Tenzor - Tensor

Bylo navrženo, že Tenzor (vnitřní definice) být sloučeny do tohoto článku. (Diskutujte) Navrhováno od února 2020.

Druhý řád Cauchyho tenzor napětí (${displaystyle mathbf {T}}$) popisuje napěťové síly, kterými materiál prochází v daném bodě. Produkt ${displaystyle mathbf {T} cdot mathbf {v}}$ tenzoru napětí a jednotkového vektoru ${displaystyle mathbf {v}}$, směřující v daném směru, je vektor popisující namáhací síly, které zažívá materiál v bodě popsaném tenzorem napětí, podél roviny kolmé na ${displaystyle mathbf {v}}$.

Tento obrázek ukazuje vektory napětí ve třech kolmých směrech, z nichž každý představuje plochu krychle. Protože tenzor napětí popisuje mapování, které bere jeden vektor jako vstup a dává jeden vektor jako výstup, jedná se o tenzor druhého řádu.

v matematika, a tenzor je algebraický objekt, který popisuje (multilineární ) vztah mezi množinami algebraických objektů souvisejících s a vektorový prostor. Mezi objekty, které mohou tenzory mapovat, patří vektory a skaláry, a dokonce i další tenzory. Tenzory mohou mít několik různých forem - například: skaláry a vektory (což jsou nejjednodušší tenzory), duální vektory, multilineární mapy mezi vektorovými prostory a dokonce i některé operace, jako například Tečkovaný produkt. Tenzory jsou definovány nezávislý ze všech základ, i když na ně jejich komponenty často odkazují na základě souvisejícím s konkrétním souřadným systémem.

Tenzory jsou ve fyzice důležité, protože poskytují stručný matematický rámec pro formulování a řešení fyzikálních problémů v oblastech, jako je mechanika (stres, pružnost, mechanika tekutin, moment setrvačnosti, ...), elektrodynamika (elektromagnetický tenzor, Maxwellův tenzor, permitivita, magnetická susceptibilita, ...) nebo obecná relativita (tenzor napětí a energie, tenzor zakřivení, ... ) a další. V aplikacích je běžné studovat situace, ve kterých může v každém bodě objektu dojít k jinému tenzoru; například napětí v objektu se může lišit od jednoho místa k druhému. To vede k konceptu a tenzorové pole. V některých oblastech jsou tenzorová pole tak všudypřítomná, že se jim často jednoduše říká „tenzory“.

Tenzory byly koncipovány v roce 1900 Tullio Levi-Civita a Gregorio Ricci-Curbastro, který pokračoval v dřívější práci Bernhard Riemann a Elwin Bruno Christoffel a další, jako součást absolutní diferenciální počet. Koncept umožnil alternativní formulaci vnitřního diferenciální geometrie a potrubí ve formě Riemannův tenzor zakřivení.^[1]

Definice

Ačkoli se zdánlivě liší, různé přístupy k definování tenzorů popisují stejný geometrický koncept pomocí jiného jazyka a na různých úrovních abstrakce. Například jsou definovány a diskutovány tenzory pro statistické aplikace a aplikace strojového učení^[2].

Jako vícerozměrná pole

Tenzor může být reprezentován jako (potenciálně vícerozměrné) pole. Stejně jako vektor v n-dimenzionální prostor je reprezentován jednorozměrným polem s n komponenty vzhledem k danému základ, jakýkoli tenzor vzhledem k základně je reprezentován vícerozměrným polem. Například a lineární operátor je reprezentován v základu jako dvourozměrný čtverec n × n pole. Čísla ve vícerozměrném poli jsou známá jako skalární komponenty tenzoru nebo jednoduše jeho komponenty. Jsou označeny indexy udávajícími jejich pozici v poli, as dolní a horní indexy, následující symbolické jméno tenzoru. Například komponenty objednávky 2 tenzor T lze označit T_ij , kde i a j jsou indexy od 1 na n, nebo také T ⁱ
_j. Zda je index zobrazen jako horní nebo dolní index, závisí na transformačních vlastnostech tenzoru, které jsou popsány níže. Takže zatímco T_ij a T ⁱ
_j lze vyjádřit jako n podle n matice a jsou numericky příbuzné pomocí žonglování s indexem, rozdíl v jejich transformačních zákonech naznačuje, že by bylo nevhodné je sčítat. Celkový počet indexů potřebných k jedinečné identifikaci každé komponenty se rovná dimenze pole a nazývá se objednat, stupeň nebo hodnost tenzoru. Termín „hodnost“ však obecně má jiný význam v kontextu matic a tenzorů.

Stejně jako se mění složky vektoru, když měníme základ vektorového prostoru se při takové transformaci mění také složky tenzoru. Každý typ tenzoru je vybaven a transformační zákon který podrobně popisuje, jak komponenty tenzoru reagují na a změna základny. Složky vektoru mohou reagovat dvěma různými způsoby na a změna základny (vidět kovariance a kontravariance vektorů ), kde nový základní vektory ${displaystyle mathbf {hat {e}} _ {i}}$ jsou vyjádřeny jako staré základní vektory ${displaystyle mathbf {e} _ {j}}$ tak jako,

${displaystyle mathbf {hat {e}} _ {i} = součet _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} R_ {i} ^ {j} = mathbf {e} _ {j} R_ {i} ^ {j}.}$

Tady R ^j_i jsou záznamy změny základní matice a ve výrazu úplně vpravo bylo potlačeno znaménko sčítání: toto je Konvence Einsteinova součtu, které budou použity v tomto článku.^{[Poznámka 1]} Komponenty protiⁱ sloupcového vektoru proti transformovat pomocí inverzní matice R,

${displaystyle {hat {v}} ^ {i} = left (R ^ {- 1} ight) _ {j} ^ {i} v ^ {j},}$

kde klobouk označuje komponenty na novém základě. Tomu se říká a protikladný zákon transformace, protože vektorové komponenty se transformují pomocí inverzní změny základny. Naproti tomu komponenty, w_i, covector (nebo řádek vektor), w transformovat pomocí matice R sám,

${displaystyle {hat {w}} _ {i} = w_ {j} R_ {i} ^ {j}.}$

Tomu se říká a kovariantní zákon transformace, protože komponenty covektoru se transformují pomocí stejná matice jako změna základní matice. Složky obecnější tenzorové transformace nějakou kombinací kovariantních a kontravariantních transformací, s jedním transformačním zákonem pro každý index. Pokud je transformační matice indexu inverzní maticí základní transformace, potom se index volá protikladný a je konvenčně označen horním indexem (horní index). Pokud je transformační matice indexu samotnou základní transformací, potom se index volá kovariantní a je označen nižším indexem (dolní index).

Jako jednoduchý příklad je maticí lineárního operátoru vzhledem k základně obdélníkové pole ${displaystyle T}$ který se transformuje při změně základní matice ${displaystyle R = left (R_ {i} ^ {j} ight)}$ podle ${displaystyle {hat {T}} = R ^ {- 1} TR}$. Pro jednotlivé položky matice má tento transformační zákon formu ${displaystyle {hat {T}} _ {j '} ^ {i'} = vlevo (R ^ {- 1} ight) _ {i} ^ {i '} T_ {j} ^ {i} R_ {j' } ^ {j}}$ tenzor odpovídající matici lineárního operátoru má tedy jeden kovariantní a jeden kontravariantní index: je typu (1,1).

Kombinace kovariantních a kontravariantních komponent se stejným indexem nám umožňují vyjádřit geometrické invarianty. Například skutečnost, že vektor je stejný objekt v různých souřadnicových systémech, lze zachytit pomocí následujících rovnic pomocí výše definovaných vzorců:

${displaystyle mathbf {v} = {hat {v}} ^ {i}, mathbf {hat {e}} _ {i} = left (left (R ^ {- 1} ight) _ {j} ^ {i} {v} ^ {j} ight) left (mathbf {e} _ {k} R_ {i} ^ {k} ight) = left (left (R ^ {- 1} ight) _ {j} ^ {i} R_ {i} ^ {k} ight) {v} ^ {j} mathbf {e} _ {k} = delta _ {j} ^ {k} {v} ^ {j} mathbf {e} _ {k} = {v} ^ {k}, mathbf {e} _ {k} = {v} ^ {i}, mathbf {e} _ {i}}$,

kde ${displaystyle delta _ {j} ^ {k}}$ je Kroneckerova delta, který funguje podobně jako matice identity, a má za následek přejmenování indexů (j do k v tomto příkladu). To ukazuje několik funkcí zápisu komponenty: schopnost libovolně přeuspořádat podmínky (komutativita ), nutnost používat různé indexy při práci s více objekty ve stejném výrazu, schopnost přejmenovat indexy a způsob, jakým se kombinují kontravariantní a kovariantní tenzory, takže všechny instance transformační matice a jejího inverzního zrušení, takže výrazy jako ${displaystyle {v} ^ {i}, mathbf {e} _ {i}}$ lze okamžitě vidět, že je geometricky identický ve všech souřadnicových systémech.

Podobně lineární operátor, nahlížený jako geometrický objekt, ve skutečnosti nezávisí na základě: je to jen lineární mapa, která přijímá vektor jako argument a vytváří další vektor. Transformační zákon pro to, jak se matice komponent lineárního operátora mění s bází, je v souladu s transformačním zákonem pro kontravariantní vektor, takže působení lineárního operátoru na kontravariantní vektor je v souřadnicích reprezentováno jako maticový produkt jejich příslušné reprezentace souřadnic. To znamená komponenty ${displaystyle (Tv) ^ {i}}$ jsou dány ${displaystyle (Tv) ^ {i} = T_ {j} ^ {i} v ^ {j}}$. Tyto komponenty se od té doby transformují kontravariantně

${displaystyle left ({widehat {Tv}} ight) ^ {i '} = {hat {T}} _ {j'} ^ {i '} {hat {v}} ^ {j'} = left [left ( R ^ {- 1} ight) _ {i} ^ {i '} T_ {j} ^ {i} R_ {j'} ^ {j} ight] vlevo [vlevo (R ^ {- 1} ight) _ { j} ^ {j '} v ^ {j} ight] = vlevo (R ^ {- 1} ight) _ {i} ^ {i'} (Tv) ^ {i}.}$

Transformační zákon pro objednávku p + q tenzor s p kontrariantní indexy a q kovarianční indexy jsou tedy uvedeny jako,

${displaystyle {hat {T}} _ {j '_ {1}, ldots, j' _ {q}} ^ {i '_ {1}, ldots, i' _ {p}} = vlevo (R ^ { -1} ight) _ {i_ {1}} ^ {i '_ {1}} zbývající cdots (R ^ {- 1} ight) _ {i_ {p}} ^ {i' _ {p}}}$ ${displaystyle T_ {j_ {1}, ldots, j_ {q}} ^ {i_ {1}, ldots, i_ {p}}}$ ${displaystyle R_ {j '_ {1}} ^ {j_ {1}} cdots R_ {j' _ {q}} ^ {j_ {q}}.}$

Zde primované indexy označují komponenty v nových souřadnicích a neupravené indexy označují komponenty ve starých souřadnicích. O takovém tenzoru se říká, že má řád nebo typ (p, q). Pojmy „pořadí“, „typ“, „hodnost“, „valence“ a „stupeň“ se někdy používají pro stejný koncept. Zde se pojem „řád“ nebo „celkový řád“ použije pro celkovou dimenzi pole (nebo jeho zobecnění v jiných definicích), p + q v předchozím příkladu a výraz „typ“ pro dvojici udávající počet kontrariantních a kovariantních indexů. Tenzor typu (p, q) se také nazývá a (p, q)- zkráceně tenzor.

Tato diskuse motivuje následující formální definici:^[3][4]

Definice. Tenzor typu (p, q) je přiřazení vícerozměrného pole

${displaystyle T_ {j_ {1} tečky j_ {q}} ^ {i_ {1} tečky i_ {p}} [mathbf {f}]}$

pro každý základ F = (E₁, ..., E_n) z n-dimenzionální vektorový prostor takový, že pokud použijeme změnu základny

${displaystyle mathbf {f} mapsto mathbf {f} cdot R = left (mathbf {e} _ {i} R_ {1} ^ {i}, dots, mathbf {e} _ {i} R_ {n} ^ {i } v noci)}$

pak se vícerozměrné pole řídí zákonem transformace

${displaystyle T_ {j '_ {1} tečky j' _ {q}} ^ {i '_ {1} tečky i' _ {p}} [mathbf {f} cdot R] = vlevo (R ^ {- 1 } ight) _ {i_ {1}} ^ {i '_ {1}} cdots left (R ^ {- 1} ight) _ {i_ {p}} ^ {i' _ {p}}}$ ${displaystyle T_ {j_ {1}, ldots, j_ {q}} ^ {i_ {1}, ldots, i_ {p}} [mathbf {f}]}$ ${displaystyle R_ {j '_ {1}} ^ {j_ {1}} cdots R_ {j' _ {q}} ^ {j_ {q}}.}$

Definice tenzoru jako vícerozměrného pole splňujícího zákon transformace sahá až k Ricciho práci.^[1]

Ekvivalentní definice tenzoru používá reprezentace z obecná lineární skupina. Tady je akce obecné lineární skupiny na množině všech objednané základny z n-dimenzionální vektorový prostor. Li ${displaystyle mathbf {f} = (mathbf {f} _ {1}, tečky, mathbf {f} _ {n})}$ je objednaný základ a ${displaystyle R = (R_ {j} ^ {i})}$ je invertibilní ${displaystyle n imes n}$ matice, pak je akce dána

${displaystyle mathbf {f} R = (mathbf {f} _ {i} R_ {1} ^ {i}, tečky, mathbf {f} _ {i} R_ {n} ^ {i}).}$

Nechat F být souborem všech objednaných základen. Pak F je hlavní homogenní prostor pro GL (n). Nechat Ž být vektorovým prostorem a nechat ${displaystyle ho}$ být reprezentací GL (n) zapnuto Ž (tj skupinový homomorfismus ${displaystyle ho: {ext {GL}} (n) o {ext {GL}} (W)}$). Pak tenzor typu ${displaystyle ho}$ je ekvivariantní mapa ${displaystyle T: F o W}$. Rovnocennost zde znamená to

${displaystyle T (FR) = ho (R ^ {- 1}) T (F).}$

Když ${displaystyle ho}$ je tenzorová reprezentace obecné lineární skupiny dává obvyklou definici tenzorů jako vícerozměrných polí. Tato definice se často používá k popisu tenzorů na potrubích,^[5] a snadno zobecnit na jiné skupiny.^[3]

Jako multilineární mapy

Nevýhodou definice tenzoru pomocí přístupu vícerozměrného pole je, že z definice není zřejmé, že definovaný objekt je skutečně nezávislý na bázi, jak se očekává od vnitřně geometrického objektu. Ačkoli je možné ukázat, že transformační zákony skutečně zajišťují nezávislost na základně, někdy je upřednostňována podstatnější definice. Jeden přístup, který je běžný v diferenciální geometrie je definovat tenzory vzhledem k pevnému (konečně-rozměrnému) vektorovému prostoru PROTI, který je obvykle považován za konkrétní vektorový prostor určitého geometrického významu, jako je tečný prostor do potrubí.^[6] V tomto přístupu typ (p, q) tenzor T je definována jako a multilineární mapa,

${displaystyle T: underbrace {V ^ {*} imes dots imes V ^ {*}} _ {p {ext {copy}}} imes underbrace {V imes dots imes V} _ {q {ext {copy}}} ightarrow mathbf {R},}$

kde PROTI^∗ je odpovídající dvojí prostor covektorů, který je lineární v každém z jeho argumentů. Výše uvedené předpokládá PROTI je vektorový prostor nad reálná čísla, ℝ. Obecněji, PROTI lze převzít libovolné pole čísel, F (např komplexní čísla ) s jednorozměrným vektorovým prostorem F výměna ℝ jako codomain multilineárních map.

Aplikováním multilineární mapy T typu (p, q) na základě {E_j} pro PROTI a kanonická spolužití {εⁱ} pro PROTI^∗,

${displaystyle T_ {j_ {1} tečky j_ {q}} ^ {i_ {1} tečky i_ {p}} ekviv Tleft ({oldsymbol {varepsilon}} ^ {i_ {1}}, ldots, {oldsymbol {varepsilon} } ^ {i_ {p}}, mathbf {e} _ {j_ {1}}, ldots, mathbf {e} _ {j_ {q}} ight),}$

A (p + q)-dimenzionální pole komponent lze získat. Jiný výběr základny přinese různé komponenty. Ale protože T je lineární ve všech svých argumentech, komponenty splňují zákon tenzorové transformace použitý v definici vícerozměrného pole. Vícerozměrné pole složek T tak tvoří tenzor podle této definice. Kromě toho lze takové pole realizovat jako komponenty nějaké multilineární mapy T. To motivuje k prohlížení multilineárních map jako vnitřních objektů pod tenzory.

Při pohledu na tenzor jako multilineární mapu je běžné identifikovat dvojitý duální PROTI^∗∗ vektorového prostoru PROTI, tj. prostor lineárních funkcionálů na duálním vektorovém prostoru PROTI^∗, s vektorovým prostorem PROTI. Vždy existuje přirozená lineární mapa z PROTI na jeho dvojí duál, daný hodnocením lineární formy v PROTI^∗ proti vektoru v PROTI. Toto lineární mapování je izomorfismus v konečných dimenzích a je často vhodné jej identifikovat PROTI s jeho dvojitým duálním.

Používání tenzorových produktů

Pro některé matematické aplikace je někdy užitečnější abstraktnější přístup. Toho lze dosáhnout definováním tenzorů, pokud jde o prvky tenzorové výrobky vektorových prostorů, které jsou zase definovány pomocí a univerzální vlastnictví. Typ (p, q) tenzor je v této souvislosti definován jako prvek tenzorového součinu vektorových prostorů,^[7][8]

${displaystyle Tin underbrace {Votimes dots otimes V} _ {p {ext {copy}}} otimes underbrace {V ^ {*} otimes dots otimes V ^ {*}} _ {q {ext {copy}}}.}$

Základ proti_i z PROTI a základ w_j z Ž přirozeně vyvolat základ proti_i ⊗ w_j tenzorového produktu PROTI ⊗ Ž. Složky tenzoru T jsou koeficienty tenzoru vzhledem k základně získané z báze {E_i} pro PROTI a jeho dvojí základ {ε^j}, tj.

${displaystyle T = T_ {j_ {1} tečky j_ {q}} ^ {i_ {1} tečky i_ {p}}; mathbf {e} _ {i_ {1}} otimes cdots otimes mathbf {e} _ {i_ {p}} otimes {oldsymbol {varepsilon}} ^ {j_ {1}} otimes cdots otimes {oldsymbol {varepsilon}} ^ {j_ {q}}.}$

Pomocí vlastností tenzorového produktu lze ukázat, že tyto komponenty splňují zákon transformace pro typ (p, q) tenzor. Navíc univerzální vlastnost tenzorového produktu dává a 1-na-1 korespondence mezi takto definovanými tenzory a tenzory definovanými jako multilineární mapy.

Produkty Tensor lze definovat s velkou obecností - například zahrnující libovolné moduly přes prsten. V zásadě lze definovat „tenzor“ jednoduše jako prvek jakéhokoli tenzorového produktu. Matematická literatura si však tento termín obvykle vyhrazuje tenzor pro prvek tenzorového produktu libovolného počtu kopií jediného vektorového prostoru PROTI a jeho duální, jak je uvedeno výše.

Tenzory v nekonečných rozměrech

Tato diskuse o tenzorech zatím předpokládá konečnou rozměrnost příslušných prostorů, kde jsou tenzorové prostory získané každou z těchto konstrukcí přirozeně izomorfní.^{[Poznámka 2]} Konstrukce prostorů tenzorů na základě tenzorového součinu a vícerozměrných mapování lze zobecnit, v podstatě bez modifikace, na vektorové svazky nebo koherentní snopy.^[9] U nekonečných trojrozměrných vektorových prostorů vedou nerovnoměrné topologie k nerovnoměrným představám o tenzoru a tyto různé izomorfismy mohou nebo nemusí platit v závislosti na tom, co přesně znamená tenzor (viz topologický tenzorový produkt ). V některých aplikacích je to tenzorový produkt Hilbertových prostorů to je zamýšleno, jehož vlastnosti jsou nejvíce podobné případu konečných rozměrů. Modernější pohled je, že se jedná o strukturu tenzorů jako a symetrická monoidní kategorie který kóduje jejich nejdůležitější vlastnosti, spíše než konkrétní modely těchto kategorií.^[10]

Tenzorová pole

V mnoha aplikacích, zejména v diferenciální geometrii a fyzice, je přirozené uvažovat o tenzoru se složkami, které jsou funkcemi bodu v prostoru. To bylo nastavení Ricciho původního díla. V moderní matematické terminologii se takový objekt nazývá a tenzorové pole, často označovaný jednoduše jako tenzor.^[1]

V této souvislosti a souřadnicový základ je často vybrán pro tečný vektorový prostor. Zákon o transformaci lze poté vyjádřit pomocí částečné derivace souřadnicových funkcí,

${displaystyle {ar {x}} ^ {i} vlevo (x ^ {1}, ldots, x ^ {n} ight),}$

definování transformace souřadnic,^[1]

${displaystyle {hat {T}} _ {j '_ {1} tečky j' _ {q}} ^ {i '_ {1} tečky i' _ {p}} vlevo ({ar {x}} ^ { 1}, ldots, {ar {x}} ^ {n} ight) = {frac {částečné {ar {x}} ^ {i '_ {1}}} {částečné x ^ {i_ {1}}}} cdots {frac {částečné {ar {x}} ^ {i '_ {p}}} {částečné x ^ {i_ {p}}}} {frac {částečné x ^ {j_ {1}}} {částečné {ar {x}} ^ {j '_ {1}}}} cdots {frac {částečné x ^ {j_ {q}}} {částečné {ar {x}} ^ {j' _ {q}}}} T_ { j_ {1} tečky j_ {q}} ^ {i_ {1} tečky i_ {p}} vlevo (x ^ {1}, ldots, x ^ {n} ight).}$

Příklady

Elementárním příkladem mapování, které lze popsat jako tenzor, je Tečkovaný produkt, který mapuje dva vektory na skalární. Složitějším příkladem je Cauchyho tenzor napětí T, který přebírá vektor směrové jednotky proti jako vstup a mapuje jej na vektor napětí T^(proti), což je síla (na jednotku plochy) vyvíjená materiálem na zápornou stranu roviny kolmé na proti proti materiálu na kladné straně roviny, což vyjadřuje vztah mezi těmito dvěma vektory, znázorněnými na obrázku (vpravo). The křížový produkt, kde jsou dva vektory mapovány na třetí, je přísně řečeno ne tenzor, protože mění své znaménko pod těmi transformacemi, které mění orientaci souřadného systému. The zcela anti-symetrický symbol ${displaystyle varepsilon _ {ijk}}$ nicméně umožňuje pohodlnou manipulaci s příčným produktem ve stejně orientovaných trojrozměrných souřadnicových systémech.

Tato tabulka ukazuje důležité příklady tenzorů na vektorových prostorech a tenzorových polí na potrubích. Tenzory jsou klasifikovány podle jejich typu (n, m), kde n je počet kontrariantních indexů, m je počet kovariančních indexů a n + m udává celkový řád tenzoru. Například a bilineární forma je totéž jako a (0, 2)-tenzor; an vnitřní produkt je příkladem a (0, 2)-tenzor, ale ne všichni (0, 2)-tenzory jsou vnitřní produkty. V (0, M)- vstup do tabulky, M označuje rozměrnost podkladového vektorového prostoru nebo potrubí, protože pro každou dimenzi prostoru je pro výběr této dimenze potřebný samostatný index, aby se získal maximálně kovariantní antisymetrický tenzor.

Zvýšení indexu na (n, m)-tenzor produkuje (n + 1, m − 1)-tenzor; to odpovídá úhlopříčnému pohybu dolů a doleva na stole. Symetricky klesá index tak, že se na stole pohybuje šikmo nahoru a doprava. Kontrakce horní s dolním indexem (n, m)-tenzor produkuje (n − 1, m − 1)-tenzor; to odpovídá úhlopříčnému pohybu stolu a doleva na stole.

Orientace definovaná uspořádanou sadou vektorů.

Obrácená orientace odpovídá negaci vnějšího produktu.

Geometrická interpretace známky n prvky ve skutečném vnější algebra pro n = 0 (znaménko), 1 (směrovaný úsečka nebo vektor), 2 (prvek orientované roviny), 3 (orientovaný objem). Vnější produkt n vektory lze vizualizovat jako libovolné n-dimenzionální tvar (např. n-rovnoběžník, n-elipsoid ); s velikostí (hypervolume ), a orientace definováno tím na jeho n − 1-dimenzionální hranice a na které straně je interiér.^[12][13]

Vlastnosti

Za předpokladu, že základ skutečného vektorového prostoru, např. souřadnicového rámce v okolním prostoru, může být tenzor reprezentován jako organizovaný vícerozměrné pole číselných hodnot s ohledem na tento konkrétní základ. Změna základny transformuje hodnoty v poli charakteristickým způsobem, který umožňuje definovat tenzory jako objekty dodržující toto transformační chování. Například existují invarianty tenzorů, které musí být zachovány při jakékoli změně základny, čímž se vytvoří pouze určitá vícerozměrná pole čísel tenzor. Porovnejte to s polem představujícím ${displaystyle varepsilon _ {ijk}}$ nebýt tenzorem, pro změnu znaménka při transformacích měnících orientaci.

Protože se složky vektorů a jejich duály transformují odlišně při změně jejich duálních bází, existuje a zákon o kovarianci a / nebo kontravariantní transformaci to souvisí s poli, která představují tenzor s ohledem na jeden základ a který s ohledem na druhý. Počet, respektive vektory: n (protikladný indexy) a duální vektory: m (kovariantní indexy) na vstupu a výstupu tenzoru určují typ (nebo mocenství) tenzoru, dvojice přirozených čísel (n, m), které určují přesnou formu transformačního zákona. The objednat tenzoru je součet těchto dvou čísel.

Objednávka (také stupeň nebo hodnost) tenzoru je tedy součet pořadí jeho argumentů plus pořadí výsledného tenzoru. Toto je také rozměrnost pole čísel potřebných k reprezentaci tenzoru s ohledem na konkrétní základnu nebo ekvivalentně počet indexů potřebných k označení každé komponenty v tomto poli. Například na pevném základě je standardní lineární mapa, která mapuje vektor na vektor, reprezentována maticí (dvourozměrné pole), a proto je tenzorem 2. řádu. Jednoduchý vektor může být reprezentován jako jednorozměrné pole, a je tedy tenzorem 1. řádu. Skaláry jsou jednoduchá čísla a jsou tedy tenzory 0. řádu. Tímto způsobem má tenzor představující skalární součin, který vezme dva vektory a výsledkem je skalární, řád 2 + 0 = 2, stejné jako tenzor napětí, přičemž vezme jeden vektor a vrátí další 1 + 1 = 2. The ${displaystyle varepsilon _ {ijk}}$-symbol, mapování dvou vektorů na jeden vektor, bude mít řád 2 + 1 = 3.

Sbírka tenzorů na vektorovém prostoru a jeho duálních formách a tenzorová algebra, který umožňuje produkty libovolných tenzorů. Jednoduché aplikace tenzorů řádu 2, které lze reprezentovat jako čtvercovou matici, lze vyřešit chytrým uspořádáním transponovaných vektorů a použitím pravidel násobení matic, ale tenzorový produkt by s tím neměl být zaměňován.

Zápis

Existuje několik notačních systémů, které se používají k popisu tenzorů a provádění výpočtů, které je zahrnují.

Ricciho počet

Ricciho počet je moderní formalismus a notace pro tenzorové indexy: indikační vnitřní a vnější výrobky, kovariance a kontravariance, shrnutí tenzorových komponent, symetrie a antisymetrie, a částečný a kovarianční deriváty.

Konvence Einsteinova součtu

The Konvence Einsteinova součtu odpadá psaní součtové značky, přičemž součet je implicitní. Jakýkoli opakovaný symbol indexu se sečte: pokud je index i se v daném termínu tenzorového výrazu používá dvakrát, znamená to, že tento výraz má být sečten pro všechny i. Takto lze shrnout několik odlišných párů indexů.

Penrosova grafická notace

Penrosova grafická notace je schematický zápis, který nahrazuje symboly pro tenzory tvary a jejich indexy čárami a křivkami. Je nezávislý na základních prvcích a pro indexy nevyžaduje žádné symboly.

Abstraktní indexová notace

The abstraktní indexová notace je způsob, jak psát tenzory tak, že indexy již nejsou považovány za číselné, ale spíše jsou neurčí. Tato notace zachycuje expresivitu indexů a bazickou nezávislost bezindexové notace.

Notace bez komponent

A bezkomponentní zpracování tenzorů používá notaci, která zdůrazňuje, že tenzory se na žádném základě nespoléhají, a je definována v podmínkách tenzorový součin vektorových prostorů.

Operace

Existuje několik operací s tenzory, které opět vytvářejí tenzor. Lineární povaha tenzoru znamená, že dva tenzory stejného typu lze sčítat a že tenzory lze vynásobit skalárem s výsledky analogickými k změna měřítka vektoru. U komponent se tyto operace jednoduše provádějí po jednotlivých komponentách. Tyto operace nemění typ tenzoru; ale existují také operace, které produkují tenzor jiného typu.

Tenzorový produkt

The tenzorový produkt trvá dva tenzory, S a T, a produkuje nový tenzor, S ⊗ T, jehož objednávka je součtem objednávek původních tenzorů. Když je popsán jako multilineární mapy, tenzorový produkt jednoduše znásobí dva tenzory, tj.

${displaystyle (Sotimes T) (v_ {1}, ldots, v_ {n}, v_ {n + 1}, ldots, v_ {n + m}) = S (v_ {1}, ldots, v_ {n}) T (v_ {n + 1}, ldots, v_ {n + m}),}$

což opět vytváří mapu, která je lineární ve všech svých argumentech. Na součástech je efektem znásobení složek dvou vstupních tenzorů po párech, tj.

${displaystyle (Sotimes T) _ {j_ {1} ldots j_ {k} j_ {k + 1} ldots j_ {k + m}} ^ {i_ {1} ldots i_ {l} i_ {l + 1} ldots i_ {l + n}} = S_ {j_ {1} ldots j_ {k}} ^ {i_ {1} ldots i_ {l}} T_ {j_ {k + 1} ldots j_ {k + m}} ^ {i_ {l + 1} ldots i_ {l + n}},}$

Li S je typu (l, k) a T je typu (n, m), pak tenzorový produkt S ⊗ T má typ (l + n, k + m).

Kontrakce

Kontrakce tenzoru je operace, která zmenšuje typ (n, m) tenzor na typ (n − 1, m − 1) tenzor, z toho stopa je zvláštní případ. Tím snižuje celkový řád tenzoru o dva. Operace je dosažena sečtením komponent, pro které je jeden zadaný kontravariantní index stejný jako jeden určený index kovariant, aby se vytvořila nová komponenta. Komponenty, pro které jsou tyto dva indexy odlišné, jsou zahozeny. Například a (1, 1)-tenzor ${displaystyle T_ {i} ^ {j}}$ lze zkrátit na skalární průchod

${displaystyle T_ {i} ^ {i}}$.

Kde je součet opět naznačen. Když (1, 1)-tensor je interpretován jako lineární mapa, tato operace je známá jako stopa.

Kontrakce se často používá ve spojení s tenzorovým produktem ke kontrakci indexu z každého tenzoru.

Kontrakci lze také chápat pomocí definice tenzoru jako prvku tenzorového součinu kopií prostoru PROTI s prostorem PROTI^∗ nejprve rozložením tenzoru na lineární kombinaci jednoduchých tenzorů a poté použitím faktoru z PROTI^∗ na faktor od PROTI. Například tenzor

${displaystyle Tin Votimes Votimes V ^ {*}}$

lze psát jako lineární kombinaci

${displaystyle T = v_ {1} otimes w_ {1} otimes alpha _ {1} + v_ {2} otimes w_ {2} otimes alpha _ {2} + cdots + v_ {N} otimes w_ {N} otimes alpha _ {N}.}$

Kontrakce T na prvním a posledním slotu je vektor

${displaystyle alpha _ {1} (v_ {1}) w_ {1} + alpha _ {2} (v_ {2}) w_ {2} + cdots + alpha _ {N} (v_ {N}) w_ {N }.}$

Ve vektorovém prostoru s vnitřní produkt (také známý jako metrický ) G, termín kontrakce se používá k odstranění dvou kontravariantních nebo dvou kovariantních indexů vytvořením stopy s metrickým tenzorem nebo jeho inverzí. Například a (2, 0)-tenzor ${displaystyle T ^ {ij}}$ lze zkrátit na skalární průchod

${displaystyle T ^ {ij} g_ {ij}}$

(opět za předpokladu konvence sčítání).

Zvýšení nebo snížení indexu

Když je vektorový prostor vybaven a nedgenerovaná bilineární forma (nebo metrický tenzor jak se v tomto kontextu často nazývá), lze definovat operace, které převádějí kontravariantní (horní) index na kovariantní (dolní) index a naopak. Metrický tenzor je (symetrický) (0, 2)-tenzor; je tedy možné uzavřít horní index tenzoru s jedním ze spodních indexů metrického tenzoru v produktu. Tím se vytvoří nový tenzor se stejnou strukturou indexu jako předchozí tenzor, ale s dolním indexem, který se obecně zobrazuje ve stejné poloze jako smluvní horní index. Tato operace je docela graficky známá jako snížení indexu.

Naopak lze inverzní operaci definovat a je volána zvýšení indexu. To odpovídá podobné kontrakci na produktu s a (2, 0)-tenzor. Tento inverzní metrický tenzor má komponenty, které jsou inverzní maticí k těm metrického tenzoru.

Aplikace

Mechanika kontinua

Důležité příklady poskytuje mechanika kontinua. Napětí uvnitř a pevné tělo nebo tekutina jsou popsány tenzorovým polem. The tenzor napětí a tenzor napětí jsou obě tenzorová pole druhého řádu a jsou spojena v obecném lineárně elastickém materiálu čtvrtého řádu tenzor pružnosti pole. Podrobně má tenzorové kvantifikační napětí v trojrozměrném pevném objektu komponenty, které lze pohodlně reprezentovat jako pole 3 × 3. Tři plochy nekonečně objemového segmentu tělesa ve tvaru krychle jsou každá vystaveny určité dané síle. Počet vektorových složek síly je také tři. K popisu napětí v tomto nekonečně segmentu ve tvaru krychle jsou tedy zapotřebí 3 × 3 nebo 9 komponent. V mezích této pevné látky je celá masa proměnných veličin napětí, z nichž každá vyžaduje 9 veličin k popisu. Je tedy zapotřebí tenzor druhého řádu.

Pokud konkrétní povrchový prvek uvnitř materiálu je vybrán, bude materiál na jedné straně povrchu působit silou na druhou stranu. Obecně tato síla nebude kolmá k povrchu, ale bude záviset na orientaci povrchu lineárně. To je popsáno tenzorem typ (2, 0), v lineární pružnost, nebo přesněji typem tenzorového pole (2, 0), protože napětí se může lišit od bodu k bodu.

Další příklady z fyziky

Mezi běžné aplikace patří:

• Elektromagnetický tenzor (nebo Faradayův tenzor) v elektromagnetismus
• Tenzory konečné deformace pro popis deformací a tenzor napětí pro kmen v mechanika kontinua
• Permitivita a elektrická citlivost jsou tenzory v anizotropní média
• Čtyři tenzory v obecná relativita (např. tenzor napětí a energie ), který se používá k reprezentaci hybnost tavidla
• Sférické tenzorové operátory jsou vlastní funkce kvanta operátor momentu hybnosti v sférické souřadnice
• Difúzní tenzory, základ difúzní tenzorové zobrazování, představují rychlosti difúze v biologickém prostředí
• Kvantová mechanika a kvantové výpočty využívat tenzorové produkty pro kombinaci kvantových stavů

Aplikace tenzorů řádu> 2

Koncept tenzoru řádu dva se často sjednocuje s konceptem matice. Tenzory vyššího řádu však zachycují myšlenky důležité ve vědě a strojírenství, jak se postupně ukázalo v mnoha oblastech při jejich vývoji. To se děje například v oblasti počítačové vidění, s trifokální tenzor zobecňující základní matice.

Pole nelineární optika studuje změny materiálu hustota polarizace v extrémních elektrických polích. Generované polarizační vlny souvisejí s generováním elektrická pole prostřednictvím tenzoru nelineární susceptibility. Pokud polarizace P není lineárně úměrná elektrickému poli E, médium se nazývá nelineární. Na dobrou aproximaci (pro dostatečně slabá pole, za předpokladu, že nejsou přítomny žádné trvalé dipólové momenty), P je dán a Taylor série v E jejichž koeficienty jsou nelineární susceptibility:

${displaystyle {frac {P_ {i}} {varepsilon _ {0}}} = součet _ {j} chi _ {ij} ^ {(1)} E_ {j} + součet _ {jk} chi _ {ijk} ^ {(2)} E_ {j} E_ {k} + součet _ {jkell} chi _ {ijkell} ^ {(3)} E_ {j} E_ {k} E_ {ell} + cdots.!}$

Tady ${displaystyle chi ^ {(1)}}$ je lineární náchylnost, ${displaystyle chi ^ {(2)}}$ dává Pockelsův efekt a druhá harmonická generace, a ${displaystyle chi ^ {(3)}}$ dává Kerrův efekt. Tato expanze ukazuje způsob, jakým v předmětu přirozeně vznikají tenzory vyššího řádu.

Zobecnění

Tenzorové produkty vektorových prostorů

Vektorový prostor a tenzorový produkt nemusí být stejné a někdy se prvky takového obecnějšího tenzorového produktu nazývají „tenzory“. Například prvek tenzorového produktového prostoru PROTI ⊗ Ž je „tensor“ druhého řádu v tomto obecnějším smyslu,^[14] a objednávkad tenzor lze rovněž definovat jako prvek tenzorového součinu d různé vektorové prostory.^[15] Typ (n, m) tensor, ve smyslu definovaném dříve, je také tensor řádu n + m v tomto obecnějším smyslu. Koncept tenzorového produktu lze prodloužit libovolně moduly přes prsten.

Tenzory v nekonečných rozměrech

Pojem tenzor lze zobecnit různými způsoby nekonečné rozměry. Jeden je například přes tenzorový produkt z Hilbertovy prostory.^[16] Další způsob zobecnění myšlenky tenzoru, běžný v nelineární analýza, je prostřednictvím definice multilineárních map kde místo použití konečných trojrozměrných vektorových prostorů a jejich algebraické duály, jeden používá nekonečně-dimenzionální Banachovy prostory a jejich kontinuální duální.^[17] Tenzory tak žijí přirozeně dál Banachova potrubí^[18] a Fréchetová potrubí.

Hustoty tenzoru

Předpokládejme, že se vyplní homogenní médium R³, takže hustota média je popsána jediným skalární hodnota ρ v kg m⁻³. Hmotnost oblasti v kg Ω se získá vynásobením ρ podle objemu regionu Ωnebo ekvivalentní integraci konstanty ρ přes region:

${displaystyle m = int _ {Omega} ho, dx, dy, dz}$

kde kartézské souřadnice xyz jsou měřeny v m. Pokud jsou jednotky délky změněny na cm, musí být numerické hodnoty souřadnicových funkcí změněny měřítkem o faktor 100:

${displaystyle x '= 100x, quad y' = 100y, quad z '= 100z}$

Číselná hodnota hustoty ρ pak musí také transformovat pomocí ${displaystyle 100 ^ {- 3} m ^ {3} / cm ^ {3}}$ kompenzovat, takže číselná hodnota hmotnosti v kg je stále dána integrálem ${displaystyle ho, dx, dy, dz}$. Tím pádem ${displaystyle ho '= 100 ^ {- 3} ho}$ (v jednotkách kg cm⁻³).

Obecněji řečeno, pokud jsou kartézské souřadnice xyz podstoupit lineární transformaci, pak číselnou hodnotu hustoty ρ se musí změnit o faktor převrácené hodnoty absolutní hodnoty určující transformace souřadnic, takže integrál zůstane neměnný, pomocí změna vzorce proměnných pro integraci. Taková veličina, která se mění o převrácenou hodnotu absolutní hodnoty determinantu mapy přechodu souřadnic, se nazývá a skalární hustota. Chcete-li modelovat nekonstantní hustotu, ρ je funkcí proměnných xyz (A skalární pole ) a pod křivočarou změnou souřadnic se transformuje převrácenou hodnotou Jacobian změny souřadnic. Další informace o vnitřním významu viz Hustota na potrubí.

A tensor density transforms like a tensor under a coordinate change, except that it in addition picks up a factor of the absolute value of the determinant of the coordinate transition:^[19]

${displaystyle T_{j'_{1}dots j'_{q}}^{i'_{1}dots i'_{p}}[mathbf {f} cdot R]=|det R|^{-w}left(R^{-1}ight)_{i_{1}}^{i'_{1}}cdots left(R^{-1}ight)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${displaystyle T_{j_{1},ldots ,j_{q}}^{i_{1},ldots ,i_{p}}[mathbf {f} ]}$ ${displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Tady w is called the weight. In general, any tensor multiplied by a power of this function or its absolute value is called a tensor density, or a weighted tensor.^[20][21] An example of a tensor density is the proudová hustota z elektromagnetismus.

Under an affine transformation of the coordinates, a tensor transforms by the linear part of the transformation itself (or its inverse) on each index. These come from the rational representations of the general linear group. But this is not quite the most general linear transformation law that such an object may have: tensor densities are non-rational, but are still polojednoduchý reprezentace. A further class of transformations come from the logarithmic representation of the general linear group, a reducible but not semisimple representation,^[22] skládající se z (X,y) ∈ R² with the transformation law

${displaystyle (x,y)mapsto (x+ylog |det R|,y).}$

Geometric objects

The transformation law for a tensor behaves as a funktor on the category of admissible coordinate systems, under general linear transformations (or, other transformations within some class, such as local diffeomorphisms.) This makes a tensor a special case of a geometrical object, in the technical sense that it is a function of the coordinate system transforming functorially under coordinate changes.^[23] Examples of objects obeying more general kinds of transformation laws are trysky and, more generally still, natural bundles.^[24][25]

Spinors

When changing from one ortonormální základ (volal a rám) to another by a rotation, the components of a tensor transform by that same rotation. This transformation does not depend on the path taken through the space of frames. However, the space of frames is not jednoduše připojeno (vidět zapletení orientace a talířový trik ): there are continuous paths in the space of frames with the same beginning and ending configurations that are not deformable one into the other. It is possible to attach an additional discrete invariant to each frame that incorporates this path dependence, and which turns out (locally) to have values of ±1.^[26] A spinor is an object that transforms like a tensor under rotations in the frame, apart from a possible sign that is determined by the value of this discrete invariant.^[27][28]

Succinctly, spinors are elements of the rotační reprezentace of the rotation group, while tensors are elements of its tensor representations. jiný klasické skupiny have tensor representations, and so also tensors that are compatible with the group, but all non-compact classical groups have infinite-dimensional unitary representations as well.

Dějiny

The concepts of later tensor analysis arose from the work of Carl Friedrich Gauss v diferenciální geometrie, and the formulation was much influenced by the theory of algebraic forms and invariants developed during the middle of the nineteenth century.^[29] The word "tensor" itself was introduced in 1846 by William Rowan Hamilton^[30] to describe something different from what is now meant by a tensor.^{[Poznámka 3]} The contemporary usage was introduced by Woldemar Voigt v roce 1898.^[31]

Tensor calculus was developed around 1890 by Gregorio Ricci-Curbastro pod názvem absolute differential calculus, and originally presented by Ricci-Curbastro in 1892.^[32] It was made accessible to many mathematicians by the publication of Ricci-Curbastro and Tullio Levi-Civita 's 1900 classic text Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Methods of absolute differential calculus and their applications).^[33]

In the 20th century, the subject came to be known as tenzorová analýza, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein teorie o obecná relativita, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about them, with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann.^[34] Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct mistakes Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915–17, and was characterized by mutual respect:

I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot.

— Albert Einstein^[35]

Tensors were also found to be useful in other fields such as mechanika kontinua. Some well-known examples of tensors in diferenciální geometrie jsou kvadratické formy jako metrické tenzory a Riemannův tenzor zakřivení. The vnější algebra z Hermann Grassmann, from the middle of the nineteenth century, is itself a tensor theory, and highly geometric, but it was some time before it was seen, with the theory of diferenciální formy, as naturally unified with tensor calculus. Práce Élie Cartan made differential forms one of the basic kinds of tensors used in mathematics.

From about the 1920s onwards, it was realised that tensors play a basic role in algebraická topologie (for example in the Künneth theorem ).^[36] Correspondingly there are types of tensors at work in many branches of abstraktní algebra, zejména v homologická algebra a teorie reprezentace. Multilinear algebra can be developed in greater generality than for scalars coming from a pole. For example, scalars can come from a prsten. But the theory is then less geometric and computations more technical and less algorithmic.^[37] Tensors are generalized within teorie kategorií by means of the concept of monoidní kategorie, from the 1960s.^[38]

Viz také

• Datový typ pole, for tensor storage and manipulation

Foundational

• Cartesian tensor
• Svazek vláken
• Glosář teorie tenzorů
• Multilinear projection
• Jedna forma
• Tenzorový produkt modulů

Aplikace

• Application of tensor theory in engineering
• Mechanika kontinua
• Kovovariantní derivát
• Zakřivení
• Diffusion tensor MRI
• Einsteinovy ​​polní rovnice
• Mechanika tekutin
• Gravitace
• Multilineární podprostorové učení
• Riemannova geometrie
• Tenzor struktury
• Tensor decomposition
• Tensor derivative
• Tensor software

Poznámky

Reference

Charakteristický

Všeobecné

• This article incorporates material from tensor on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Tensor". MathWorld.
• Ray M. Bowen and C. C. Wang (1976). Introduction to Vectors and Tensors, Vol 1: Linear and Multilinear Algebra. New York, NY.: Plenum Press. hdl:1969.1/2502.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
• Ray M. Bowen and C. C. Wang (2006). Introduction to Vectors and Tensors, Vol 2: Vector and Tensor Analysis. hdl:1969.1/3609.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
• An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering by Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, released by NASA
• Foundations of Tensor Analysis for Students of Physics and Engineering With an Introduction to the Theory of Relativity by Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, released by NASA
• A discussion of the various approaches to teaching tensors, and recommendations of textbooks
• Introduction to tensors an original approach by S Poirier
• Sharipov, Ruslan (2004). "Quick introduction to tensor analysis". arXiv:math.HO/0403252.
• Richard P. Feynman's Lecture on tensors.