Choquet integrální - Choquet integral
A Choquet integrální je subadditivní nebo superaditivum integrál vytvořený francouzským matematikem Gustave Choquet v roce 1953.[1] To bylo původně použito v statistická mechanika a teorie potenciálu,[2] ale našel si cestu do teorie rozhodování v 80. letech[3] kde se používá jako způsob měření očekávaného nástroj nejisté události. Aplikuje se konkrétně na členské funkce a kapacity. v nepřesná teorie pravděpodobnosti, Choquetův integrál se také používá k výpočtu nižšího očekávání vyvolaného 2-monotónem nižší pravděpodobnost, nebo horní očekávání vyvolané 2-střídáním horní pravděpodobnost.
Použití Choquetova integrálu k označení očekávané užitečnosti funkcí víry měřených kapacitami je způsob, jak sladit Ellsbergův paradox a Allaisův paradox.[4][5]
Definice
Používá se následující notace:
- - sada.
- - soubor podskupin .
- - funkce.
- - monotónní nastavit funkci.
Předpokládat, že je měřitelný s ohledem na , to je
Pak Choquetův integrál s ohledem na je definováno:
kde integrály na pravé straně jsou obvyklé Riemannův integrál (celá čísla jsou integrovatelná, protože jsou monotónní ).
Vlastnosti
Choquetův integrál obecně neuspokojuje aditivitu. Přesněji řečeno, pokud není míra pravděpodobnosti, může to platit
pro některé funkce a .
Choquetův integrál splňuje následující vlastnosti.
Monotónnost
Li pak
Pozitivní homogenita
Pro všechny to platí
Comonotonová aditivita
Li jsou funkce comonotone, tedy pokud pro všechny to platí
- .
- které lze považovat za a společně vstávají a padají
pak
Subadditivita
Li je 2-střídavý,[je zapotřebí objasnění ] pak
Superadditivita
Li je 2-monotónní,[je zapotřebí objasnění ] pak
Alternativní zastoupení
Nechat označit a kumulativní distribuční funkce takhle je integrovatelný. Potom se tento následující vzorec často označuje jako Choquet Integral:
kde .
- Vybrat dostat ,
- Vybrat dostat
Aplikace
Choquetův integrál byl použit při zpracování obrazu, zpracování videa a počítačovém vidění. V teorii behaviorálního rozhodování Amos Tversky a Daniel Kahneman použít Choquetův integrál a související metody při formulaci kumulativní teorie vyhlídek.[6]
Viz také
Poznámky
- ^ Choquet, G. (1953). "Teorie kapacit". Annales de l'Institut Fourier. 5: 131–295. doi:10,5802 / aif.53.
- ^ Denneberg, D. (1994). Neaditivní opatření a integrální. Kluwer Academic. ISBN 0-7923-2840-X.
- ^ Grabisch, M. (1996). "Aplikace fuzzy integrálů při rozhodování o více kritériích". Evropský žurnál operačního výzkumu. 89 (3): 445–456. doi:10.1016 / 0377-2217 (95) 00176-X.
- ^ Chateauneuf, A .; Cohen, M. D. (2010). „Kardinální rozšíření modelu EU založené na Choquetově integrálu“. V Bouyssou, Denis; Dubois, Didier; Pirlot, Marc; Prade, Henri (eds.). Proces rozhodování: koncepty a metody. doi:10.1002 / 9780470611876.ch10.
- ^ Sriboonchita, S .; Wong, W. K.; Dhompongsa, S .; Nguyen, H. T. (2010). Stochastická dominance a aplikace pro finance, rizika a ekonomiku. CRC Press. ISBN 978-1-4200-8266-1.
- ^ Tversky, A .; Kahneman, D. (1992). „Pokroky v teorii vyhlídek: Kumulativní vyjádření nejistoty“. Deník rizik a nejistoty. 5: 297–323. doi:10.1007 / bf00122574.
Další čtení
- Gilboa, I .; Schmeidler, D. (1992). "Aditivní reprezentace neaditivních opatření a Choquetova integrace". Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - Dokonce, Y .; Lehrer, E. (2014). „Dekompoziční integrál: sjednocení Choqueta a konkávních integrálů“. Ekonomická teorie. 56 (1): 33–58. doi:10.1007 / s00199-013-0780-0. PAN 3190759.