Hyperboloid - Hyperboloid
![]() Hyperboloid jednoho listu | ![]() kuželovitý povrch mezi | ![]() Hyperboloid dvou listů |
v geometrie, a hyperboloid revoluce, někdy nazývané a kruhový hyperboloid, je povrch generované otáčením a hyperbola kolem jednoho z jeho hlavní osy. A hyperboloid je povrch získaný z hyperboloidu otáčení jeho deformací pomocí směrových škálování, nebo obecněji, z afinní transformace.
Hyperboloid je a kvadrický povrch, tj povrch definován jako nulová sada a polynomiální stupně dva ve třech proměnných. Mezi kvadrickými povrchy se hyperboloid vyznačuje tím, že není a kužel nebo a válec, které mají střed symetrie a protínají mnohé letadla do hyperboly. Hyperboloid má tři párové kolmý osy symetrie a tři párově kolmé roviny symetrie.
Vzhledem k hyperboloidu, pokud si někdo zvolí a Kartézský souřadnicový systém jehož osy jsou osami symetrie hyperboloidu a počátek je středem symetrie hyperboloidu, pak může být hyperboloid definován jednou ze dvou následujících rovnic:
nebo
Oba povrchy jsou asymptotické na kužel rovnice
Povrch je revolučním hyperboloidem právě tehdy Jinak jsou osy jednoznačně definovány (až do výměna X- osa a y-osa).
Existují dva druhy hyperboloidů. V prvním případě (+1 na pravé straně rovnice): a hyperboloid jednoho listu, také nazývaný a hyperbolický hyperboloid. Je to připojený povrch, který má zápor Gaussovo zakřivení v každém bodě. To znamená, že v blízkosti každého bodu je průsečík hyperboloidu a jeho tečná rovina v bodě se skládá ze dvou větví křivky, které mají v bodě odlišné tečny. V případě hyperboloidu s jedním listem jsou tyto větve křivek řádky a tedy hyperboloid jednoho listu je a dvakrát vládl povrch.
Ve druhém případě (−1 na pravé straně rovnice): a dvoulistový hyperboloid, nazývaný také eliptický hyperboloid. Povrch má dva připojené komponenty a pozitivní Gaussovo zakřivení v každém bodě. Povrch tedy je konvexní v tom smyslu, že tečná rovina v každém bodě protíná povrch pouze v tomto bodě.
Parametrické reprezentace

Kartézské souřadnice pro hyperboloidy lze definovat podobně jako sférické souřadnice, vedení azimut úhel θ ∈ [0, 2π), ale měnící se sklon proti do hyperbolické trigonometrické funkce:
Jednostranný hyperboloid: proti ∈ (−∞, ∞)
Dvoustranný hyperboloid: proti ∈ [0, ∞)


Vlastnosti hyperboloidu jednoho listu
Čáry na povrchu
- Hyperboloid jednoho listu obsahuje dvě tužky čar. Je to dvojnásobně ovládaný povrch.
Pokud má hyperboloid rovnici pak řádky
jsou obsaženy v povrchu.
V případě hyperboloid je rotační plocha a může být generována otáčením jedné ze dvou čar nebo , které jsou zkosené k ose otáčení (viz obrázek). Tato vlastnost se nazývá Střízlík věta.[1] Běžnější generace rotačního hyperboloidu s jedním listem rotuje a hyperbola kolem jeho poloviční vedlejší osa (viz obrázek; otáčení hyperboly kolem druhé osy poskytuje revoluční hyperbolu se dvěma listy).
Hyperboloid jednoho listu je projektivně ekvivalent k a hyperbolický paraboloid.
Rovinné řezy
Pro jednoduchost jsou rovinné části jednotka hyperboloid s rovnicí jsou považovány. Protože hyperboloid v obecné poloze je afinním obrazem jednotkového hyperboloidu, výsledek platí i pro obecný případ.
- Rovina se sklonem menším než 1 (1 je sklon čar na hyperboloidu) protíná v elipsa,
- Protíná se rovina se sklonem rovným 1 obsahující počátek v dvojice paralelních linií,
- Protíná se rovina se sklonem rovným 1, která neobsahuje počátek v parabola,
- Tečná rovina protíná v dvojice protínajících se čar,
- Protíná se netangenciální rovina se sklonem větším než 1 v hyperbola.[2]
Je zřejmé, že jakýkoli hyperboloid s jedním listem revoluce obsahuje kruhy. To je také pravda, ale méně zřejmé, v obecném případě (viz kruhový průřez ).
Vlastnosti hyperboloidu dvou listů


Hyperboloid dvou listů ano ne obsahovat řádky. Diskuse o rovinných řezech může být provedena pro jednotka hyperboloid dvou listů s rovnicí
- .
které lze generovat otáčením hyperbola kolem jedné ze svých os (ten, který řeže hyperbolu)
- Rovina se sklonem menším než 1 (1 je sklon asymptot generující se hyperboly) protíná buď v elipsa nebo v směřovat nebo vůbec,
- Rovina se sklonem rovným 1 obsahující počátek (střed hyperboloidu) ano neprotínají se ,
- Protíná se rovina se sklonem rovným 1, která neobsahuje počátek v parabola,
- Protíná se rovina se sklonem větším než 1 v hyperbola.[3]
Je zřejmé, že jakýkoli dvoulistový hyperboloid revoluce obsahuje kruhy. To je také pravda, ale méně zřejmé, v obecném případě (viz kruhový průřez ).
Poznámka: Hyperboloid dvou listů je projektivně ekvivalentní kouli.
Společná parametrická reprezentace
Následující parametrická reprezentace zahrnuje hyperboloidy jednoho listu, dvou listů a jejich společného hraničního kuželu, každý s -osa jako osa symetrie:
- Pro jeden získá hyperboloid jednoho listu,
- Pro hyperboloid dvou listů a
- Pro dvojitý kužel.
Jeden lze získat parametrickou reprezentaci hyperboloidu s jinou souřadnicovou osou jako osou symetrie zamícháním polohy termín na příslušnou složku ve výše uvedené rovnici.
Symetrie hyperboloidu
Hyperboloidy s rovnicemi jsou
- bodově symetrický k původu,
- symetrické k rovinám souřadnic a
- rotačně symetrický k ose z a symetricky k jakékoli rovině obsahující osu z, v případě (hyperboloid revoluce).
Na zakřivení hyperboloidu
Vzhledem k tomu, že Gaussovo zakřivení hyperboloidu jednoho listu je záporný, hyperboloidu dvou listů je kladný. Přes své pozitivní zakřivení lze hyperboloid dvou listů s jinou vhodně zvolenou metrikou použít také jako Modelka pro hyperbolickou geometrii.
Zobecněné rovnice
Obecněji řečeno, libovolně orientovaný hyperboloid se středem na proti, je definován rovnicí
kde A je matice a X, proti jsou vektory.
The vlastní vektory z A definovat hlavní směry hyperboloidu a vlastní čísla z A jsou reciproční čtverců poloos , a . Hyperboloid s jedním listem má dvě kladná vlastní čísla a jednu zápornou vlastní hodnotu. Hyperboloid se dvěma listy má jedno kladné vlastní číslo a dvě záporné vlastní čísla.
Ve více než třech rozměrech
Imaginární hyperboloidy se často vyskytují v matematice vyšších dimenzí. Například v a pseudoeuklidovský prostor jeden má použití a kvadratická forma:
Když C je jakýkoli konstantní, pak část prostoru danou
se nazývá a hyperboloid. Degenerovaný případ odpovídá C = 0.
Jako příklad zvažte následující pasáž:[4]
- ... vektory rychlosti vždy leží na povrchu, který Minkowski nazývá čtyřrozměrný hyperboloid, vyjádřený čistě reálnými souřadnicemi (y1, ..., y4), jeho rovnice je y2
1 + y2
2 + y2
3 − y2
4 = −1, analogický s hyperboloidem y2
1 + y2
2 − y2
3 = −1 trojrozměrného prostoru.[6]
Nicméně termín kvazi-koule v tomto kontextu se také používá, protože koule a hyperboloid mají určité společné rysy (viz § Vztah k sféře níže).
Hyperboloidní struktury
Jednoplášťové hyperboloidy se používají ve stavebnictví, přičemž struktury se nazývají hyperboloidní struktury. Hyperboloid je a dvojnásobně ovládaný povrch; Lze jej tedy postavit s rovnými ocelovými nosníky, čímž vznikne silná konstrukce za nižší cenu než u jiných metod. Mezi příklady patří chladicí věže, zejména z elektrárny, a mnoho dalších struktur.
- Galerie hyperboloidních struktur jednoho listu
The Maják Adziogol, Ukrajina, 1911.
Přístavní věž v Kóbe, Japonsko, 1963.
Vědecké centrum v Saint Louis James S. McDonnell Planetarium, St. Louis, Missouri, 1963.
Mezinárodní letiště Newcastle kontrolní věž, Newcastle upon Tyne, Anglie, 1967.
Přenosová věž Ještěd, Česká republika, 1968.
Katedrála v Brasílii, Brazílie, 1970.
Hyperboloidní vodárenská věž s toroidní nádrž, Ciechanów, Polsko, 1972.
Roy Thomson Hall, Toronto, Kanada, 1982.
The THTR-300 chladící věž pro nyní vyřazené z provozu thorium nukleární reaktor v Hamm -Uentrop, Německo, 1983.
The Corporation Street Bridge, Manchester, Anglie, 1999.
The Killesberg vyhlídková věž, Stuttgart, Německo, 2001.
The Kantonská věž, Čína, 2010.
The Essarts-le-Roi vodárenská věž, Francie.
Vztah k sféře
V roce 1853 William Rowan Hamilton zveřejnil svůj Přednášky o čtveřicích který zahrnoval prezentaci biquaternions. Následující pasáž ze stránky 673 ukazuje, jak Hamilton používá biquaternionovou algebru a vektory z čtveřice produkovat hyperboloidy z rovnice a koule:
- ... rovnice jednotkové koule ρ2 + 1 = 0a změňte vektor ρ do a bivektorová forma, jako σ + τ √−1. Rovnice koule se poté rozpadne na soustavu dvou následujících,
- σ2 − τ2 + 1 = 0, S.στ = 0;
- a navrhuje naše zvážení σ a τ jako dva reálné a obdélníkové vektory, takové
- Tτ = (Tσ2 − 1 )1/2.
- Je tedy snadné to odvodit, pokud předpokládáme σ λ, kde λ je vektor v dané poloze, nový skutečný vektor σ + τ skončí na povrchu a dvouplášťový a rovnostranný hyperboloid; a že pokud naopak předpokládáme τ λ, pak lokus konce pravého vektoru σ + τ bude rovnostranný, ale jednovrstvý hyperboloid. Studium těchto dvou hyperboloidů je tedy tímto způsobem velmi jednoduše spojeno prostřednictvím biquaternionů se studiem sféry; ...
- ... rovnice jednotkové koule ρ2 + 1 = 0a změňte vektor ρ do a bivektorová forma, jako σ + τ √−1. Rovnice koule se poté rozpadne na soustavu dvou následujících,
V této pasáži S je operátor poskytující skalární část čtveřice a T je „tensor“, nyní nazývaný norma čtveřice.
Moderní pohled na sjednocení sféry a hyperboloidu využívá myšlenku a kuželovitý řez jako plátek kvadratické formy. Místo a kuželovitý povrch, jeden vyžaduje kuželovitý hyperplochy v čtyřrozměrný prostor s body p = (w, X, y, z) ∈ R4 určeno kvadratické formy. Nejprve zvažte kuželovitý nadpovrch
- a
- což je nadrovina.
Pak je koule s poloměrem r. Na druhé straně kónický hyperplocha
- stanoví, že je hyperboloid.
V teorii kvadratické formy, a jednotka kvazi-koule je podmnožinou kvadratického prostoru X skládající se z X ∈ X tak, že kvadratická norma X je jedna.[7]
Viz také
- de Sitterův prostor
- Elipsoid
- Seznam povrchů
- Paraboloid / Hyperbolický paraboloid
- Regulus
- Otáčení os
- Split-quaternion § Profil
- Překlad axes
Reference
- ^ K. Strubecker: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, str. 218
- ^ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 116
- ^ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 122
- ^ Thomas Hawkins (2000) Vznik teorie skupin lži: esej z dějin matematiky, 1869—1926, §9.3 „Matematizace fyziky v Göttingenu“, viz strana 340, Springer ISBN 0-387-98963-3
- ^ Walter, Scott A. (1999), „Neeuklidovský styl minkowské relativity“, J. Gray (ed.), Symbolický vesmír: geometrie a fyzika 1890-1930„Oxford University Press, s. 91–127
- ^ Minkowski použil termín „čtyřrozměrný hyperboloid“ pouze jednou, v posmrtně publikovaném strojopisu, což bylo nestandardní, protože Minkowského hyperboloid je trojrozměrný podrozměr čtyřrozměrného minkowského prostoru [5]
- ^ Ian R. Porteous (1995) Clifford Algebras a klasické skupiny, strany 22, 24 a 106, Cambridge University Press ISBN 0-521-55177-3
- Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie, Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
- David A. Brannan, M. F. Esplen a Jeremy J. Gray (1999) Geometrie, str. 39–41 Cambridge University Press.
- H. S. M. Coxeter (1961) Úvod do geometrie, str. 130, John Wiley & Sons.