Drsná cesta - Rough path - Wikipedia

v stochastická analýza, a drsná cesta je zobecnění pojmu hladké dráhy umožňující konstrukci robustní teorie řešení pro řízené diferenciální rovnice poháněn klasicky nepravidelnými signály, například a Wienerův proces. Teorie byla vyvinuta v 90. letech 20. století Terry Lyons.^[1][2][3]Existuje několik popisů teorie.^[4][5][6][7]

Teorie drsné cesty je zaměřena na zachycení a zpřesnění interakcí mezi vysoce oscilačními a nelineárními systémy. Vychází z harmonické analýzy L.C. Young, geometrická algebra K.T. Chen, teorie Lipschitzovy funkce H. Whitneyho a základní myšlenky stochastické analýzy. Pojmy a jednotné odhady mají široké uplatnění v čisté a aplikované matematice i mimo ni. Poskytuje sadu nástrojů pro relativně snadné zotavení mnoha klasických výsledků ve stochastické analýze (Wong-Zakai, Stroock-Varadhanova věta o podpoře, konstrukce stochastických toků atd.) Bez použití konkrétních pravděpodobnostních vlastností, jako je martingale vlastnost nebo předvídatelnost. Teorie se také rozšiřuje Itôova teorie SDE daleko za nastavením semimartingale. Jádrem matematiky je výzva popsat hladkou, ale potenciálně vysoce oscilační a multidimenzionální cestu ${ displaystyle x_ {t}}$ efektivně, aby bylo možné přesně předpovědět jeho účinek na nelineární dynamický systém ${ displaystyle mathrm {d} y_ {t} = f (y_ {t}) , mathrm {d} x_ {t}, y_ {0} = a}$. Podpis je homomorfismus z monoidu cest (pod zřetězením) do grupovitých prvků volné tenzorové algebry. Poskytuje odstupňované shrnutí cesty ${ displaystyle x}$. Tato nekomutativní transformace je věrná pro cesty až k příslušným nulovým úpravám. Tyto odstupňované souhrny nebo vlastnosti cesty jsou jádrem definice drsné cesty; místně odstraňují potřebu podívat se na jemnou strukturu cesty. Taylorova věta vysvětluje, jak lze jakoukoli hladkou funkci lokálně vyjádřit jako lineární kombinaci určitých speciálních funkcí (monomiálů založených v tomto bodě). Koordinované iterované integrály (podmínky podpisu) tvoří subtilnější algebru prvků, které mohou analogicky popsat proud nebo cestu; umožňují definici drsné cesty a tvoří přirozený lineární „základ“ pro spojité funkce na cestách.

Martin Hairer použil hrubé cesty k vytvoření robustní teorie řešení pro KPZ rovnice.^[8] Poté navrhl zobecnění známé jako teorie struktury pravidelnosti^[9] za což mu byla udělena a Polní medaile v roce 2014.

Motivace

Teorie drsné cesty si klade za cíl porozumět řízené diferenciální rovnici

${ displaystyle mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = součet _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t} ^ {j}.}$

kde ovládání, spojitá cesta ${ displaystyle X_ {t}}$ brát hodnoty v a Banachův prostor, nemusí být diferencovatelné ani omezené variace. Převládající příklad kontrolované cesty ${ displaystyle X_ {t}}$ je ukázková cesta a Wienerův proces. V tomto případě lze výše uvedenou řízenou diferenciální rovnici interpretovat jako a stochastická diferenciální rovnice a integrace proti “${ displaystyle mathrm {d} X_ {t} ^ {j}}$"lze definovat ve smyslu Itô. Itóův počet je však definován ve smyslu ${ displaystyle L ^ {2}}$ a zejména nejde o definici cesty. Drsné cesty dávají téměř jistou definici stochastické diferenciální rovnice. Hrubá cesta pojmu řešení je dobře navržena v tom smyslu, že pokud ${ displaystyle X (n) _ {t}}$ je sled plynulých cest konvergujících k ${ displaystyle X_ {t}}$ v ${ displaystyle p}$- variační metrika (popsaná níže) a

${ displaystyle mathrm {d} Y (n) _ {t} ^ {i} = součet _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) , mathrm {d} X (n) _ {t} ^ {j};}$

${ displaystyle mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = součet _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t} ^ {j},}$

pak ${ displaystyle Y (n)}$ konverguje k ${ displaystyle Y}$ v ${ displaystyle p}$-měrná metrika. Tato vlastnost kontinuity a deterministická povaha řešení umožňuje zjednodušit a posílit mnoho výsledků ve stochastické analýze, například Freidlin-Wentzellova teorie velkých odchylek^[10] stejně jako výsledky stochastických toků.

Teorie hrubé cesty může ve skutečnosti jít daleko za rámec Itô a Stratonovich kalkul a umožňuje pochopit diferenciální rovnice poháněné non-semimartingale cesty, jako např Gaussovské procesy a Markovovy procesy.^[11]

Definice drsné cesty

Drsné cesty jsou cesty, které berou hodnoty ve zkrácené volné tenzorové algebře (přesněji: ve volné nilpotentní skupině vložené do volné tenzorové algebry), kterou si nyní tato část stručně připomíná. Tenzorové síly ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$, označeno ${ displaystyle { big (} mathbb {R} ^ {d} { big)} ^ { další krát}}$, jsou vybaveny projektivní normou ${ displaystyle Vert cdot Vert}$ (vidět Topologický tenzorový produkt, Všimněte si, že teorie hrubé cesty ve skutečnosti funguje pro obecnější třídu norem). Nechat ${ displaystyle T ^ {(n)} ( mathbb {R} ^ {d})}$ být zkrácená tenzorová algebra

${ displaystyle T ^ {(n)} ( mathbb {R} ^ {d}) = bigoplus _ {i = 0} ^ {n} { big (} mathbb {R} ^ {d} { velký)} ^ { často i},}$ kde podle konvence ${ displaystyle ( mathbb {R} ^ {d}) ^ { další 0} cong mathbb {R}}$.

Nechat ${ displaystyle trojúhelník _ {0,1}}$ být simplex ${ displaystyle {(s, t): 0 leq s leq t leq 1 }}$. Nechat ${ displaystyle p geq 1}$. Nechat ${ displaystyle mathbf {X}}$ a ${ displaystyle mathbf {Y}}$ být spojité mapy ${ displaystyle trojúhelník _ {0,1} na T ^ {( lfloor p rfloor)} ( mathbb {R} ^ {d})}$. Nechat ${ displaystyle mathbf {X} ^ {j}}$ označit projekci ${ displaystyle mathbf {X}}$ na ${ displaystyle j}$-tenzory a podobně pro ${ displaystyle mathbf {Y} ^ {j}}$. The ${ displaystyle p}$-měrná metrika je definován jako

${ displaystyle d_ {p} left ( mathbf {X}, mathbf {Y} right): = max _ {j = 1, ldots, lfloor p rfloor} sup _ {0 = t_ {0}$

kde je supremum převzato nad všemi konečnými oddíly ${ displaystyle {0 = t_ {0}$ z ${ displaystyle [0,1]}$.

Kontinuální funkce ${ displaystyle mathbf {X}: trojúhelník _ {0,1} rightarrow T ^ {( lfloor p rfloor)} ( mathbb {R} ^ {d})}$ je ${ displaystyle p}$-geometrická drsná cesta pokud existuje posloupnost cest s konečnou celkovou variací ${ displaystyle X (1), X (2), ldots}$ takhle

${ displaystyle mathbf {X} (n) _ {s, t} = vlevo (1, int _ {s$

konverguje do ${ displaystyle p}$- metrika variace na ${ displaystyle mathbf {X}}$ tak jako ${ displaystyle n rightarrow infty}$.^[12]

Univerzální limitní věta

Ústředním výsledkem teorie drsné cesty je Lyons „Věta o univerzálním limitu.^[13] Jedna (slabá) verze výsledku je následující: Let ${ displaystyle X (n)}$ být posloupností cest s konečnou celkovou variací a nechat

${ displaystyle mathbf {X} (n) _ {s, t} = vlevo (1, int _ {s$ označit drsný zdvih dráhy z ${ displaystyle X (n)}$.

Předpokládejme to ${ displaystyle mathbf {X} (n)}$ konverguje do ${ displaystyle p}$- metrika variace na a ${ displaystyle p}$-geometrická drsná cesta ${ displaystyle mathbf {X}}$ tak jako ${ displaystyle n to infty}$. Nechat ${ displaystyle (V_ {j} ^ {i}) _ {j = 1, ldots, d} ^ {i = 1, ldots, n}}$ být funkcemi, které mají alespoň ${ displaystyle lfloor p rfloor}$ vázané deriváty a ${ displaystyle lfloor p rfloor}$-té deriváty jsou ${ displaystyle alpha}$-Hölder nepřetržitý pro některé ${ displaystyle alpha> p- lfloor p rfloor}$. Nechat ${ displaystyle Y (n)}$ být řešením diferenciální rovnice

${ displaystyle mathrm {d} Y (n) _ {t} ^ {i} = součet _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y (n) _ {t} ) , mathrm {d} X (n) _ {t} ^ {j}}$

a nechte ${ displaystyle mathbf {Y} (n)}$ být definován jako

${ displaystyle mathbf {Y} (n) _ {s, t} = vlevo (1, int _ {s$

Pak ${ displaystyle mathbf {Y} (n)}$ konverguje do ${ displaystyle p}$- metrika variace na a ${ displaystyle p}$-geometrická drsná cesta ${ displaystyle mathbf {Y}}$.

Navíc, ${ displaystyle mathbf {Y}}$ je řešení diferenciální rovnice

${ displaystyle mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = součet _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t} ^ {j} qquad ( star)}$

poháněn geometrickou drsnou cestou ${ displaystyle mathbf {X}}$.

Teorii lze stručně interpretovat tak, že říká, že mapa řešení (aka mapa Itô-Lyons) ${ displaystyle Phi: G Omega _ {p} ( mathbb {R} ^ {d}) až G Omega _ {p} ( mathbb {R} ^ {e})}$ RDE ${ displaystyle ( star)}$ je nepřetržitý (a ve skutečnosti místně lipový) v ${ displaystyle p}$- variační topologie. Teorie drsných cest tedy ukazuje, že při pohledu na signály řízení jako drsných cest má člověk robustní teorii řešení pro klasické stochastické diferenciální rovnice i mimo ni.

Příklady drsných cest

Brownův pohyb

Nechat ${ displaystyle (B_ {t}) _ {t geq 0}}$ být vícerozměrný standardní Brownův pohyb. Nechat ${ displaystyle circ}$ označit Stratonovichova integrace. Pak

${ displaystyle mathbf {B} _ {s, t} = vlevo (1, int _ {s$

je ${ displaystyle p}$-geometrická drsná cesta pro všechny ${ displaystyle 2$

. Tato geometrická drsná cesta se nazývá Stratonovich Brownova drsná cesta.

Frakční Brownův pohyb

Obecněji řečeno ${ displaystyle B_ {H} (t)}$ být vícerozměrný frakční Brownův pohyb (proces, jehož složky souřadnic jsou nezávislé zlomkové Brownovy pohyby) s ${ displaystyle H> { frac {1} {4}}}$. Li ${ displaystyle B_ {H} ^ {m} (t)}$ je ${ displaystyle m}$-tá dyadická po částech lineární interpolace ${ displaystyle B_ {H} (t)}$, pak

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {B} _ {H} ^ {m} (s, t) = left (1, int _ {s$

konverguje téměř jistě v ${ displaystyle p}$- metrika variace na a ${ displaystyle p}$-geometrická hrubá cesta pro ${ displaystyle { frac {1} {H}}$.^[14] Tuto omezující geometrickou drsnou cestu lze použít k pochopení diferenciálních rovnic řízených frakčním Brownovým pohybem s Hurstovým parametrem ${ displaystyle H> { frac {1} {4}}}$. Když ${ displaystyle 0$Ukazuje se, že výše uvedená hranice podél dyadických aproximací se nesbližuje ${ displaystyle p}$-variace. Dá se však samozřejmě stále rozumět diferenciálním rovnicím za předpokladu, že se jedná o drsný zdvih dráhy, existence takového (neunikátního) zdvihu je důsledkem Věta o rozšíření Lyons – Victoir.

Nejedinečnost vylepšení

Obecně řečeno ${ displaystyle (X_ {t}) _ {t geq 0}}$ být ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$- hodnotený stochastický proces. Pokud lze postavit, téměř jistě, funkce ${ displaystyle (s, t) rightarrow mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} in { big (} mathbb {R} ^ {d} { big)} ^ { otimes j}}$ aby

${ displaystyle mathbf {X}: (s, t) rightarrow (1, X_ {t} -X_ {s}, mathbf {X} _ {s, t} ^ {2}, ldots, mathbf {X} _ {s, t} ^ { lfloor p rfloor})}$

je ${ displaystyle p}$- tedy geometrická drsná cesta ${ displaystyle mathbf {X} _ {s, t}}$ je zvýšení procesu ${ displaystyle X}$. Jakmile je vybráno vylepšení, strojní zařízení teorie drsných cest umožní pochopit řízenou diferenciální rovnici

${ displaystyle mathrm {d} Y_ {t} ^ {i} = součet _ {j = 1} ^ {d} V_ {j} ^ {i} (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t} ^ {j}.}$

pro dostatečně pravidelná vektorová pole ${ displaystyle V_ {j} ^ {i}.}$

Všimněte si, že každý stochastický proces (i když je to deterministická cesta) může mít více než jedno (ve skutečnosti nespočetně mnoho) možných vylepšení.^[15] Různá vylepšení povedou k různým řešením řízených diferenciálních rovnic. Zejména je možné vylepšit Brownův pohyb na geometrickou drsnou cestu jiným způsobem než Brownovou drsnou cestou.^[16] To znamená, že Stratonovichův počet není jedinou teorií stochastického počtu, která splňuje pravidlo klasického součinu

${ displaystyle mathrm {d} (X_ {t} cdot Y_ {t}) = X_ {t} , mathrm {d} Y_ {t} + Y_ {t} , mathrm {d} X_ { t}.}$

Ve skutečnosti jakékoli vylepšení Brownova pohybu jako geometrické drsné dráhy povede k počtu, který splňuje toto klasické pravidlo produktu. Itô kalkul nepochází přímo ze zvýšení Brownova pohybu jako geometrická drsná cesta, ale spíše jako rozvětvená drsná cesta.

Aplikace ve stochastické analýze

Stochastické diferenciální rovnice řízené nesemimartingales

Teorie hrubé cesty umožňuje dát cestnou představu o řešení (stochastických) diferenciálních rovnic formy

${ displaystyle mathrm {d} Y_ {t} = b (Y_ {t}) , mathrm {d} t + sigma (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t}}$

za předpokladu, že vícerozměrný stochastický proces ${ displaystyle X_ {t}}$ lze téměř jistě vylepšit jako drsnou cestu a to drift ${ displaystyle b}$ a volatilita ${ displaystyle sigma}$ jsou dostatečně plynulé (viz část Univerzální limitní věta).

Existuje mnoho příkladů Markovových procesů, Gaussových procesů a dalších procesů, které lze vylepšit jako drsné cesty.^[17]

Zejména existuje mnoho výsledků řešení diferenciální rovnice poháněných zlomkovým Brownovým pohybem, které byly prokázány pomocí kombinace Malliavinův počet a hrubá teorie cest. Ve skutečnosti bylo nedávno prokázáno, že řešení řízené diferenciální rovnice poháněné třídou Gaussových procesů, které zahrnuje zlomkový Brownův pohyb s Hurstovým parametrem ${ displaystyle H> { frac {1} {4}}}$, má za podmínek Hörmandera na vektorových polích hladkou hustotu.^[18][19]

Freidlin – Wentzellova velká teorie odchylek

Nechat ${ displaystyle L (V, W)}$ označit prostor ohraničených lineárních map z Banachova prostoru ${ displaystyle V}$ do jiného Banachova prostoru ${ displaystyle W}$.

Nechat ${ displaystyle B_ {t}}$ být ${ displaystyle d}$-dimenzionální standardní Brownův pohyb. Nechat ${ displaystyle b: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R} ^ {d}}$ a ${ displaystyle sigma: mathbb {R} ^ {n} rightarrow L ( mathbb {R} ^ {d}, mathbb {R} ^ {n})}$ být dvakrát rozlišitelné funkce a jejichž druhé derivace jsou ${ displaystyle alpha}$-Hölder pro některé ${ displaystyle alpha> 0}$.

Nechat ${ displaystyle X ^ { varepsilon}}$ být jedinečným řešením stochastické diferenciální rovnice

${ displaystyle mathrm {d} X ^ { varepsilon} = b (X_ {t} ^ { epsilon}) , mathrm {d} t + { sqrt { varepsilon}} sigma (X ^ { varepsilon}) circ mathrm {d} B_ {t}; , X ^ { varepsilon} = a,}$

kde ${ displaystyle circ}$ označuje integraci Stratonovich.

The Freidlin Wentzell je velká teorie odchylek si klade za cíl studovat asymptotické chování, as ${ displaystyle epsilon rightarrow 0}$, z ${ displaystyle mathbb {P} [X ^ { varepsilon} ve F]}$ pro uzavřené nebo otevřené sady ${ displaystyle F}$ s ohledem na jednotnou topologii.

Věta o univerzálním limitu zaručuje, že mapa Itô odesílající řídicí cestu ${ displaystyle (t, { sqrt { varepsilon}} B_ {t})}$ k řešení ${ displaystyle X ^ { varepsilon}}$ je spojitá mapa z ${ displaystyle p}$- variační topologie k ${ displaystyle p}$-variační topologie (a tedy jednotná topologie). Proto Princip kontrakce v teorii velkých odchylek redukuje Freidlin – Wentzellův problém na demonstraci principu velké odchylky pro ${ displaystyle (t, { sqrt { varepsilon}} B_ {t})}$ v ${ displaystyle p}$- variační topologie.^[20]

Tuto strategii lze použít nejen na diferenciální rovnice poháněné Brownovým pohybem, ale také na diferenciální rovnice řízené jakýmkoli stochastickým procesem, který lze vylepšit drsnými cestami, jako je frakční Brownův pohyb.

Stochastický tok

Ještě jednou ${ displaystyle B_ {t}}$ být ${ displaystyle d}$-dimenzionální Brownův pohyb. Předpokládejme, že driftový termín ${ displaystyle b}$ a termín volatility ${ displaystyle sigma}$ má dostatečnou dostatečnou pravidelnost, aby stochastická diferenciální rovnice

${ displaystyle mathrm {d} phi _ {s, t} (x) = b ( phi _ {s, t} (x)) , mathrm {d} t + sigma {( phi _ { s, t} (x))} , mathrm {d} B_ {t}; X_ {s} = x}$

má jedinečné řešení ve smyslu drsné cesty. Základní otázkou v teorii stochastického toku je, zda mapa toku ${ displaystyle phi _ {s, t} (x)}$ existuje a uspokojuje cocyklickou vlastnost pro všechny ${ displaystyle s leq u leq t}$,

${ displaystyle phi _ {u, t} ( phi _ {s, u} (x)) = phi _ {s, t} (x)}$

mimo nulovou množinu nezávislý z ${ displaystyle s, u, t}$.

Věta o univerzálním limitu tento problém opět redukuje na to, zda jde o Brownovu drsnou cestu ${ displaystyle mathbf {B_ {s, t}}}$ existuje a splňuje multiplikativní vlastnost, že pro všechny ${ displaystyle s leq u leq t}$,

${ displaystyle mathbf {B} _ {s, u} otimes mathbf {B} _ {u, t} = mathbf {B} _ {s, t}}$

mimo nulovou množinu nezávislou na ${ displaystyle s}$, ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle t}$.

Teorie drsné cesty ve skutečnosti dává existenci a jedinečnost ${ displaystyle phi _ {s, t} (x)}$ nejen mimo nulovou množinu nezávislou na ${ displaystyle s}$,${ displaystyle t}$ a ${ displaystyle x}$ ale také driftu ${ displaystyle b}$ a volatilita ${ displaystyle sigma}$.

Stejně jako v případě teorie Freidlin – Wentzell, tato strategie neplatí jen pro diferenciální rovnice poháněné Brownovým pohybem, ale i pro jakékoli stochastické procesy, které lze vylepšit jako drsné cesty.

Kontrolovaná drsná cesta

Kontrolované drsné cesty, zavedené M. Gubinelli,^[21] jsou cesty ${ displaystyle mathbf {Y}}$ pro které je hrubý integrál

${ displaystyle int _ {s} ^ {t} mathbf {Y} _ {u} , mathrm {d} X_ {u}}$

lze definovat pro danou geometrickou hrubou cestu ${ displaystyle X}$.

Přesněji řečeno ${ displaystyle L (V, W)}$ označit prostor ohraničených lineárních map z Banachova prostoru ${ displaystyle V}$ do jiného Banachova prostoru ${ displaystyle W}$.

Vzhledem k ${ displaystyle p}$-geometrická drsná cesta

${ displaystyle mathbf {X} = (1, mathbf {X} ^ {1}, ldots, mathbf {X} ^ { lfloor p rfloor})}$

na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$, a ${ displaystyle gamma}$-kontrolovaná cesta je funkce ${ displaystyle mathbf {Y} _ {s} = ( mathbf {Y} _ {s} ^ {0}, mathbf {Y} _ {s} ^ {1}, ldots, mathbf {Y} _ {s} ^ { lfloor gamma rfloor})}$ takhle ${ displaystyle mathbf {Y} ^ {j}: [0,1] rightarrow L (( mathbb {R} ^ {d}) ^ { otimes j + 1}, mathbb {R} ^ {n })}$ a že existuje ${ displaystyle M> 0}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle 0 leq s leq t leq 1}$ a ${ displaystyle j = 0,1, ldots, lfloor gamma rfloor}$,

${ displaystyle Vert mathbf {Y} _ {s} ^ {j} Vert leq M}$

a

${ displaystyle left | mathbf {Y} _ {t} ^ {j} - sum _ {i = 0} ^ { lfloor gamma rfloor -j} mathbf {Y} _ {s} ^ {j + i} mathbf {X} _ {s, t} ^ {i} right | leq M | ts | ^ { frac { gamma -j} {p}}.}$

Příklad: Lip (y) funkce

Nechat ${ displaystyle mathbf {X} = (1, mathbf {X} ^ {1}, ldots, mathbf {X} ^ { lfloor p rfloor})}$ být ${ displaystyle p}$-geometrická drsná cesta splňující Hölderovu podmínku, že existuje ${ displaystyle M> 0}$, pro všechny ${ displaystyle 0 leq s leq t leq 1}$ a všechno ${ displaystyle j = 1,, 2, ldots, lfloor p rfloor}$,

${ displaystyle Vert mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} Vert leq M (t-s) ^ { frac {j} {p}},}$

kde ${ displaystyle mathbf {X} ^ {j}}$ označuje ${ displaystyle j}$-tá tenzorová složka ${ displaystyle mathbf {X}}$.Nechat ${ displaystyle gamma geq 1}$. Nechat ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {d} rightarrow mathbb {R} ^ {n}}$ být ${ displaystyle lfloor gamma rfloor}$- časově rozlišitelná funkce a ${ displaystyle lfloor gamma rfloor}$-tý derivát je ${ displaystyle gamma - lfloor gamma rfloor}$ Hölder tedy

${ displaystyle (f ( mathbf {X} _ {s} ^ {1}), Df ( mathbf {X} _ {s} ^ {1}), ldots, D ^ { lfloor gamma rfloor } f ( mathbf {X} _ {s} ^ {1}))}$

je ${ displaystyle gamma}$- kontrolovaná cesta.

Integrál kontrolované cesty je kontrolovaná cesta

Li ${ displaystyle mathbf {Y}}$ je ${ displaystyle gamma}$- kontrolovaná cesta kde ${ displaystyle gamma> p-1}$, pak

${ displaystyle int _ {s} ^ {t} mathbf {Y} _ {u} , mathrm {d} X_ {u}}$

je definována a cesta

${ displaystyle left ( int _ {s} ^ {t} mathbf {Y} _ {u} , mathrm {d} X_ {u}, mathbf {Y} _ {s} ^ {0} , mathbf {Y} _ {s} ^ {1}, ldots, mathbf {Y} _ {s} ^ { lfloor gamma -1 rfloor} vpravo)}$

je ${ displaystyle gamma}$- kontrolovaná cesta.

Řešení řízené diferenciální rovnice je řízená cesta

Nechat ${ displaystyle V: mathbb {R} ^ {n} rightarrow L ( mathbb {R} ^ {d}, mathbb {R} ^ {n})}$ být funkcemi, které mají alespoň ${ displaystyle lfloor gamma rfloor}$ deriváty a ${ displaystyle lfloor gamma rfloor}$-té deriváty jsou ${ displaystyle gamma - lfloor gamma rfloor}$-Hölder nepřetržitý pro některé ${ displaystyle gamma> p}$. Nechat ${ displaystyle Y}$ být řešením diferenciální rovnice

${ displaystyle mathrm {d} Y_ {t} = V (Y_ {t}) , mathrm {d} X_ {t}.}$

Definovat

${ displaystyle { frac { mathrm {d} Y} { mathrm {d} X}} ( cdot) = V ( cdot);}$

${ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {r + 1} Y} { mathrm {d} ^ {r + 1} X}} ( cdot) = D left ({ frac { mathrm {d} ^ {r} Y} { mathrm {d} ^ {r} X}} vpravo) ( cdot) V ( cdot),}$

kde ${ displaystyle D}$ označuje operátor derivace

${ displaystyle left (Y_ {t}, { frac { mathrm {d} Y} { mathrm {d} X}} (Y_ {t}), { frac { mathrm {d} ^ {2 } Y} { mathrm {d} ^ {2} X}} (Y_ {t}), ldots, { frac { mathrm {d} ^ { lfloor gamma rfloor} Y} { mathrm { d} ^ { lfloor gamma rfloor} X}} (Y_ {t}) vpravo)}$

je ${ displaystyle gamma}$- kontrolovaná cesta.

Podpis

Nechat ${ displaystyle X: [0,1] rightarrow mathbb {R} ^ {d}}$ být spojitá funkce s konečnou celkovou variací. Definovat

${ displaystyle S (X) _ {s, t} = vlevo (1, int _ {s$

Podpis cesty je definován jako ${ displaystyle S (X) _ {0,1}}$.

Podpis lze také definovat pro geometrické drsné cesty. Nechat ${ displaystyle mathbf {X}}$ být geometrickou drsnou cestou a nechat ${ displaystyle mathbf {X} (n)}$ být posloupností cest s konečnou celkovou variací takovou, že

${ displaystyle mathbf {X} (n) _ {s, t} = vlevo (1, int _ {s$

konverguje do ${ displaystyle p}$- metrika variace na ${ displaystyle mathbf {X}}$. Pak

${ displaystyle int _ {s$

konverguje jako ${ displaystyle n rightarrow infty}$ pro každého ${ displaystyle N}$. Podpis geometrické drsné cesty ${ displaystyle mathbf {X}}$ lze definovat jako limit ${ displaystyle S (X (n)) _ {s, t}}$ tak jako ${ displaystyle n rightarrow infty}$.

Podpis uspokojuje Chenovu identitu,^[22] že

${ displaystyle S ( mathbf {X}) _ {s, u} otimes S ( mathbf {X}) _ {u, t} = S ( mathbf {X}) _ {s, t}}$

pro všechny ${ displaystyle s leq u leq t}$.

Jádro transformace podpisu

Sada cest, jejichž podpisem je triviální posloupnost, přesněji řečeno

${ displaystyle S ( mathbf {X}) _ {0,1} = (1,0,0, ldots)}$

lze zcela charakterizovat pomocí myšlenky stromové cesty.

A ${ displaystyle p}$-geometrická hrubá cesta je jako strom pokud existuje spojitá funkce ${ displaystyle h: [0,1] rightarrow [0, infty)}$ takhle ${ displaystyle h (0) = h (1) = 0}$ a pro všechny ${ displaystyle j = 1, ldots, lfloor p rfloor}$ a všechno ${ displaystyle 0 leq s leq t leq 1}$,

${ displaystyle Vert mathbf {X} _ {s, t} ^ {j} Vert ^ {p} leq h (t) + h (s) -2 inf _ {u in [s, t ]} h (u)}$

kde ${ displaystyle mathbf {X} ^ {j}}$ označuje ${ displaystyle j}$-tá tenzorová složka ${ displaystyle mathbf {X}}$.

Geometrická drsná cesta ${ displaystyle mathbf {X}}$ splňuje ${ displaystyle S ( mathbf {X}) _ {0,1} = (1,0, ldots)}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle mathbf {X}}$ je jako strom.^[23][24]

Vzhledem k podpisu cesty je možné rekonstruovat jedinečnou cestu, která neobsahuje žádné kousky podobné stromu.^[25][26]

Nekonečné rozměry

Je také možné rozšířit základní výsledky teorie hrubé cesty do nekonečných dimenzí, za předpokladu, že norma tenzorové algebry splňuje určité podmínky přípustnosti.^[27]

Reference