Vícerozměrná Paretova distribuce - Multivariate Pareto distribution - Wikipedia

v statistika, a vícerozměrná Paretova distribuce je vícerozměrné rozšíření univariate Paretova distribuce.^[1]

Existuje několik různých typů jednorozměrných distribucí Pareto včetně Pareto typy I-IV a Feller - Pareto.^[2] Pro mnoho z těchto typů byly definovány vícerozměrné distribuce Pareto.

Bivariate Pareto distribuce

Bivariate Paretova distribuce prvního druhu

Mardia (1962)^[3] definoval dvojrozměrné rozdělení s funkcí kumulativní distribuce (CDF) dané

${ displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}) = 1- součet _ {i = 1} ^ {2} vlevo ({ frac {x_ {i}} { theta _ {i}} } right) ^ {- a} + left ( sum _ {i = 1} ^ {2} { frac {x_ {i}} { theta _ {i}}} - 1 right) ^ { -a}, qquad x_ {i}> theta _ {i}> 0, i = 1,2; a> 0,}$

a funkce hustoty kloubů

${ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = (a + 1) a ( theta _ {1} theta _ {2}) ^ {a + 1} ( theta _ {2} x_ {1} + theta _ {1} x_ {2} - theta _ {1} theta _ {2}) ^ {- (a + 2)}, qquad x_ {i} geq theta _ { i}> 0, i = 1,2; a> 0.}$

Okrajové rozdělení je Paretův typ 1 s funkcemi hustoty

${ displaystyle f (x_ {i}) = a theta _ {i} ^ {a} x_ {i} ^ {- (a + 1)}, qquad x_ {i} geq theta _ {i} > 0, i = 1,2.}$

Prostředky a odchylky mezních rozdělení jsou

${ displaystyle E [X_ {i}] = { frac {a theta _ {i}} {a-1}}, a> 1; quad Var (X_ {i}) = { frac {a theta _ {i} ^ {2}} {(a-1) ^ {2} (a-2)}}, a> 2; quad i = 1,2,}$

a pro A > 2, X₁ a X₂ jsou pozitivně korelovány s

${ displaystyle operatorname {cov} (X_ {1}, X_ {2}) = { frac { theta _ {1} theta _ {2}} {(a-1) ^ {2} (a- 2)}}, { text {and}} operatorname {cor} (X_ {1}, X_ {2}) = { frac {1} {a}}.}$

Bivariate Paretova distribuce druhého druhu

Arnold^[4] navrhuje reprezentovat dvojrozměrný Pareto typu I doplňkového CDF pomocí

${ displaystyle { overline {F}} (x_ {1}, x_ {2}) = left (1+ sum _ {i = 1} ^ {2} { frac {x_ {i} - theta _ {i}} { theta _ {i}}} vpravo) ^ {- a}, qquad x_ {i}> theta _ {i}, i = 1,2.}$

Pokud se parametr umístění a měřítka může lišit, je komplementární CDF

${ displaystyle { overline {F}} (x_ {1}, x_ {2}) = left (1+ sum _ {i = 1} ^ {2} { frac {x_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} vpravo) ^ {- a}, qquad x_ {i}> mu _ {i}, i = 1,2,}$

který má Pareto Type II univariate okrajové distribuce. Tato distribuce se nazývá a vícerozměrná Paretova distribuce typu II Arnold.^[4] (Tato definice není ekvivalentní Mardiaině dvojrozměrné Paretově distribuci druhého druhu.)^[3]

Pro A > 1, mezní prostředky jsou

${ displaystyle E [X_ {i}] = mu _ {i} + { frac { sigma _ {i}} {a-1}}, qquad i = 1,2,}$

zatímco pro A > 2, odchylky, kovariance a korelace jsou stejné jako u vícerozměrného Pareta prvního druhu.

Vícerozměrné distribuce Pareto

Vícerozměrná Paretova distribuce prvního druhu

Mardia^[3] Vícerozměrná Paretova distribuce prvního druhu má společnou hustotu pravděpodobnosti danou vztahem

${ displaystyle f (x_ {1}, tečky, x_ {k}) = a (a + 1) cdots (a + k-1) left ( prod _ {i = 1} ^ {k} theta _ {i} right) ^ {- 1} left ( sum _ {i = 1} ^ {k} { frac {x_ {i}} { theta _ {i}}} - k + 1 right) ^ {- (a + k)}, qquad x_ {i}> theta _ {i}> 0, a> 0, qquad (1)}$

Okrajová rozdělení mají stejný tvar jako (1) a jednorozměrná okrajová rozdělení mají a Paretova distribuce typu I.. Doplňkový CDF je

${ displaystyle { overline {F}} (x_ {1}, dots, x_ {k}) = left ( sum _ {i = 1} ^ {k} { frac {x_ {i}} { theta _ {i}}} - k + 1 vpravo) ^ {- a}, qquad x_ {i}> theta _ {i}> 0, i = 1, dots, k; a> 0. quad (2)}$

Mezní střední hodnoty a odchylky jsou dány vztahem

${ displaystyle E [X_ {i}] = { frac {a theta _ {i}} {a-1}}, { text {for}} a> 1, { text {and}} Var ( X_ {i}) = { frac {a theta _ {i} ^ {2}} {(a-1) ^ {2} (a-2)}}, { text {for}} a> 2 .}$

Li A > 2 jsou kovariance a korelace pozitivní

${ displaystyle operatorname {cov} (X_ {i}, X_ {j}) = { frac { theta _ {i} theta _ {j}} {(a-1) ^ {2} (a- 2)}}, qquad operatorname {cor} (X_ {i}, X_ {j}) = { frac {1} {a}}, qquad i neq j.}$

Vícerozměrná Paretova distribuce druhého druhu

Arnold^[4] navrhuje reprezentovat vícerozměrný Pareto typu I doplňkového CDF pomocí

${ displaystyle { overline {F}} (x_ {1}, dots, x_ {k}) = left (1+ sum _ {i = 1} ^ {k} { frac {x_ {i} - theta _ {i}} { theta _ {i}}} vpravo) ^ {- a}, qquad x_ {i}> theta _ {i}> 0, quad i = 1, tečky , k.}$

Pokud se parametr umístění a měřítka může lišit, je komplementární CDF

${ displaystyle { overline {F}} (x_ {1}, dots, x_ {k}) = left (1+ sum _ {i = 1} ^ {k} { frac {x_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} vpravo) ^ {- a}, qquad x_ {i}> mu _ {i}, quad i = 1, dots, k , qquad (3)}$

který má okrajové distribuce stejného typu (3) a Pareto typu II univariate marginální distribuce. Tato distribuce se nazývá a vícerozměrná Paretova distribuce typu II Arnold.^[4]

Pro A > 1, mezní prostředky jsou

${ displaystyle E [X_ {i}] = mu _ {i} + { frac { sigma _ {i}} {a-1}}, qquad i = 1, tečky, k,}$

zatímco pro A > 2, odchylky, kovariance a korelace jsou stejné jako u vícerozměrného Pareta prvního druhu.

Mnohorozměrná Paretova distribuce čtvrtého druhu

Náhodný vektor X má k-dimenzionální vícerozměrná Paretova distribuce čtvrtého druhu^[4] pokud je jeho společná funkce přežití

${ displaystyle { overline {F}} (x_ {1}, dots, x_ {k}) = left (1+ sum _ {i = 1} ^ {k} left ({ frac {x_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} vpravo) ^ {1 / gamma _ {i}} vpravo) ^ {- a}, qquad x_ {i}> mu _ {i}, sigma _ {i}> 0, i = 1, dots, k; a> 0. qquad (4)}$

The k₁-dimenzionální okrajové distribuce (k₁<k) jsou stejného typu jako (4) a jednorozměrná okrajová rozdělení jsou Pareto typu IV.

Vícerozměrná distribuce Feller – Pareto

Náhodný vektor X má k-dimenzionální Feller – Paretova distribuce, pokud

${ displaystyle X_ {i} = mu _ {i} + (W_ {i} / Z) ^ { gamma _ {i}}, qquad i = 1, tečky, k, qquad (5)}$

kde

${ displaystyle W_ {i} sim Gamma ( beta _ {i}, 1), quad i = 1, dots, k, qquad Z sim Gamma ( alpha, 1),}$

jsou nezávislé gama proměnné.^[4] Okrajové distribuce a podmíněné distribuce jsou stejného typu (5); to znamená, že se jedná o vícerozměrné distribuce Feller – Pareto. Jednorozměrné okrajové distribuce jsou Feller - Pareto typ.

Reference