Centrální limitní věta pro směrovou statistiku - Central limit theorem for directional statistics

v teorie pravděpodobnosti, teorém centrálního limitu uvádí podmínky, za kterých průměr dostatečně velkého počtu nezávislý náhodné proměnné, každý s konečným průměrem a rozptylem, bude přibližně normálně distribuováno.^[1]

Směrová statistika je subdisciplína statistika který se zabývá směry (jednotkové vektory v Rⁿ), sekery (prochází počátkem v Rⁿ) nebo rotace v Rⁿ. Prostředky a odchylky směrových veličin jsou všechny konečné, takže centrální limitní věta může být použita pro konkrétní případ směrových statistik.^[2]

Tento článek se bude zabývat pouze jednotkovými vektory ve 2-dimenzionálním prostoru (R²), ale popsanou metodu lze rozšířit na obecný případ.

Centrální limitní věta

Ukázka úhlů ${ displaystyle theta _ {i}}$ jsou měřeny a protože jsou neurčité v rámci faktoru ${ displaystyle 2 pi}$, komplexní určité množství ${ displaystyle z_ {i} = e ^ {i theta _ {i}} = cos ( theta _ {i}) + i sin ( theta _ {i})}$ se používá jako náhodná proměnná. Distribuci pravděpodobnosti, ze které je vzorek čerpán, lze charakterizovat jeho momenty, které lze vyjádřit v kartézské a polární formě:

${ displaystyle m_ {n} = E (z ^ {n}) = C_ {n} + iS_ {n} = R_ {n} e ^ {i theta _ {n}} ,}$

Z toho vyplývá, že:

${ displaystyle C_ {n} = E ( cos (n theta)) ,}$

${ displaystyle S_ {n} = E ( sin (n theta)) ,}$

${ displaystyle R_ {n} = | E (z ^ {n}) | = { sqrt {C_ {n} ^ {2} + S_ {n} ^ {2}}} ,}$

${ displaystyle theta _ {n} = arg (E (z ^ {n})) ,}$

Ukázkové momenty pro N pokusy jsou:

${ displaystyle { overline {m_ {n}}} = { frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} z_ {i} ^ {n} = { overline {C_ {n}}} + i { overline {S_ {n}}} = { overline {R_ {n}}} e ^ {i { overline { theta _ {n}}}}}$

kde

${ displaystyle { overline {C_ {n}}} = { frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} cos (n theta _ {i})}$

${ displaystyle { overline {S_ {n}}} = { frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} sin (n theta _ {i})}$

${ displaystyle { overline {R_ {n}}} = { frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} | z_ {i} ^ {n} |}$

${ displaystyle { overline { theta _ {n}}} = { frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} arg (z_ {i} ^ {n}) }$

Vektor [${ displaystyle { overline {C_ {1}}}, { overline {S_ {1}}}}$] lze použít jako reprezentaci střední hodnoty vzorku ${ displaystyle ({ overline {m_ {1}}})}$ a může být bráno jako dvojrozměrná náhodná variace.^[2] Bivariát teorém centrálního limitu uvádí, že společné rozdělení pravděpodobnosti pro ${ displaystyle { overline {C_ {1}}}}$ a ${ displaystyle { overline {S_ {1}}}}$ v limitu velkého počtu vzorků je dáno:

${ displaystyle [{ overline {C_ {1}}}, { overline {S_ {1}}}] { xrightarrow {d}} { mathcal {N}} ([C_ {1}, S_ {1 }], Sigma / N)}$

kde ${ displaystyle { mathcal {N}} ()}$ je rozdělit normální rozdělení a ${ displaystyle Sigma}$ je kovarianční matice pro kruhové rozdělení:

${ displaystyle Sigma = { begin {bmatrix} sigma _ {CC} & sigma _ {CS} sigma _ {SC} & sigma _ {SS} end {bmatrix}} quad}$

${ displaystyle sigma _ {CC} = E ( cos ^ {2} theta) -E ( cos theta) ^ {2} ,}$

${ displaystyle sigma _ {CS} = sigma _ {SC} = E ( cos theta sin theta) -E ( cos theta) E ( sin theta) ,}$

${ displaystyle sigma _ {SS} = E ( sin ^ {2} theta) -E ( sin theta) ^ {2} ,}$

Všimněte si, že dvojrozměrné normální rozdělení je definováno po celé rovině, zatímco průměr je omezen tak, aby byl v jednotkové kouli (na nebo uvnitř jednotkové kružnice). To znamená, že integrál omezujícího (dvojrozměrného normálního) rozdělení po jednotkové kouli se nebude rovnat jednotě, ale bude se blížit jednotě jako N blíží se nekonečnu.

Je žádoucí uvést omezující dvojrozměrné rozdělení z hlediska momentů rozdělení.

Kovarianční matice z hlediska momentů

Použití více úhlů trigonometrické identity^[2]

${ displaystyle C_ {2} = E ( cos (2 theta)) = E ( cos ^ {2} theta -1) = E (1- sin ^ {2} theta) ,}$

${ displaystyle S_ {2} = E ( sin (2 theta)) = E (2 cos theta sin theta) ,}$

Z toho vyplývá, že:

${ displaystyle sigma _ {CC} = E ( cos ^ {2} theta) -E ( cos theta) ^ {2} = { frac {1} {2}} vlevo (1 + C_ {2} -2C_ {1} ^ {2} vpravo)}$

${ displaystyle sigma _ {CS} = E ( cos theta sin theta) -E ( cos theta) E ( sin theta) = { frac {1} {2}} vlevo ( S_ {2} -2C_ {1} S_ {1} vpravo)}$

${ displaystyle sigma _ {SS} = E ( sin ^ {2} theta) -E ( sin theta) ^ {2} = { frac {1} {2}} vlevo (1-C_ {2} -2S_ {1} ^ {2} vpravo)}$

Kovarianční matice je nyní vyjádřena jako momenty kruhového rozdělení.

Centrální limitní věta může být také vyjádřena pomocí polárních složek průměru. Li ${ displaystyle P ({ overline {C_ {1}}}, { overline {S_ {1}}}) d { overline {C_ {1}}} d { overline {S_ {1}}}}$ je pravděpodobnost nalezení průměru v plošném prvku ${ displaystyle d { overline {C_ {1}}} d { overline {S_ {1}}}}$, pak tato pravděpodobnost může být také zapsána ${ displaystyle P ({ overline {R_ {1}}} cos ({ overline { theta _ {1}}}), { overline {R_ {1}}} sin ({ overline { theta _ {1}}})) { overline {R_ {1}}} d { overline {R_ {1}}} d { overline { theta _ {1}}}}$.

Reference