Panjerova rekurze - Panjer recursion

The Panjerova rekurze je algoritmus vypočítat rozdělení pravděpodobnosti aproximace sloučeniny náhodná proměnná${displaystyle S = součet _ {i = 1} ^ {N} X_ {i},}$.kde oba ${displaystyle N,}$ a ${displaystyle X_ {i},}$ jsou náhodné proměnné a speciálních typů. V obecnějších případech distribuce S je složená distribuce. Rekurze pro uvažované zvláštní případy byla představena v příspěvku ^[1] podle Harry Panjer (Významný emeritní profesor, University of Waterloo^[2]). Je silně používán v pojistněmatematická věda (viz také systémové riziko ).

Předkola

Zajímá nás složená náhodná proměnná ${displaystyle S = součet _ {i = 1} ^ {N} X_ {i},}$ kde ${displaystyle N,}$ a ${displaystyle X_ {i},}$ splnit následující předpoklady.

Distribuce velikosti nároku

Předpokládáme ${displaystyle X_ {i},}$ být i.i.d. a nezávisle na ${displaystyle N,}$. Dále ${displaystyle X_ {i},}$ musí být distribuovány na mřížce ${displaystyle hmathbb {N} _ {0},}$ s šířkou mřížky ${displaystyle h> 0,}$.

${displaystyle f_ {k} = P [X_ {i} = hk].,}$

V pojistně-matematické praxi ${displaystyle X_ {i},}$ se získá diskretizací funkce hustoty deklarace (horní, dolní ...).

Rozdělení čísel reklamací

Počet nároků N je náhodná proměnná, o kterém se říká, že má „distribuci čísel nároků“ a který může nabývat hodnot 0, 1, 2, .... atd. Pro „Panjerovu rekurzi“ se rozdělení pravděpodobnosti z N musí být členem Panjer třída, jinak známý jako (a, b, 0) třída distribucí. Tato třída se skládá ze všech počítání náhodných proměnných, které splňují následující vztah:

${displaystyle P [N = k] = p_ {k} = vlevo (a + {frac {b} {k}} vpravo) cdot p_ {k-1}, ~~ kgeq 1.,}$

pro některé ${displaystyle a}$ a ${displaystyle b}$ které splňují ${displaystyle a + bgeq 0,}$. Počáteční hodnota ${displaystyle p_ {0},}$ je stanoven tak, že ${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} p_ {k} = 1.,}$

Panjerova rekurze využívá tento iterativní vztah k určení rekurzivního způsobu konstrukce rozdělení pravděpodobnosti S. V následujícím ${displaystyle W_ {N} (x),}$ označuje funkce generující pravděpodobnost z N: viz tabulka v (a, b, 0) třída distribucí.

V případě, že je známo číslo nároku, nezapomeňte na De Pril algoritmus^[3]. Tento algoritmus je vhodný pro výpočet rozdělení součtu ${displaystyle n}$ oddělený náhodné proměnné.^[4]

Rekurze

Algoritmus nyní poskytuje rekurzi pro výpočet ${displaystyle g_ {k} = P [S = hk],}$.

Počáteční hodnota je ${displaystyle g_ {0} = W_ {N} (f_ {0}),}$ se zvláštními případy

${displaystyle g_ {0} = p_ {0} cdot exp (f_ {0} b) quad {ext {if}} quad a = 0 ,,}$

a

${displaystyle g_ {0} = {frac {p_ {0}} {(1-f_ {0} a) ^ {1 + b / a}}} quad {ext {for}} quad aeq 0 ,,}$

a pokračovat s

${displaystyle g_ {k} = {frac {1} {1-f_ {0} a}} součet _ {j = 1} ^ {k} left (a + {frac {bcdot j} {k}} ight) cdot f_ {j} cdot g_ {kj}.,}$

Příklad

Následující příklad ukazuje přibližnou hustotu ${displaystyle scriptstyle S, =, součet _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}}$ kde ${displaystyle scriptstyle N, sim, {ext {NegBin}} (3.5,0.3),}$ a ${displaystyle scriptstyle X, sim, {ext {Frechet}} (1,7,1)}$ s šířkou mřížky h = 0,04. (Vidět Fréchetová distribuce.)

Jak již bylo uvedeno, při inicializaci rekurze může nastat problém. Guégan a Hassani (2009) navrhli řešení této otázky.^[5]

Reference

externí odkazy

• Rekurze Panjer a distribuce, se kterými lze použít