Spirála - Spiral - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Spirála"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červenec 2007) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Výřez z nautilus skořápka ukazující komory uspořádané do přibližně logaritmická spirála

v matematika, a spirála je křivka který vyzařuje z bodu a pohybuje se dále, když se točí kolem bodu.^[1][2][3][4]

Helices

Archimédova spirála (černá), šroubovice (zelená) a kónická spirála (červená)

Dvě hlavní definice "spirály" v EU Slovník amerického dědictví jsou:^[5]

1. křivka v rovině, která se vine kolem pevného středového bodu v neustále se zvětšující nebo zmenšující vzdálenosti od bodu.
2. trojrozměrná křivka, která se otáčí kolem osy v konstantní nebo kontinuálně se měnící vzdálenosti při pohybu rovnoběžně s osou; A spirála.

První definice popisuje a rovinný křivka, která se rozprostírá v obou kolmých směrech v její rovině; drážka na jedné straně a záznam těsně se blíží spirále roviny (a je to podle konečné šířky a hloubky drážky, ale ne širším rozestupem než v rámci stop, že to není dokonalý příklad); Všimněte si, že po sobě jdoucí smyčky lišit v průměru. V dalším příkladu jsou „středové čáry“ ramen a spirální galaxie stopa logaritmické spirály.

Druhá definice zahrnuje dva druhy trojrozměrných příbuzných spirál:

1. kónický nebo spirální pružina (včetně pružiny, která slouží k přidržení záporných pólů baterií AA nebo AAA a kontaktu s nimi bateriový box ) a vír, který vzniká při odtoku vody z umyvadla, je často popisován jako spirála nebo jako kuželovitá šroubovice.
2. definice 2 zcela jasně zahrnuje také válcovou vinutou pružinu a pramen DNA, oba které jsou docela spirálovité, takže „spirála“ je více užitečný popis než „spirála“ pro každou z nich; obecně se „spirála“ používá jen zřídka, pokud mají následné „smyčky“ křivky stejný průměr.^[5]

Na bočním obrázku je černá křivka ve spodní části znaku Archimédova spirála, zatímco zelená křivka je šroubovice. Křivka zobrazená červeně je kónická šroubovice.

Dvourozměrný

A dvourozměrný nebo rovinu, spirálu lze popsat nejsnadněji pomocí polární souřadnice, Kde poloměr ${ displaystyle r}$ je monotóní spojitá funkce úhlu ${ displaystyle varphi}$:

• ${ displaystyle r = r ( varphi) ;.}$

Kruh by byl považován za degenerovat případ ( funkce není přísně monotónní, ale spíše konstantní ).

v ${ displaystyle x}$-${ displaystyle y}$-souřadnice křivka má parametrické vyjádření:

• ${ Displaystyle x = r ( varphi) cos varphi , qquad y = r ( varphi) sin varphi ;.}$

Příklady

Mezi nejdůležitější druhy dvourozměrných spirál patří:

• The Archimédova spirála: ${ displaystyle r = a varphi}$
• The hyperbolická spirála: ${ displaystyle r = a / varphi}$
• Fermatova spirála: ${ displaystyle r = a varphi ^ {1/2}}$
• The lituus: ${ displaystyle r = a varphi ^ {- 1/2}}$
• The logaritmická spirála: ${ displaystyle r = ae ^ {k varphi}}$
• The Spirála Cornu nebo clothoid
• The Fibonacciho spirála a zlatá spirála
• The Theodorova spirála: přiblížení archimédské spirály složené ze sousedících pravoúhlých trojúhelníků
• The evolventní kruhu, použitý dvakrát na každém zubu téměř každého moderního Ozubené kolo

• 

  Archimédova spirála

• 

  hyperbolická spirála

• 

  Fermatova spirála

• 

  lituus

• 

  logaritmická spirála

• 

  Spirála Cornu

• 

  Theodorova spirála

• 

  Fibonacciho spirála (zlatá spirála)

• 

  Evolventní evoluce kruhu (černá) není totožná s archimédskou spirálou (červená).

Hyperbolická spirála jako centrální projekce šroubovice

An Archimédova spirála se například generuje při navíjení koberce.^[6]

A hyperbolická spirála se objeví jako obrázek šroubovice se speciální středovou projekcí (viz obrázek). Hyperbolická spirála se někdy nazývá reciproke spirála, protože je to obraz Archimédovy spirály s inverzí kruhu (viz níže).^[7]

Název logaritmická spirála je kvůli rovnici ${ displaystyle varphi = { tfrac {1} {k}} cdot ln { tfrac {r} {a}}}$. Přibližné údaje se nacházejí v přírodě.

Spirály, které nezapadají do tohoto schématu prvních 5 příkladů:

A Spirála Cornu má dva asymptotické body.
The Theodorova spirála je mnohoúhelník.
The Fibonacciho spirála sestává ze sledu kruhových oblouků.
The evolventní kruh vypadá jako Archimedean, ale není: viz Evolventní # příklady.

Geometrické vlastnosti

Následující úvahy se zabývají spirálami, které lze popsat polární rovnicí ${ displaystyle r = r ( varphi)}$, zejména pro případy ${ displaystyle r ( varphi) = a varphi ^ {n}}$ (Archimédova, hyperbolická, Fermatova, lituální spirála) a logaritmická spirála ${ displaystyle r = ae ^ {k varphi}}$.

Definice sektoru (světle modrá) a úhlu polárního sklonu ${ displaystyle alpha}$

Polární úhel sklonu

Úhel ${ displaystyle alpha}$ mezi spirálovou tečnu a odpovídající polární kružnici (viz diagram) se nazývá úhel polárního sklonu a ${ displaystyle tan alpha}$ the polární sklon.

Z vektorový počet v polárních souřadnicích jeden dostane vzorec

${ displaystyle tan alpha = { frac {r '} {r}} .}$

Proto je sklon spirály ${ displaystyle ; r = a varphi ^ {n} ;}$ je

• ${ displaystyle tan alpha = { frac {n} { varphi}} .}$

V případě Archimédova spirála (${ displaystyle n = 1}$) polární sklon je ${ displaystyle ; tan alpha = { tfrac {1} { varphi}} .}$

The logaritmická spirála je zvláštní případ, protože ${ displaystyle tan alpha = k }$ konstantní !

zakřivení

Zakřivení ${ displaystyle kappa}$ křivky s polární rovnicí ${ displaystyle r = r ( varphi)}$ je

${ displaystyle kappa = { frac {r ^ {2} +2 (r ') ^ {2} -r ; r' '} {(r ^ {2} + (r') ^ {2}) ^ {3/2}}} .}$

Pro spirálu s ${ displaystyle r = a varphi ^ {n}}$ jeden dostane

• ${ displaystyle kappa = dotsb = { frac {1} {a varphi ^ {n-1}}} { frac { varphi ^ {2} + n ^ {2} + n} {( varphi ^ {2} + n ^ {2}) ^ {3/2}}} .}$

V případě ${ displaystyle n = 1}$ (Archimédova spirála)${ displaystyle kappa = { tfrac { varphi ^ {2} +2} {a ( varphi ^ {2} +1) ^ {3/2}}}}$.
Pouze pro ${ displaystyle -1$ spirála má inflexní bod.

Zakřivení a logaritmická spirála ${ displaystyle ; r = ae ^ {k varphi} ;}$ je ${ displaystyle ; kappa = { tfrac {1} {r { sqrt {1 + k ^ {2}}}}} ;.}$

Sektorová oblast

Plocha sektoru křivky (viz diagram) s polární rovnicí ${ displaystyle r = r ( varphi)}$ je

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} r ( varphi) ^ {2} ; d varphi .}$

Pro spirálu s rovnicí ${ displaystyle r = a varphi ^ {n} ;}$ jeden dostane

• ${ displaystyle A = { frac {1} {2}} int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} a ^ {2} varphi ^ {2n} ; d varphi = { frac {a ^ {2}} {2 (2n + 1)}} { big (} varphi _ {2} ^ {2n + 1} - varphi _ {1} ^ {2n + 1 } { big)} , quad { text {if}} quad n neq - { frac {1} {2}},}$

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { frac {a ^ {2}} { varphi}} ; d varphi = { frac {a ^ {2}} {2}} ( ln varphi _ {2} - ln varphi _ {1}) , quad { text {if}} quad n = - { frac {1} {2}} .}$

Vzorec pro a logaritmická spirála ${ displaystyle ; r = ae ^ {k varphi} ;}$ je${ displaystyle A = { tfrac {r ( varphi _ {2}) ^ {2} -r ( varphi _ {1}) ^ {2})} {4k}} .}$

Délka oblouku

Délka oblouku křivky s polární rovnicí ${ displaystyle r = r ( varphi)}$ je

${ displaystyle L = int limity _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { sqrt { left (r ^ { prime} ( varphi) right) ^ {2 } + r ^ {2} ( varphi)}} , mathrm {d} varphi .}$

Pro spirálu ${ displaystyle r = a varphi ^ {n} ;}$ délka je

• ${ displaystyle L = int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { sqrt {{ frac {n ^ {2} r ^ {2}} { varphi ^ {2 }}} + r ^ {2}}} ; d varphi = a int limity _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} varphi ^ {n-1} { sqrt {n ^ {2} + varphi ^ {2}}} d varphi .}$

Ne všechny tyto integrály lze vyřešit vhodnou tabulkou. V případě Fermatovy spirály lze vyjádřit integrál pomocí eliptické integrály pouze.

Délka oblouku a logaritmická spirála ${ displaystyle ; r = ae ^ {k varphi} ;}$ je ${ displaystyle L = { tfrac { sqrt {k ^ {2} +1}} {k}} { big (} r ( varphi _ {2}) - r ( varphi _ {1}) { big)} .}$

Inverze kruhu

The inverze v jednotkovém kruhu má v polárních souřadnicích jednoduchý popis: ${ displaystyle (r, varphi) mapsto ({ tfrac {1} {r}}, varphi) }$.

• Obraz spirály ${ displaystyle r = a varphi ^ {n} }$ pod inverzí na jednotkovém kruhu je spirála s polární rovnicí ${ displaystyle r = { tfrac {1} {a}} varphi ^ {- n} }$. Například: Inverze archimédské spirály je hyperbolická spirála.

Logaritmická spirála ${ displaystyle ; r = ae ^ {k varphi} ;}$ je mapována na logaritmickou spirálu ${ displaystyle ; r = { tfrac {1} {a}} e ^ {- k varphi} ;.}$

Ohraničené spirály

Ohraničené spirály:
${ displaystyle r = a arctan (k varphi)}$ (vlevo, odjet),
${ displaystyle r = a ( arctan (k varphi) + pi / 2)}$ (že jo)

Funkce ${ displaystyle r ( varphi)}$ spirála je obvykle přísně monotónní, spojitá a unohraničený. Pro standardní spirály ${ displaystyle r ( varphi)}$ je výkonová funkce nebo exponenciální funkce. Pokud se někdo rozhodne pro ${ displaystyle r ( varphi)}$ A ohraničený funkce spirála je také ohraničená. Vhodnou omezenou funkcí je arktan funkce:

Příklad 1

Nastavení ${ displaystyle ; r = a arctan (k varphi) ;}$ a volba ${ displaystyle ; k = 0,1, a = 4, ; varphi geq 0 ;}$ dává spirálu, která začíná na počátku (jako Archimédova spirála) a přibližuje se k kruhu s poloměrem ${ displaystyle ; r = a pi / 2 ;}$ (diagram vlevo).

Příklad 2

Pro ${ displaystyle ; r = a ( arctan (k varphi) + pi / 2) ;}$ a ${ displaystyle ; k = 0,2, a = 2, ; - infty < varphi < infty ;}$ jeden dostane spirálu, která se blíží počátku (jako hyperbolická spirála) a blíží se k kruhu s poloměrem ${ displaystyle ; r = a pi ;}$ (diagram vpravo).

Trojrozměrný

Kónická spirála s Archimédovou spirálou jako půdorysem

Kónické spirály

Pokud v ${ displaystyle x}$-${ displaystyle y}$-plánujte spirálu s parametrickým znázorněním

${ Displaystyle x = r ( varphi) cos varphi , qquad y = r ( varphi) sin varphi}$

zadána, pak může být přidána třetí souřadnice ${ displaystyle z ( varphi)}$, takže nyní křivka prostoru leží na kužel s rovnicí ${ displaystyle ; m (x ^ {2} + y ^ {2}) = (z-z_ {0}) ^ {2} , m> 0 ;}$:

• ${ displaystyle x = r ( varphi) cos varphi , qquad y = r ( varphi) sin varphi , qquad color {červená} {z = z_ {0} + mr ( varphi )} .}$

Spirály založené na tomto postupu se nazývají kuželovité spirály.

Příklad

Počínaje archimédova spirála ${ displaystyle ; r ( varphi) = a varphi ;}$ jeden dostane kuželovitou spirálu (viz obrázek)

${ Displaystyle x = a varphi cos varphi , qquad y = a varphi sin varphi , qquad z = z_ {0} + ma varphi , quad varphi geq 0 . }$

Sférická spirála s ${ displaystyle c = 8}$

Sférické spirály

Pokud jeden představuje kouli o poloměru ${ displaystyle r}$ podle:

${ displaystyle { begin {array} {cll} x & = & r cdot sin theta cdot cos varphi y & = & r cdot sin theta cdot sin varphi z & = & r cdot cos theta end {pole}}}$

a nastaví lineární závislost ${ displaystyle ; varphi = c theta, ; c> 2 ;,}$ za úhlové souřadnice dostane jeden a sférická spirála^[8] s parametrickou reprezentací (s ${ displaystyle c}$ rovnající se dvojnásobnému počtu otáček)

• ${ displaystyle { begin {array} {cll} x & = & r cdot sin theta cdot cos { color {red} c theta} y & = & r cdot sin theta cdot sin { color {red} c theta} z & = & r cdot cos theta qquad qquad 0 leq theta leq pi . end {pole}}}$

Sférické spirály poznal i Pappus.

Poznámka: a loxodomu je ne v tomto smyslu sférická spirála.

• 

  Sférická spirála

• 

  Loxodrom

A loxodomu (také známý jako loxodrom nebo „sférická spirála“) je křivka na kouli sledovaná lodí s konstantní ložisko (např. cestování z jednoho pól na druhou při zachování pevné úhel s respektem k meridiány ). Loxodrom má nekonečný počet otáčky s tím, jak se křivka přibližuje k jednomu z pólů, na rozdíl od Archimédova spirála který udržuje jednotné řádkování bez ohledu na poloměr.

V přírodě

Studium spirál v Příroda má dlouhou historii. Christopher Wren pozoroval tolik mušle tvoří a logaritmická spirála; Jan Swammerdam pozoroval běžné matematické charakteristiky široké škály granátů z Spirála na Spirula; a Henry Nottidge Moseley popsal matematiku bezkonkurenční mušle. D’Arcy Wentworth Thompson je O růstu a formě poskytuje těmto spirálám rozsáhlou léčbu. Popisuje, jak se mušle tvoří otáčením uzavřené křivky kolem pevné osy: tvar křivky zůstává pevná, ale její velikost roste v a geometrický průběh. V některých granátech, jako např Nautilus a amonity, generující se křivka se otáčí v rovině kolmé k ose a skořápka vytvoří rovinný diskovitý tvar. U ostatních sleduje šikmou cestu tvořící a helico -spirálový vzor. Thompson také studoval spirály vyskytující se v rohy, zuby, drápy a rostliny.^{[9][stránka potřebná ]}

Model pro vzor kvítky v hlavě a slunečnice^[10] navrhl H. Vogel. To má formu

${ displaystyle theta = n krát 137,5 ^ { circ}, r = c { sqrt {n}}}$

kde n je indexové číslo floretu a C je konstantní měřítko a je formou Fermatova spirála. Úhel 137,5 ° je zlatý úhel který souvisí s Zlatý řez a dává těsné balení kvítků.^[11]

Spirály v rostlinách a zvířatech jsou často popisovány jako přesleny. Toto je také název pro spirálovitý tvar otisky prstů.

• 

  Umělecké ztvárnění spirální galaxie.

• 

  Slunečnicová hlava zobrazující kvítky zvenčí spirál 34 a 55.

V laboratoři

Když síran draselný je zahříván ve vodě a podroben víření v kádince, tvoří krystaly vícesložkovou spirálovou strukturu, pokud se nechá usadit^[12]

• 

  Síran draselný tvoří v roztoku spirálovou strukturu.

Jako symbol

Spirála podobná forma byla nalezena v Mezine, Ukrajina, jako součást dekorativního předmětu datovaného do 10 000 př.^{[Citace je zapotřebí ]}

Mísa na stojanu, Nádoba na stojanu a Amfora. Eneolit, Cucuteni kultura, 4300-4000 př. N. L. Nalezen v Scânteia, Iași, Rumunsko. Shromážděno v komplexu Moldavského národního muzea

The Newgrange vstupní deska

Tento Petroglyph s vyřezávanou spirálovou postavou vyrobil Hohokams, a Rodilý Američan kmen před více než 1000 lety.

Spirála a trojitá spirála motiv je a Neolitický symbol v Evropě (Megalitické chrámy na Maltě ). The keltský symbol trojitá spirála je ve skutečnosti předkeltský symbol.^[13] Je vytesán do skály kamenné pastilky poblíž hlavního vchodu prehistorika Newgrange pomník v County Meath, Irsko. Newgrange byl postaven kolem roku 3200 př. N. L. Předcházel Keltům a trojité spirály byly vyřezány nejméně 2500 let před tím, než se Keltové dostali do Irska, ale již dávno byla začleněna do keltské kultury.^[14] The triskelion symbol, skládající se ze tří spletených spirál nebo tří ohnutých lidských nohou, se objevuje v mnoha raných kulturách, včetně Mykénské plavidla, na ražení mincí v Lycia, na statéry z Pamfylie (na Aspendos, 370–333 př. Nl) a Pisidia, stejně jako na heraldický znak na štítech válečníků zobrazený na řecké keramice.^[15]

Spirály lze nalézt v celém předkolumbovském umění v Latinské a Střední Americe. Více než 1400 petroglyfy (skalní rytiny) v Las Plazuelas, Guanajuato Mexiko z roku 750–1200 nl, zobrazují převážně spirály, tečkované postavy a zmenšené modely.^[16] V kolumbijských opicích žába a ještěrka jako postavy zobrazené v petroglyfech nebo jako figurky nabízející zlato často zahrnují spirály, například na dlaních.^[17] V dolní Střední Americe jsou spirály spolu s kruhy, vlnovkami, křížky a body univerzálními znaky petroglyfů.^[18] Spirály lze také nalézt mezi Nazca Lines v pobřežní poušti Peru, která se datuje od roku 200 př. n. l. do roku 500 n. l. The geoglyfy počet v tisících a zobrazuje zvířata, rostliny a geometrické motivy, včetně spirál.^[19]

Spirálové tvary, včetně svastika, triskele atd., byly často interpretovány jako sluneční symboly.^{[Citace je zapotřebí ]}Střešní tašky sahající až do Dynastie Tchang s tímto symbolem byly nalezeny západně od starobylého města Chang'an (dnešní Xi'an).^{[Citace je zapotřebí ][rok potřebný ]}

Spirály jsou také symbolem hypnóza, vycházející z klišé lidí a kreslených postaviček hypnotizovalo zíráním do točící se spirály (jedním příkladem je Kaa v Disney Kniha Džunglí ). Používají se také jako symbol závrať, kde oči kreslené postavičky, zejména v anime a manga, se změní na spirály, aby se ukázalo, že jsou závratě nebo omámení. Spirála se také nachází ve strukturách tak malých, jako je dvojitá spirála z DNA a tak velký jako a galaxie. Kvůli tomuto častému přirozenému výskytu je spirála oficiálním symbolem Světové panteistické hnutí.^[20]Spirála je také symbolem dialektický proces a Dialektický monismus.

V umění

Spirála inspirovala umělce po celé věky. Mezi nejznámější spirálovitě inspirované umění patří Robert Smithson je zemní práce, "Spirálové molo ", na Velké slané jezero v Utahu.^[21] Toto spirálové téma je také přítomno ve Spirálovém rezonančním poli Davida Wooda na Muzeum balónu v Albuquerque, stejně jako v kritikou uznávaných Nine Inch Nails Koncepční album z roku 1994 Spirála dolů. Spirála je také prominentní téma v anime Gurren Lagann, kde představuje filozofii a způsob života. Je také ústředním bodem prací Maria Merze a Andyho Goldsworthyho. Spirála je ústředním tématem hororové mangy Uzumaki podle Junji Ito, kde je malé pobřežní městečko postiženo kletbou zahrnující spirály. 2012 Kus mysli Wayne A Beale také zobrazuje velkou spirálu v této knize snů a obrazů.^{[22][úplná citace nutná ][23][je nutné ověření ]}

Viz také

• Keltské bludiště (přímá spirála)
• Soustředné kruhy
• DNA
• Fibonacciho číslo
• Hypogeum Ħal-Saflieni
• Megalitické chrámy na Maltě
• Vzory v přírodě
• Povrch mušle
• Spirangle
• Spirálový kráječ zeleniny
• Točité schody
• Triskelion

Reference

Související publikace

• Cook, T., 1903. Spirály v přírodě a umění. Nature 68 (1761), 296.
• Cook, T., 1979. Křivky života. Dover, New York.
• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spirálové přechodové křivky a jejich aplikace. Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195-206.
• Dimulyo, Sarpono; Habib, Zulfiqar; Sakai, Manabu (2009). Msgstr "Spravedlivý kubický přechod mezi dvěma kruhy, přičemž jeden kruh je uvnitř nebo tečný k druhému". Numerické algoritmy. 51 (4): 461–476. doi:10.1007 / s11075-008-9252-1. S2CID  22532724.
• Harary, G., Tal, A., 2011. Přírodní 3D spirála. Fórum počítačové grafiky 30 (2), 237 - 246 [1].
• Xu, L., Mold, D., 2009. Magnetické křivky: estetické křivky řízené zakřivením pomocí magnetických polí. In: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. Eurografická asociace [2].
• Wang, Yulin; Zhao, Bingyan; Zhang, Luzou; Xu, Jiachuan; Wang, Kanchang; Wang, Shuchun (2004). "Navrhování férových křivek pomocí monotónních zakřivení". Počítačem podporovaný geometrický design. 21 (5): 515–527. doi:10.1016 / j.cagd.2004.04.001.
• Kurnosenko, A. (2010). "Uplatnění inverze na konstrukci rovinných, racionálních spirál, které uspokojí dvoubodová data G2 Hermita". Počítačem podporovaný geometrický design. 27 (3): 262–280. arXiv:0902.4834. doi:10.1016 / j.cagd.2009.12.004.
• A. Kurnosenko. Dvoubodová interpolace G2 Hermite se spirálami inverzí hyperboly. Computer Aided Geometric Design, 27 (6), 474–481, 2010.
• Miura, K.T., 2006. Obecná rovnice estetických křivek a její afinita k sobě samému. Počítačem podporovaný design a aplikace 3 (1–4), 457–464 [3].
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Odvození obecného vzorce estetických křivek. In: 8. mezinárodní konference o lidech a počítačích (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japonsko, s. 166-171 [4].
• Meek, D.S .; Walton, D.J. (1989). „Použití spirál Cornu při kreslení rovinných křivek řízeného zakřivení“. Journal of Computational and Applied Mathematics. 25: 69–78. doi:10.1016/0377-0427(89)90076-9.
• Thomas, Sunil (2017). „Síran draselný tvoří po rozpuštění v roztoku spirálovou strukturu“. Ruský žurnál fyzikální chemie B. 11: 195–198. doi:10.1134 / S1990793117010328. S2CID  99162341.
• Farin, Gerald (2006). "Třídy a Bézierovy křivky". Počítačem podporovaný geometrický design. 23 (7): 573–581. doi:10.1016 / j.cagd.2006.03.004.
• Farouki, RT, 1997. Pythagorovo-hodografové kvintické přechodové křivky monotónního zakřivení. Počítačem podporovaný design 29 (9), 601–606.
• Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interaktivní segmenty estetické křivky. Vizuální počítač 22 (9), 896–905 [5].
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Kvaziestetické křivky v racionálních kubických Bézierových formách. Počítačem podporovaný design a aplikace 4 (9–10), 477–486 [6].
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Analytické parametrické rovnice logicko-estetických křivek z hlediska neúplných gama funkcí. Počítačem podporovaný geometrický design 29 (2), 129—140 [7].
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Přizpůsobení multispirální přechodové křivky spojující dvě přímé linie, Computer-Aided Design 44 (6), 591—596 [8].
• Ziatdinov, R., 2012. Rodina superspirál s úplně monotónním zakřivením daným Gaussovou hypergeometrickou funkcí. Computer Aided Geometric Design 29 (7): 510—518, 2012 [9].
• Ziatdinov, R., Miura K.T., 2012. O rozmanitosti rovinných spirál a jejich aplikacích v počítačovém designu. Evropský výzkumný pracovník 27 (8-2), 1227—1232 [10].

externí odkazy

• Jamnitzer -Galerie: 3D-spirály
• SpiralZoom.com, vzdělávací web o vědě o formování vzorů, spirálech v přírodě a spirálách v mýtické představivosti.
• Spirály od Jürgena Köllera
• Spirály - sbírka Encyclopedia of Life s ukázkami spirál v přírodě.
• Archimédova spirála se transformuje na Galileovu spirálu. Michail Gaichenkov, OEIS
• Vzdělávací web spojující spirály s přírodou, uměním a vzory.
• Texto en Espiral