Kvadraturní vzorec Cavalieris - Cavalieris quadrature formula - Wikipedia

Cavalieriho kvadraturní vzorec počítá plochu pod kubická křivka, spolu s dalšími vyššími mocnostmi.

v počet, Cavalieriho kvadraturní vzorec, pojmenovaný pro italského matematika ze 17. století Bonaventura Cavalieri, je integrální

${ displaystyle int _ {0} ^ {a} x ^ {n} , dx = { tfrac {1} {n + 1}} , a ^ {n + 1} qquad n geq 0, }$

a jejich zobecnění. To je určitý integrál formulář; the neurčitý integrál forma je:

${ displaystyle int x ^ {n} , dx = { tfrac {1} {n + 1}} , x ^ {n + 1} + C qquad n neq -1.}$

Existují další formuláře, vypsáno níže. Spolu s linearita integrálu, tento vzorec umožňuje vypočítat integrály všech polynomů.

Termín "kvadratura „je tradiční výraz pro plocha; integrál je geometricky interpretován jako plocha pod křivkou y = Xⁿ. Tradičně důležité případy jsou y = X², kvadratura parabola, známý ve starověku, a y = 1/X, kvadratura hyperboly, jejíž hodnota je a logaritmus.

formuláře

Negativní n

Pro záporné hodnoty n (negativní pravomoci X), tady je jedinečnost na X = 0, a tedy určitý integrál je založen na 1, spíše než 0, čímž se získá:

${ displaystyle int _ {1} ^ {a} x ^ {n} , dx = { frac {1} {n + 1}} (a ^ {n + 1} -1) qquad n neq -1.}$

Dále pro záporné zlomkové (ne celé číslo) hodnoty n, energie Xⁿ není dobře definované, proto je neurčitý integrál definován pouze pro pozitivní X. Nicméně pro n záporné celé číslo mocnina Xⁿ je definován pro všechny nenulové X, a neurčité integrály a určité integrály jsou definovány a lze je vypočítat pomocí argumentu symetrie, který nahradí X podle -X, a založit záporný určitý integrál na -1.

Přes komplexní čísla definitivní integrál (pro záporné hodnoty n a X) lze definovat pomocí integrace kontury, ale pak záleží konkrétně na volbě cesty číslo vinutí - geometrický problém spočívá v tom, že funkce definuje a pokrývající prostor se singularitou na 0.

n = −1

Existuje také výjimečný případ n = -1, čímž se získá a logaritmus místo sílyX:

${ displaystyle int _ {1} ^ {a} { frac {1} {x}} , dx = ln a,}$

${ displaystyle int { frac {1} {x}} , dx = ln x + C, qquad x> 0}$

(kde "ln" znamená přirozený logaritmus, tj. logaritmus k základně E  = 2.71828...).

Nesprávný integrál je často rozšířen na záporné hodnoty X konvenční volbou:

${ displaystyle int { frac {1} {x}} , dx = ln | x | + C, qquad x neq 0.}$

Všimněte si použití absolutní hodnota v neurčitém integrálu; toto má poskytnout jednotný tvar integrálu a znamená, že integrál této liché funkce je sudá funkce, ačkoli logaritmus je definován pouze pro kladné vstupy a ve skutečnosti různé konstantní hodnoty C lze zvolit na obou stranách od 0, protože ty nemění derivaci. Obecnější forma je tedy:^[1]

${ displaystyle int { frac {1} {x}} , dx = { begin {případů} ln | x | + C ^ {-} & x <0 ln | x | + C ^ { +} & x> 0 end {cases}}}$

Přes komplexní čísla neexistuje globální primitivní funkce pro 1 /X, díky této funkci definující netriviální pokrývající prostor; tento formulář je speciální pro reálná čísla.

Všimněte si, že určitý integrál počínaje od 1 není definován pro záporné hodnoty A, protože prochází singularitou, i když od 1 /X je lichá funkce, lze založit určitý integrál pro záporné mocniny na −1. Pokud je člověk ochoten použít nesprávné integrály a spočítat Hodnota Cauchyho jistiny, jeden získá ${ displaystyle int _ {- c} ^ {c} { frac {1} {x}} , dx = 0,}$ což lze také argumentovat symetrií (protože logaritmus je lichý), takže ${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac {1} {x}} , dx = 0,}$ takže nezáleží na tom, jestli je určitý integrál založen na 1 nebo -1. Stejně jako u neurčitého integrálu je toto speciální pro reálná čísla a nepřesahuje komplexní čísla.

Alternativní formy

Integrál lze také psát s posunutými indexy, což zjednodušuje výsledek a vytváří vztah k n-dimenzionální diferenciace a n- jasnější kostka:

${ displaystyle int _ {0} ^ {a} x ^ {n-1} , dx = { tfrac {1} {n}} a ^ {n} qquad n geq 1.}$

${ displaystyle int x ^ {n-1} , dx = { tfrac {1} {n}} x ^ {n} + C qquad n neq 0.}$

Obecněji lze tyto vzorce uvést jako:

${ displaystyle int (sekera + b) ^ {n} dx = { frac {(sekera + b) ^ {n + 1}} {a (n + 1)}} + C qquad { mbox {( pro}} n neq -1 { mbox {)}} , !}$

${ displaystyle int { frac {1} {sekera + b}} dx = { frac {1} {a}} ln levá | ax + b pravá | + C}$

Obecněji:

${ displaystyle int { frac {1} {sekera + b}} , dx = { začátek {případů} { frac {1} {a}} ln doleva | sekera + b doprava | + C ^ {-} & x <-b / a { frac {1} {a}} ln left | ax + b right | + C ^ {+} & x> -b / a end {cases} }}$

Důkaz

Novodobým důkazem je použití primitivní funkce: derivace Xⁿ je zobrazen jako nxⁿ⁻¹ - pro nezáporná celá čísla. To je patrné z binomický vzorec a definice derivátu - a tedy prostřednictvím základní věta o počtu the primitivní je integrál. Tato metoda selže pro ${ displaystyle int { frac {1} {x}} , dx,}$ jako kandidát primitivní je ${ displaystyle { frac {1} {0}} cdot x ^ {0}}$, který není definován kvůli dělení nulou. The logaritmus funkce, která je aktuálním primitivem 1 /X, musí být zavedeny a zkoumány samostatně.

Derivát ${ displaystyle (x ^ {n}) '= nx ^ {n-1}}$ lze geometrizovat jako nekonečně malou změnu objemu n-krychle, což je oblast n tváře, každá z dimenzí n − 1.
Integrace tohoto obrázku - skládání ploch - geometrizuje základní teorém počtu, čímž se získá rozklad n- kostka do n pyramidy, což je geometrický důkaz Cavalieriho kvadraturního vzorce.

U kladných celých čísel lze tento důkaz geometrizovat:^[2] vezmeme-li v úvahu množství Xⁿ jako objem n-krychle ( hyperkrychle v n rozměry), pak je derivací změna objemu při změně délky strany - to je Xⁿ⁻¹, kterou lze interpretovat jako oblast n tváře, každá z dimenzí n - 1 (fixace jednoho vrcholu na počátek, to jsou n plochy, které se nedotýkají vrcholu), což odpovídá zvětšení krychle zvětšením ve směru těchto ploch - v trojrozměrném případě přidáním 3 nekonečně tenkých čtverců, jeden ke každé z těchto ploch. Naopak, geometrizující základní teorém počtu, skládající tyto nekonečné číslice (n - 1) kostky dávají (hyper) -pyramid a n z těchto pyramid tvoří n-cube, která poskytuje vzorec. Dále existuje n- skládaná cyklická symetrie n- kostka kolem úhlopříčky cyklující těmito pyramidami (pro které je pyramida a základní doména ). V případě krychle (3-krychle) se původně důsledně stanovil objem pyramidy: krychle má 3násobnou symetrii, se základní doménou pyramidy, rozdělující krychli na 3 pyramidy, což odpovídá skutečnosti že objem pyramidy je jedna třetina základny krát výška. To ilustruje geometricky ekvivalenci mezi kvadraturou paraboly a objemem pyramidy, které byly počítány klasicky různými způsoby.

Existují alternativní důkazy - například Fermat vypočítal oblast pomocí algebraického triku rozdělení domény na určité intervaly nestejné délky;^[3] alternativně to lze dokázat rozpoznáním symetrie grafu y = Xⁿ pod nehomogenní dilatací (o d v X směr a dⁿ v y směr, algebraizace n rozměry y směr),^[4] nebo odvození vzorce pro všechny celočíselné hodnoty rozšířením výsledku pro n = −1 a porovnání koeficientů.^[5]

Dějiny

Archimedes vypočítal oblast parabolických segmentů v jeho Kvadratura paraboly.

Podrobná diskuse o historii s původními prameny je uvedena v (Laubenbacher & Pengelley 1998, Kapitola 3, Analýza: Výpočet oblastí a objemů) chyba harv: žádný cíl: CITEREFLaubenbacherPengelley1998 (Pomoc); viz také historie počtu a historie integrace.

Případ paraboly prokázal ve starověku starověký řecký matematik Archimedes v jeho Kvadratura paraboly (3. století před naším letopočtem), přes způsob vyčerpání. Za zmínku stojí, že Archimedes vypočítal oblast uvnitř parabola - takzvaný „parabolický segment“ - spíše než oblast pod grafem y = X², což je místo toho perspektiva Kartézská geometrie. Jedná se o ekvivalentní výpočty, ale odrážejí rozdíl v perspektivě. Starověcí Řekové mimo jiné také vypočítali objem a pyramida nebo kužel, což je matematicky ekvivalentní.

V 11. století Islámský matematik Ibn al-Haytham (známý jako Alhazen v Evropě) vypočítal integrály krychle a kvartiky (stupeň tři a čtyři) přes matematická indukce, v jeho Kniha optiky.^[6]

Případ vyšších celých čísel vypočítal Cavalieri pro n až 9, pomocí své metody nedělitelných (Cavalieriho princip ).^[7] Interpretoval je jako vyšší integrály jako výpočet objemnějších objemů, i když jen neformálně, protože objekty vyšších rozměrů byly dosud neznámé.^[8] Tuto metodu kvadratury poté rozšířil italský matematik Evangelista Torricelli k dalším křivkám, jako je cykloidní, poté anglický matematik vzorec zobecnil na zlomkové a záporné síly John Wallis, v jeho Arithmetica Infinitorum (1656), který také standardizoval pojem a zápis racionálních sil - ačkoli Wallis nesprávně interpretoval výjimečný případ n = −1 (kvadratura hyperboly) - předtím, než se konečně dostane na přísnou půdu s vývojem integrální počet.

Před Wallisovou formalizací frakčních a negativních sil, která umožňovala explicitní funkce ${ displaystyle y = x ^ {p / q},}$ tyto křivky byly zpracovány implicitně, pomocí rovnic ${ displaystyle x ^ {p} = ky ^ {q}}$ a ${ displaystyle x ^ {p} y ^ {q} = k}$ (p a q vždy kladná celá čísla) a označována jako vyšší paraboly a vyšší hyperboly (nebo „vyšší paraboly“ a „vyšší hyperboly“). Pierre de Fermat také vypočítal tyto oblasti (s výjimkou výjimečného případu −1) algebraickým trikem - vypočítal kvadraturu vyšších hyperbolek rozdělením čáry na stejné intervaly a poté vypočítal kvadraturu vyšších paraboly pomocí dělení na nerovné intervaly, pravděpodobně obrácením divizí, které používal pro hyperboly.^[9] Nicméně, stejně jako ve zbytku jeho práce, byly Fermatovy techniky spíše triky ad hoc než systematické léčby a nepovažuje se za osobu, která hrála významnou roli v následném vývoji počtu.

Za zmínku stojí, že Cavalieri porovnával pouze oblasti s oblastmi a objemy s objemy - ty vždy mají rozměry, zatímco představa, že se oblast považuje za skládající se z Jednotky plochy (ve vztahu ke standardní jednotce), tedy bez jednotky, se zdá, že pochází z Wallise;^[10][11] Wallis studoval zlomkové a záporné síly a alternativou k zacházení s vypočítanými hodnotami jako bezjednotkových čísel byla interpretace zlomkových a záporných rozměrů.

Výjimečný případ -1 (standardní hyperbola) byl nejprve úspěšně léčen Grégoire de Saint-Vincent v jeho Opus geometrium quadrature circuli et sectionum coni (1647), ačkoli formální léčba musela počkat na vývoj přirozený logaritmus, čehož dosáhl Nicholas Mercator v jeho Logarithmotechnia (1668).

Reference

Dějiny

Důkazy

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Cavalieriho kvadraturní vzorec“. MathWorld.
• Integrace Cavalieri
• D. J. Struik, Zdrojová kniha z matematiky, 1200-1800, str. 214