Legendární funkce - Legendre function

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Leden 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Ve fyzice a matematice je Legendární funkce P_λ, Q_λ a související funkce Legendre P^μ
_λ, Q^μ
_λ, a Legendární funkce druhého druhu, Q_n, jsou všechna řešení Legendrovy diferenciální rovnice. The Legendární polynomy a související legendární polynomy jsou také řešení diferenciální rovnice ve zvláštních případech, které díky tomu, že jsou polynomy, mají velké množství dalších vlastností, matematické struktury a aplikací. Informace o těchto polynomiálních řešeních najdete v samostatných článcích Wikipedie.

Přidružené legendární polynomické křivky pro λ = l = 5.

Legendrova diferenciální rovnice

The obecná Legendreova rovnice čte

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' - 2xy '+ left [ lambda ( lambda +1) - { frac { mu ^ {2}} {1-x ^ { 2}}} vpravo] , y = 0, ,}$

kde jsou čísla λ a μ mohou být komplexní a nazývají se stupněm a řádem příslušné funkce. Polynomiální řešení, když λ je celé číslo (označené n), a μ = 0 jsou legendární polynomy P_n; a kdy λ je celé číslo (označené n), a μ = m je také celé číslo s |m| < n jsou související legendární polynomy. Všechny ostatní případy λ a μ lze diskutovat jako jeden a řešení jsou napsána P^μ
_λ, Q^μ
_λ. Li μ = 0, horní index je vynechán a jeden píše jen P_λ, Q_λ. Řešení však Q_λ když λ je celé číslo je často diskutováno samostatně jako Legendreova funkce druhého druhu a je označeno Q_n.

Toto je lineární rovnice druhého řádu se třemi regulárními singulárními body (at 1, −1, a ∞). Stejně jako všechny tyto rovnice lze převést na a hypergeometrická diferenciální rovnice změnou proměnné a její řešení lze vyjádřit pomocí hypergeometrické funkce.

Řešení diferenciální rovnice

Vzhledem k tomu, že diferenciální rovnice je lineární a druhého řádu, má dvě lineárně nezávislá řešení, která lze obě vyjádřit pomocí hypergeometrická funkce, ${ displaystyle _ {2} F_ {1}}$. S ${ displaystyle Gamma}$ být funkce gama, první řešení je

${ displaystyle P _ { lambda} ^ { mu} (z) = { frac {1} { Gamma (1- mu)}} vlevo [{ frac {1 + z} {1-z} } right] ^ { mu / 2} , _ {2} F_ {1} left (- lambda, lambda +1; 1- mu; { frac {1-z} {2}} right), qquad { text {pro}} | 1-z | <2}$

a druhý je,

${ displaystyle Q _ { lambda} ^ { mu} (z) = { frac {{ sqrt { pi}} gama ( lambda + mu +1)} {2 ^ { lambda +1 } Gamma ( lambda +3/2)}} { frac {e ^ {i mu pi} (z ^ {2} -1) ^ { mu / 2}} {z ^ { lambda + mu +1}}} , _ {2} F_ {1} vlevo ({ frac { lambda + mu +1} {2}}, { frac { lambda + mu +2} { 2}}; lambda + { frac {3} {2}}; { frac {1} {z ^ {2}}} vpravo), qquad { text {pro}} | z | > 1.}$

Tito jsou obecně známí jako Legendre funkce prvního a druhého druhu neintegrovaného stupně, s přídavným kvalifikátorem „přidruženým“, pokud μ je nenulová. Užitečný vztah mezi P a Q řešení je Whippleův vzorec.

Legendární funkce druhého druhu (Q_n)

Děj prvních pěti Legendrových funkcí druhého druhu.

Nepolynomické řešení pro speciální případ celočíselného stupně ${ displaystyle lambda = n v mathbb {N} _ {0}}$, a ${ displaystyle mu = 0}$, je často diskutována samostatně. Je to dáno

${ displaystyle Q_ {n} (x) = { frac {n!} {1 cdot 3 cdots (2n + 1)}} left (x ^ {- (n + 1)} + { frac { (n + 1) (n + 2)} {2 (2n + 3)}} x ^ {- (n + 3)} + { frac {(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)} {2 cdot 4 (2n + 3) (2n + 5)}} x ^ {- (n + 5)} + cdots right)}$

Toto řešení je nutně singulární, když ${ displaystyle x = pm 1}$.

Funkce Legendre druhého druhu lze také definovat rekurzivně pomocí Vzorec rekurze kapoty

${ displaystyle Q_ {n} (x) = { begin {cases} { frac {1} {2}} log { frac {1 + x} {1-x}} & n = 0 P_ { 1} (x) Q_ {0} (x) -1 & n = 1 { frac {2n-1} {n}} xQ_ {n-1} (x) - { frac {n-1} {n }} Q_ {n-2} (x) & n geq 2 ,. End {cases}}}$

Přidružené funkce Legendre druhého druhu

Nepolynomické řešení pro speciální případ celočíselného stupně ${ displaystyle lambda = n v mathbb {N} _ {0}}$, a ${ displaystyle mu = m in mathbb {N} _ {0}}$ darováno

${ displaystyle Q_ {n} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} (1-x ^ {2}) ^ { frac {m} {2}} { frac { mathrm { d} ^ {m}} { mathrm {d} x ^ {m}}} Q_ {n} (x) ,.}$

Integrální reprezentace

Funkce Legendre lze zapsat jako obrysové integrály. Například,

${ displaystyle P _ { lambda} (z) = P _ { lambda} ^ {0} (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {1, z} { frac { (t ^ {2} -1) ^ { lambda}} {2 ^ { lambda} (tz) ^ { lambda +1}}} dt}$

kde se obrys vine kolem bodů 1 a z v pozitivním směru a netočí se kolem −1.Opravdu X, my máme

${ displaystyle P_ {s} (x) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} vlevo (x + { sqrt {x ^ {2} - 1}} cos theta right) ^ {s} d theta = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ {1} left (x + { sqrt {x ^ { 2} -1}} (2t-1) vpravo) ^ {s} { frac {dt} { sqrt {t (1-t)}}}, qquad s in mathbb {C}}$

Legendární funkce jako postavy

Skutečná integrální reprezentace ${ displaystyle P_ {s}}$ jsou velmi užitečné při studiu harmonické analýzy na ${ displaystyle L ^ {1} (G // K)}$ kde ${ displaystyle G // K}$ je prostor pro dvojitou coset z ${ displaystyle SL (2, mathbb {R})}$ (vidět Zonální sférická funkce ). Ve skutečnosti je Fourierova transformace zapnutá ${ displaystyle L ^ {1} (G // K)}$ darováno

${ displaystyle L ^ {1} (G // K) ni f mapsto { hat {f}}}$

kde

${ displaystyle { hat {f}} (s) = int _ {1} ^ { infty} f (x) P_ {s} (x) dx, qquad -1 leq Re (s) leq 0}$

Viz také

• Ferrersova funkce

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 8“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. str. 332. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• Courant, Richarde; Hilbert, David (1953), Metody matematické fyziky, svazek 1, New York: Interscience Publisher, Inc..
• Dunster, T. M. (2010), „Legendre a související funkce“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Funkce Legendre", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Snow, Chester (1952) [1942], Hypergeometrické a Legendrovy funkce s aplikacemi na integrální rovnice teorie potenciálu, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, Washington, D.C .: Vládní tisková kancelář USA, PAN  0048145
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963), Kurz moderní analýzy, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-58807-2

externí odkazy

• Legendární funkce P na webu funkcí Wolfram.
• Legendární funkce Q na webu funkcí Wolfram.
• Přidružená funkce Legendre P na webu funkcí Wolfram.
• Přidružená funkce Legendre Q na webu funkcí Wolfram.