1} (A) right | geq cdots geq left | lambda _ {n} (A) right |}$ . Pak pro ${ displaystyle k = 1,2, ldots, n}$ ${ displaystyle k = 1,2, ldots, n}$ :
1. Weylova věta
  ${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {k} vlevo | lambda _ {i} (A) vpravo | leq prod _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} (A).}$
2. Pro ${ displaystyle p> 0}$ .
  ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} vlevo | lambda _ {i} ^ {p} (A) vpravo | leq sum _ {i = 1} ^ {k} sigma _ {i} ^ {p} (A).}$

Dějiny

Tento koncept představil Erhard Schmidt v roce 1907. Schmidt v té době nazval singulární hodnoty „vlastní čísla“. Název „singulární hodnota“ poprvé citoval Smithies v roce 1937. V roce 1957 Allahverdiev prokázal následující charakterizaci nth s-číslo ^[1]:

{ displaystyle s_ {n} (T) = inf { big {} , | TL |: L { text {je operátor konečné pozice}}

Tato formulace umožnila rozšířit pojem s- čísla operátorům v Banachův prostor.

Viz také

Reference

^ R.A. Horn a C.R. Johnson. Témata maticové analýzy. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3
^ X. Zhan. Maticové nerovnosti. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. s. 28
^ R. Bhatia. Maticová analýza. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1

^ I. C. Gohberg a M. G. Kerin. Úvod do teorie lineárních nesousedních operátorů. Americká matematická společnost, Providence, RI, 1969. Z ruštiny přeložil A. Feinstein. Překlady matematických monografií, sv. 18.

[1] R.A. Horn a C.R. Johnson. Témata maticové analýzy. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3

[2] X. Zhan. Maticové nerovnosti. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. s. 28

[3] R. Bhatia. Maticová analýza. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1

[1]

[2]

[3]

[1]