Gauss – Kronrodův kvadraturní vzorec - Gauss–Kronrod quadrature formula
The Gauss – Kronrodův kvadraturní vzorec je adaptivní metoda pro numerická integrace. Jedná se o variantu Gaussova kvadratura, ve kterém jsou vyhodnocovací body zvoleny tak, aby bylo možné vypočítat přesnou aproximaci opětovným použitím informací produkovaných výpočtem méně přesné aproximace. Je to příklad toho, co se nazývá a vnořené pravidlo kvadratury: pro stejnou sadu hodnotících bodů funkcí má dvě kvadraturní pravidla, jedno vyššího řádu a jednoho nižšího řádu (druhý se nazývá vložený pravidlo). Rozdíl mezi těmito dvěma aproximacemi se používá k odhadu výpočtové chyby integrace.
Tyto vzorce jsou pojmenovány po Alexander Kronrod, který je vynalezl v 60. letech a Carl Friedrich Gauss.
Popis
Problémem numerické integrace je aproximace určitých integrálů formy
Takové integrály lze aproximovat například pomocí n-směřovat Gaussova kvadratura
kde wi, Xi jsou závaží a body, ve kterých se má funkce vyhodnotit F(X).
Pokud je interval [A, b] je rozdělena, Gaussovy hodnotící body nových podintervalů se nikdy neshodují s předchozími hodnotícími body (s výjimkou středního bodu pro lichý počet hodnotících bodů), a proto musí být integrand vyhodnocen v každém bodě. Gauss – Kronrodovy vzorce jsou rozšíření Gaussových kvadraturních vzorců generovaných přidáním ukazuje na -bodové pravidlo takovým způsobem, aby výsledné pravidlo bylo řádové (Laurie (1997, str. 1133); odpovídající Gaussovo pravidlo má řád ). Tyto body navíc jsou nuly Stieltjesovy polynomy. To umožňuje výpočet odhadů vyššího řádu při opětovném použití hodnot funkcí odhadu nižšího řádu. Rozdíl mezi Gaussovým kvadraturním pravidlem a jeho Kronrodovým rozšířením se často používá jako odhad chyby aproximace.
Příklad
Populární příklad kombinuje 7bodové Gaussovo pravidlo s 15bodovým Kronrodovým pravidlem (Kahaner, Moler & Nash 1989, §5.5). Protože jsou Gaussovy body začleněny do Kronrodových bodů, je zapotřebí celkem pouze 15 vyhodnocení funkcí.
(G7, K15) dne [−1,1] Gaussovy uzly Závaží ±0.94910 79123 42759 ∗ 0.12948 49661 68870 ±0.74153 11855 99394 ∗ 0.27970 53914 89277 ±0.40584 51513 77397 ∗ 0.38183 00505 05119 0.00000 00000 00000 ∗ 0.41795 91836 73469 Kronrodské uzly Závaží ±0.99145 53711 20813 0.02293 53220 10529 ±0.94910 79123 42759 ∗ 0.06309 20926 29979 ±0.86486 44233 59769 0.10479 00103 22250 ±0.74153 11855 99394 ∗ 0.14065 32597 15525 ±0.58608 72354 67691 0.16900 47266 39267 ±0.40584 51513 77397 ∗ 0.19035 05780 64785 ±0.20778 49550 07898 0.20443 29400 75298 0.00000 00000 00000 ∗ 0.20948 21410 84728
Integrál se pak odhaduje podle Kronrodova pravidla a chybu lze odhadnout na .
Patterson (1968) ukázal, jak najít další rozšíření tohoto typu, Piessens (1974) a Monegato (1978) navrhované vylepšené algoritmy a nakonec nejúčinnější algoritmus navrhl Laurie (1997). Vypočítají se a uvedou do tabulky koeficienty čtyřnásobné přesnosti (34 desetinných míst) pro (G7, K15), (G10, K21), (G15, K31), (G20, K41) a další.[1]
Implementace
Rutiny pro Gauss – Kronrodovu kvadraturu poskytuje QUADPACK knihovna, Vědecká knihovna GNU, Číselné knihovny NAG, R,[2] a C ++ knihovna Zvýšit.[3]
Viz také
- Clenshaw – Curtisova kvadratura, další vnořené kvadraturní pravidlo s podobnou přesností
Poznámky
- ^ Pavel Holoborodko (07.11.2011). „Kvadraturní uzly a váhy Gauss-Kronrod“. Citováno 2016-01-15.
- ^ „R: Integrace jednorozměrných funkcí“. R Dokumentace. Citováno 14. prosince 2019.
- ^ Thompson, Nick; Maddock, Johne. „Kvadraturní Gauss-Kronrod“. boost.org. Citováno 24. prosince 2017.
Reference
- „Kvadraturní vzorec Gauss – Kronrod“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989), Numerické metody a software, Prentice – Hall, ISBN 978-0-13-627258-8
- Kronrod, Aleksandr Semenovish (1965), Uzly a váhy kvadraturních vzorců. Šestnáctimístné stoly, New York: Consultants Bureau (Autorizovaný překlad z ruštiny)
- Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W.; Kahaner, David K. (1983), QUADPACK, balíček podprogramů pro automatickou integraci, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-12553-2 (Referenční příručka pro QUADPACK)
- Patterson, Thomas N. L. (1968), „Optimální přidání bodů do kvadraturních vzorců“, Matematika. Comput., 22 (104): 847–856 a C1 – C11, doi:10.2307/2004583, JSTOR 2004583. Erratum dovnitř Matematika. Comput. 23: 892.
- Piessens, Robert; Branders, Maria (1974), „Poznámka k optimálnímu přidání abscisů do kvadraturních vzorců Gauss a Lobatto“, Matematika výpočtu, 28 (125): 135–139, doi:10.2307/2005820, JSTOR 2005820
- Monegato, Giovanni (1978), „Několik poznámek ke konstrukci rozšířených Gaussových pravidel kvadratury“, Matematika výpočtu, 32 (141): 247–252, doi:10.2307/2006272, JSTOR 2006272
- Laurie, Dirk (1997), „Výpočet Gauss-Kronrodových kvadraturních pravidel.“, Matematika výpočtu Americké matematické společnosti, 66 (219): 1133–1145, doi:10.1090 / s0025-5718-97-00861-2
externí odkazy
- QUADPACK (součást SLATECU), zdrojový kód [1]. QUADPACK je kolekce algoritmů v Fortran, pro numerickou integraci založenou na pravidlech Gauss-Kronrod. SLATEC (na Netlib ) je velká public domain knihovna pro numerické výpočty.
- Zdrojový kód ALGLIB v C #, C ++, Delphi a Visual Basic