Newton – Cotesovy vzorce - Newton–Cotes formulas

Newton – Cotesův vzorec pron = 2

v numerická analýza, Newton – Cotesovy vzorce, také nazývaný Newton – Cotesova pravidla kvadratury nebo jednoduše Newton – Cotes pravidla, jsou skupina vzorců pro numerická integrace (také zvaný kvadratura) na základě vyhodnocení integrand ve stejných bodech. Jsou pojmenovány po Isaac Newton a Roger Cotes.

Newton – Cotesovy vzorce mohou být užitečné, pokud je dána hodnota integrandu ve stejných bodech. Pokud je možné změnit body, ve kterých se vyhodnocuje integrand, pak další metody jako např Gaussova kvadratura a Clenshaw – Curtisova kvadratura jsou pravděpodobně vhodnější.

Popis

Předpokládá se, že hodnota funkce F definováno na [A, b] je znám ve stejně rozmístěných bodech X_i, pro i = 0, ..., n, kde X₀ = A a X_n = b. Existují dva typy vzorců Newton – Cotes, typ „uzavřený“, který používá hodnotu funkce ve všech bodech, a typ „otevřený“, který nepoužívá hodnoty funkce v koncových bodech. Uzavřený vzorec stupně Newton – Cotes n je uvedeno jako

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx přibližně součet _ {i = 0} ^ {n} w_ {i} , f (x_ {i})}$

kde X_i = h i + X₀, s h (volal velikost kroku) rovná (X_n − X₀) / n = (b − A) / n. The w_i jsou nazývány závaží.

Jak je vidět na následující derivaci, váhy jsou odvozeny od Lagrangeovy polynomy. Závisí pouze na X_i a ne na funkci F. Nechat L(X) je interpolační polynom ve Lagrangeově formě pro dané datové body (X₀, F(X₀) ), …, (X_n, F(X_n) ), pak

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx přibližně int _ {a} ^ {b} L (x) , dx = int _ {a} ^ {b} left ( sum _ {i = 0} ^ {n} f (x_ {i}) , l_ {i} (x) right) , dx = sum _ {i = 0} ^ {n} f (x_ {i}) underbrace { int _ {a} ^ {b} l_ {i} (x) , dx} _ {w_ {i}}.}$

Otevřený vzorec stupně Newton – Cotes n je uvedeno jako

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx přibližně součet _ {i = 1} ^ {n-1} w_ {i} , f (x_ {i}). }$

Váhy se nacházejí podobným způsobem jako uzavřený vzorec.

Nestabilita pro vysoký stupeň

Newton – Cotesův vzorec jakéhokoli stupně n lze postavit. Nicméně pro velké n pravidlo Newton – Cotes může někdy trpět katastrofou Rungeův fenomén kde chyba roste exponenciálně pro velké n. Metody jako Gaussova kvadratura a Clenshaw – Curtisova kvadratura s nerovnoměrně rozmístěnými body (seskupeny na koncové body integračního intervalu) jsou stabilní a mnohem přesnější a jsou obvykle upřednostňovány před Newton – Cotes. Pokud tyto metody nelze použít, protože integrand je uveden pouze na pevné ekvidistribuované mřížce, lze Rungeovu jevu zabránit pomocí složeného pravidla, jak je vysvětleno níže.

Alternativně lze stabilní vzorce Newton – Cotes sestrojit pomocí aproximace nejmenších čtverců místo interpolace. To umožňuje vytváření numericky stabilních vzorců i pro vysoké stupně.^[1][2]

Uzavřené vzorce Newton – Cotes

Tato tabulka uvádí některé vzorce Newton – Cotes uzavřeného typu. Pro ${ displaystyle 0 leq i leq n,}$ s n stupeň, ať ${ displaystyle x_ {i} = a + i { tfrac {b-a} {n}} = a + ih,}$ a zápis ${ displaystyle f_ {i}}$ být zkratkou pro ${ displaystyle f (x_ {i})}$.

Uzavřené vzorce Newton – Cotes

Stupeň n	Velikost kroku h	Běžné jméno	Vzorec	Chybný termín
1	${ displaystyle b-a}$	Lichoběžníkové pravidlo	${ displaystyle { frac {h} {2}} (f_ {0} + f_ {1})}$	${ displaystyle - { frac {1} {12}} h ^ {3} f ^ {(2)} ( xi)}$
2	${ displaystyle { frac {b-a} {2}}}$	Simpsonovo pravidlo	${ displaystyle { frac {h} {3}} (f_ {0} + 4f_ {1} + f_ {2})}$	${ displaystyle - { frac {1} {90}} h ^ {5} f ^ {(4)} ( xi)}$
3	${ displaystyle { frac {b-a} {3}}}$	Simpsonovo pravidlo 3/8	${ displaystyle { frac {3h} {8}} (f_ {0} + 3f_ {1} + 3f_ {2} + f_ {3})}$	${ displaystyle - { frac {3} {80}} h ^ {5} f ^ {(4)} ( xi)}$
4	${ displaystyle { frac {b-a} {4}}}$	Booleovo pravidlo	${ displaystyle { frac {2h} {45}} (7f_ {0} + 32f_ {1} + 12f_ {2} + 32f_ {3} + 7f_ {4})}$	${ displaystyle - { frac {8} {945}} h ^ {7} f ^ {(6)} ( xi)}$

Booleovo pravidlo se někdy mylně nazývá Bodeho pravidlo v důsledku šíření typografické chyby v Abramowitz a Stegun, časná referenční kniha.^[3]

Exponent velikosti segmentu b − A v chybovém členu ukazuje míru, s jakou aproximační chyba klesá. Stupeň derivace F v chybovém členu udává míru, do jaké lze pomocí tohoto pravidla polynomy přesně integrovat (tj. s chybou rovnou nule). Všimněte si, že derivace F v chybovém termínu se zvyšuje o 2 pro každé další pravidlo. Číslo ${ displaystyle xi}$ musí být převzato z intervalu (a, b).

Otevřete vzorce Newton – Cotes

Tato tabulka uvádí některé vzorce Newton – Cotes otevřeného typu. Znovu, ${ displaystyle f_ {i}}$ je zkratka pro ${ displaystyle f left (x_ {i} right)}$, s ${ displaystyle x_ {i} = a + i vlevo ({ frac {b-a} {n}} vpravo)}$, a n titul.

Otevřete vzorce Newton – Cotes

Stupeň n	Velikost kroku h	Běžné jméno	Vzorec	Chybný termín
2	${ displaystyle { frac {b-a} {2}}}$	Pravítko obdélníku nebo pravidlo středu	${ displaystyle 2hf_ {1} ,}$	${ displaystyle { frac {1} {3}} h ^ {3} f ^ {(2)} ( xi)}$
3	${ displaystyle { frac {b-a} {3}}}$	Lichoběžníková metoda	${ displaystyle { frac {3} {2}} h (f_ {1} + f_ {2})}$	${ displaystyle { frac {1} {4}} h ^ {3} f ^ {(2)} ( xi)}$
4	${ displaystyle { frac {b-a} {4}}}$	Milneovo pravidlo	${ displaystyle { frac {4} {3}} h (2f_ {1} -f_ {2} + 2f_ {3})}$	${ displaystyle { frac {28} {90}} h ^ {5} f ^ {(4)} ( xi)}$
5	${ displaystyle { frac {b-a} {5}}}$		${ displaystyle { frac {5} {24}} h (11f_ {1} + f_ {2} + f_ {3} + 11f_ {4})}$	${ displaystyle { frac {95} {144}} h ^ {5} f ^ {(4)} ( xi)}$

Složená pravidla

Aby byla pravidla Newton – Cotes přesná, velikost kroku h musí být malý, což znamená, že interval integrace ${ displaystyle [a, b]}$ musí být samo o sobě malé, což většinou není pravda. Z tohoto důvodu se obvykle provádí numerická integrace rozdělením ${ displaystyle [a, b]}$ do menších podintervalů, použití pravidla Newton – Cotes na každý podinterval a sečtení výsledků. Tomu se říká a složené pravidlo. Vidět Numerická integrace.

Viz také

• Kvadraturní (matematika)
• Interpolace
• Spline interpolace

Reference

• M. Abramowitz a I. A. Stegun, eds. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. New York: Dover, 1972. (Viz část 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm a Cleve B. Moler. Počítačové metody pro matematické výpočty. Englewood Cliffs, NJ: Prentice – Hall, 1977. (Viz část 5.1.)
• Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Oddíl 4.1. Klasické vzorce pro stejně velké mezery Abscissas“, Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8
• Josef Stoer a Roland Bulirsch. Úvod do numerické analýzy. New York: Springer-Verlag, 1980. (Viz část 3.1.)

externí odkazy

• "Newton – Cotesův kvadraturní vzorec", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Newton – Cotesovy vzorce na www.math-linux.com
• Weisstein, Eric W. „Newton – Cotes Formulas“. MathWorld.
• Integrace Newton – Cotes, numericalmathematics.com